Movatterモバイル変換

Persegi

Sunting pranala

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Persegi
Sebuah segiempatbiasa
Sisi dantitik pojok	{{{p4-sisi}}}
Simbol Schläfli	{4}
Diagram Coxeter–Dynkin
Grup simetri	Dihedral (D₄), order 2×{{{p4-sisi}}}
Sudut dalam (derajat)	{{{p4-sudut}}}°
Sifat	Convex,cyclic,equilateral,isogonal,isotoxal

Dalamgeometri Euklides,persegi adalah bangunpoligon segi-empatreguler, artinya bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut yang sama besar (dengan sudut 90derajat, π/2radian, atausudut siku-siku). Bangun ini juga dapat didefinisikan sebagai bangunpersegi panjang dengan semua sisi memiliki panjang yang sama. Persegi adalah satu-satunyapoligon reguler dengansudut dalam,sudut pusat, dansudut luar yang sama besar (90°), dan dengan semua diagonalnya memiliki panjang yang sama. Persegi dengan titik sudut $A B C D {\displaystyle ABCD}$ disimbolkan sebagai $\square \,ABCD.$ ^[1]

Definisi

[sunting |sunting sumber]

Bangun poligon segi-empat disebut sebagaipersegijika dan hanya jika bangun tersebut merupakan salah satu bentuk dari bangun-bangun berikut:^[2]^[3]

Persegi panjang dengan semua sisi memiliki panjang yang sama
Belah ketupat dengan sudut siku-siku
Belah ketupat dengan semua sudutnya sama besar
Jajar genjang yang memiliki sudut siku-siku dan dua sisi yang bersebelahan sama panjangnya
Poligon segi-empat dengan panjang sisi yang sama dan empat sudut siku-siku
Poligon dengan semuadiagonalnya sama panjang, saling berpotongantegak lurus dan saling membagi dua (contoh, belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya sama panjang)

Poligon segi-empat dengan sisi-sisi berurutana,b,c, dand, yang luasnya $L={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ ^[4]^{:Corollary 15}

Sifat

[sunting |sunting sumber]

Persegi adalah kasus khusus dari banyak bangun berikut (dengan sifat masing-masing dalam tanda kurung):belah ketupat (semua sisi sama panjang, semua sudut berhadapan sama besar),layang-layang (dua panjang sisi bersebelahan sama besar),trapesium (sepasang sisi berhadapan sejajar),jajar genjang (semua sisi berhadapan sejajar),persegi panjang (semua sisi berhadapan sama besar, semua sudut siku-siku), dan tetragon (poligon empat sisi). Akibatnya, persegi memiliki semua sifat dari bangun-bangun tersebut, meliputi:^[5]

Semuasudut dalam dari persegi sama besar (masing-masing sebesar 360°/4 = 90°, sudut siku-siku).
Sudut pusat dari persegi sama dengan 90° (360°/4).

Sudut luar dari persegi sama dengan 90° (360°/4).
Kedua diagonal dari persegi sama besar dan saling memotong pada sudut 90°.
Diagonal dari persegi membagi dua sudut dalamnya, masing-masing membentuk sudut 45°.
Semua sisi dari persegi sama besar
Semua sisi yang saling berhadapan sejajar

Keliling dan luas

[sunting |sunting sumber]

Luas dari persegi adalah hasil perkalian dari panjang sisinya.

Keliling dari bangun persegi yang keempat sisinya memiliki panjang $\ell$ adalah $K=4\ell$ danluasnya^[1] adalah $L=\ell ^{2}.$ Padazaman klasik, konsepkuadrat (pangkat dua) dijelaskan menggunakan luas dari bangun persegi, seperti pada rumus di atas. Pada perkembangan selanjutnya, seperti dalambahasa Inggris, ini menyebabkan penggunaan istilahsquare (persegi) untuk mengartikan kuadrat.

Luas dari persegi juga dapat dihitung menggunakan panjang diagonald, menggunakan rumus $L={\frac {d^{2}}{2}}.$ Jika menggunakanlingkaran luar persegi denganjari-jari $R, {\displaystyle R,}$ luas persegi dapat dituliskan sebagai $L=2R^{2};$ Karena luas dari lingkaran tersebut adalah $\pi R^{2},$ persegi akan mengisi $2/\pi \approx 0.6366$ bagian dari lingkaran luarnya. Sedangkan menggunakan lingkaran dalam dengan jari-jari $r, {\displaystyle r,}$ luas dari persegi adalah $L=4r^{2};$ sehingga lingkaran dalam mengisi $\pi /4\approx 0.7854$ bagian dari persegi tersebut.

Karena persegi merupakanpoligon reguler, bangun ini memiliki keliling terkecil yang mengitari suatu luas tertentu. Dual dari pernyataan tersebut, persegi merupakan bangun segi-empat yang memiliki luas terbesar, dari semua segi-empat dengan suatu besar keliling tertentu.^[6]^[7] Secara lebih matematis, jika $L {\displaystyle L}$ dan $K {\displaystyle K}$ masing-masing adalah luas dan keliling dari suatu segi-empat, maka berlakupertidaksamaan isoperimetrik berikut: $16L\leq K^{2}$ dengan persamaan terjadijika dan hanya jika segi-empat tersebut adalah persegi.

Fakta lain

[sunting |sunting sumber]

Panjang diagonal dari persegi adalah ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ (sekitar 1,414) kali panjang sisi persegi tersebut. Nilai ini, dikenal sebagaiakar kuadrat dari 2 dan konstanta Pythagoras,^[1] adalah bilangan pertama yang dibuktikan berupabilangan irasional.
Persegi juga dapat didefinisikan sebagaijajar genjang dengan kedua diagonalnya memiliki panjang yang sama dan membagi dua sudut dalam jajar genjang tersebut.
Jika suatu bangun berupa persegi panjang (memiliki sudut siku-siku) sekaligu belah ketupat (memiliki panjang sisi yang sama), maka bangun tersebut adalah persegi.
Pengubinan persegi adalah salah satu dari tigateselasi reguler pada bidang (bangunteselasi lainnya adalahsegitiga sama sisi danheksagon reguler).
Persegi adalah anggota dari dua keluargapolitop di dimensi dua:hiperkubus dancross-polytope.Simbol Schläfli untuk persegi adalah ${\textstyle \{4\}}$ .
Persegi adalah objek yang sangat simetris. Persegi memiliki empat garissimetri refleksi, dansimetri rotasi tingkat 4 (0°, 90°, 180° and 270°).Grup simetri dari bangun ini adalahgrup dihedral D₄.
Sebangun persegi dapat dibuat di dalam (inscribed) sebarang poligon regular. Satu-satunya poligon lain dengan sifat ini adalah segitiga sama sisi.
Jikalingkaran dalam dari persegiABCD memiliki titik potongE pada sisiAB,F padaBC,G padaCD, danH padaDA, maka untuk sebarang titikP pada lingkaran dalam tersebut,^[8] $2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.$
Jika $d_{i}$ adalah jarak dari berang titik di bidang ke sisi ke-i dari sebangun persegi, dan $R {\displaystyle R}$ adalahlingkaran luar dari persegi tersebut, maka^[9] ${\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.$
Jika $L {\displaystyle L}$ dan $d_{i}$ masing-masing menyatakan jarak dari sebarang titik pada bidang ke titik pusat dari persegi dan ke titik pusat dari sisi-sisinya, maka berlaku hubungan^[10] $d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})$ dan $d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),$ dengan $R {\displaystyle R}$ adalahlingkaran luar dari persegi tersebut.

Kontruksi

[sunting |sunting sumber]

Beberapa animasi berikut ini menunjukkan cara membuat persegi menggunakanjangka dan mistar.

Konstruksi persegi menggunakan jangka dan mistar.

Persegi dari panjang sisi yang sudah ditentukan,
sudut siku-siku dihasilkan dariteorema Thales.

Persegi dari panjang diagonal yang sudah ditentukan

Geometri non-Euklides

[sunting |sunting sumber]

Dalamgeometri non-Euklides, persegi didefinisikan secara lebih umum sebagai poligon dengan 4 sisi dengan panjang yang sama dan besar semua sudutnya sama.

Digeometri bola,persegi sferis adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busurlingkaran besar dengan panjang yang sama, dan berpotongan pada besar sudut yang sama. Tidak seperti persegi pada geometri bidang (geometri Euklides), sudut persegi di geometri ini lebih besar daripada sudut siku-siku. Persegi sferis dengan ukuran yang lebih besar akan memiliki sudut yang lebih besar.

Digeometri hiperbolik, tidak ada persegi dengan sudut siku-siku. Alih-alih, persegi dalam geometri hiperbolik memiliki sudut kurang dari sudut siku-siku. Persegi hiperbolik dengan ukuran yang lebih besar memiliki sudut yang lebih kecil.

Dua persegi dengan sudut dalam 180° dapat mengubin (tile) pemukaan bola. Sisi-sisi dari kedua persegi tersebut terletak dilingkaran besar. Persegi tersebut disebut dengan persegi sfreris (bola)dihedron, dengansimbol Schläfli {4,2}.

Enam persegi dapat mengubi permukaan bola, dengan setiap titik sudut dikeliling oleh tiga persegi dan setiap persegi memiliki besar sudut dalam 120°. Objek ini disebut dengan kubus sferis, dengan simbol Schläfli {4,3}.

Persegi dapat mengubin bidang hiperbolik, dengan setiap sudut dikelilingi lima persegi, masing-masing dengan sudut dalam 72°. Malahan, untuk sebarang

n\geq 5

ada suatu pengubinan hiperbolik yang setiap titik sudut persegi tersebut dikelilingi oleh

n {\displaystyle n}

persegi.

Graf

[sunting |sunting sumber]

simpleks-3

Graf lengkap K₄ sering digambarkan sebagai persegi lengkap dengan kedua diagonalnya. Graf ini juga merupakanproyeksi ortografik darisimpleks-3 sederhana (tetrahedron), yang memiliki 6 sisi dan 4 titik sudut.

Lihat juga

[sunting |sunting sumber]

Persegi Latin

Referensi

[sunting |sunting sumber]

^^a ^b ^cWeisstein, Eric W."Square".Wolfram MathWorld (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal2020-09-02.
^Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 59,ISBN 1-59311-695-0.
^"Problem Set 1.3".jwilson.coe.uga.edu. Diakses tanggal2017-12-12.
^Josefsson, Martin,"Properties of equidiagonal quadrilaterals"Diarsipkan 2022-09-27 diWayback Machine.Forum Geometricorum, 14 (2014), 129–144.
^"Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram".www.mathsisfun.com. Diakses tanggal2020-09-02.
^Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 inMathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
^Lundsgaard Hansen, Martin."Vagn Lundsgaard Hansen".www2.mat.dtu.dk. Diakses tanggal2017-12-12.
^"Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS".gogeometry.com. Diakses tanggal2017-12-12.
^Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances",Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Diarsipkan 2016-10-10 diWayback Machine.
^Meskhishvili, Mamuka (2021)."Cyclic Averages of Regular Polygonal Distances"(PDF).International Journal of Geometry.10: 58–65.

l b s Bangun geometri
Elemen geometri menurut dimensi	Titik (0D) · Garis (1D) · Bidang (2D) · Ruang (3D)
Besaran geometri menurut dimensi	Panjang (1D) · Luas (area) (2D) · Volume (3D)
Istilah dasar lain	Radius (jari-jari) · Sisi (segi) · Sudut
Bangun 2 dimensi	Belah ketupat · Elips · Jajar genjang · Layang-layang · Lingkaran · Persegi · Persegi panjang · Poligon (segi-n) · Segi empat · Segitiga · Trapesium
Bangun 3 dimensi	Balok · Bola · Kerucut · Kubus · Limas · Polihedron (bidang-n) · Prisma · Sferoid (elipsoid revolusi) · Tabung (silinder)

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persegi&oldid=26308575"

Kategori tersembunyi:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp