 |  |  |  |  |  |
| Polihedron merupakan politop berdimensi-3. | |||||
Dalamgeometri elementer,politop adalah suatu objek geometri yang memilikimuka, sisi yang datar. Politop secara umum merupakan perumuman daripolihedron berdimensi tiga menjadi sebarang dimensi. Politop yang mungkin ada dalam sebarang dimensin disebut sebagaipolitop berdimensi-n. Sebagai contoh,poligon merupakan politop berdimensi-2, danpolihedron merupakan politop berdimensi-3. Pada konteks ini, "sisi yang datar" mengartikan bahwa sisi-sisi dari suatu politop berdimensi-(k + 1) terdiri dari politop berdimensi-k yang dapat memiliki politop berdimensi-(k – 1) yang sama.
Ada beberapa teori yang memperumum gagasan lebih lanjut untuk memasukkan objek sepertiapeirotop danpengubinan yang tidak memliki batas, dekomposisi atau pengisi kurvamanifold sepertipolihedron sferis, danpolitop abstrak.
Politop dengan dimensi yang lebih dari tiga pertama kali ditemukan olehLudwig Schläfli sebelum tahun 1853, yang menyebutnyapolyschem.[1] Istilahpolytop yang berasal daribahasa Jerman diciptakan oleh matematikawanReinhold Hoppe, dan diperkenalkan kepada matematikawan asal Inggris yang bernamaAlicia Boole Stott sebagaipolytope.
Istilahpolitop saat ini merupakan istilah luas yang mencakup kelas-kelas objek yang sangat banyak, dan berbagai definisi ditemukan dalam kepustakaan matematika. Akan tetapi, banyak dari definisi ini tidak ekuivalen dengan satu sama lain, dan hal tersebut menghasilkan kumpulan objek bertumpang tindih yang berbeda, yang disebutpolitop. Objek-objek tersebut mewakili pendekatan yang berbeda untuk memperumumpolitop cembung untuk memasukkan objek lain dengan sifat-sifat yang serupa.
Pendekatan asli secara luas diikuti olehLudwig Schläfli,Thorold Gosset dan lainnya. Pendekatan tersebut berawal dari gagasan poligon (berdimensi dua) dan polihedron (berdimensi tiga) yang diperluas berdasarkananalogi menjadi dalam objek berdimensi empat atau lebih.[2]
Upaya untuk memperumumkarakteristik Euler dari polihedron menjadi politop berdimensi lebih tinggi mengakibatkan pengembangantopologi dan perlakuan dekomposisi ataukompleks CW (CW complex) menjadi analogi dengan politop.[3] Berdasarkan pendekatan tersebut, politop dapat dipandang sebagaipengubinan atau dekomposisi dari beberapamanifold. Contoh pendekatan ini mendefinisikan politop sebagai sekumpulan titik yang memilikidekomposisi sederhana. Selain itu, politop dalam pendekatan tersebut juga merupakan gabungan dari tak berhingga banyaknyasimpleks dengan adanya sifat tambahan yang berbunyi bahwa untuk sebarang dua buah simpleks yang memiliki irisan tak kosong, irisannya adalah titik sudut,edge, atau muka dari dua simpleks yang berdimensi lebih tinggi.[4] Sayangnya, definisi ini tidak berlaku untukpolitop bintang dengan struktur interior, sehingga definisi tersebut menjadi terbatas di cabang matematika tertentu.Politop dalam jumlah dimensi yang lebih rendah memiliki nama yang standar:
| Dimensi politop | Merupakan sebutan untuk[5] |
|---|---|
| −1 | Nullitop |
| 0 | Monon |
| 1 | Dion |
| 2 | Poligon |
| 3 | Polihedron |
| 4 | Polikhoron[5] |
Karena politop cembung (yang terisi) dengan dimensi adalahkontraktibel menjadi satu buah titik,karakteristik Euler dari batasnya dirumuskan dengan penjumlahan berselang-seling:Notasi pada rumus di atas menyatakan jumlah dari muka berdimensi-. Karakteristik ini memperumumrumus Euler untuk polihedron.[6]
Teorema Gram–Euler juga memperumum penjumlahan selang-seling darisudut internal untuk polihedron cembung ke politop dengan dimensi yang lebih tinggi.[6]
Tidak semua mainfold adalah terhingga. Apabila politop dianggap sebagai pengubinan atau dekomposisi manifold, maka gagasan ini dapat diperluas menjadi manifold tak terhingga. Karena itu, politop meliputipengubinan bidang, (sarang lebah) pengisi ruang, danpengubinan hiperbolik. Politop tersebut terkadang-kadang disebutapeirotop sebab memiliki banyak sel yang tak berhingga jumlahnya.
Dari antara politop-politop tersebut, terdapat bentuk yang beraturan sepertipolihedron pencong beraturan dan deret tak terhingga dari pengubinan yang dinyatakan denganapeirogon beraturan, pengubinan persegi, sarang lebah kubik, dan lain sebagainya.
Politop abstrak merupakanhimpunan terurut parsial dari elemen atau anggota, yang mematuhi aturan-aturan tertentu. Politop ini merupakanstruktur aljabar murni. Teori tentangnya dikembangkan supaya menghindari masalah-masalah yang menjadikannya sangat sulit untuk mencocokkan berbagai kelas geometris dalam sebuah struktur matematis yang konsisten. Suatu politop geometris dikatakan realisasi di beberapa ruang nyata dari politop abstrak yang terkait.[7]
Terdapat struktur yang mirip seperti dengan politop, dan struktur ada diruang Hilbert kompleks, dengan dimensi realn yang disertai dengannbilangan imajiner. Lebih-lebih,poltop kompleks beraturan diperlakukan sebagaikonfigurasi.[8]
|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
(edisi ke-1st),Cambridge University Press,ISBN 0-521-81496-0 |publisher-link= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
