Artikel atau bagian artikel ini diterjemahkan secara buruk. Kualitas terjemahannya masih kurang bagus. Bagian-bagian yang mungkin diterjemahkan dari bahasa lain masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Anda dapat mempertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menulis ulang artikel atau bagian artikel ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong padaProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)
Artikel atau bagian dari artikel ini diterjemahkan dariAddition di en.wikipedia.org.Terjemahannya masih terlalu kaku, kemungkinan besar karena kalimat Inggrisnya diterjemahkan kata-per-kata. Maka dari itu, terjemahan di artikel ini masih memerlukan penyempurnaan.Pengguna yang mahir denganbahasa yang bersangkutan dipersilakan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini, atau Anda juga dapat ikut bergotong royong dalamProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)
3 + 2 = 5 denganapel pilihan paling populer dalam buku cetak[1]
Penambahan, sering ditandai dengantanda plus "+", adalah salah satu dari empatoperasiaritmetika dasar. Penjumlahan merupakan penambahan sekelompokbilangan atau lebih menjadi suatu bilangan yang disebutjumlah. Misalnya di gambar di samping, terdapat tiga apel di sisi kiri dan dua apel di sisi kanan, menghasilkan jumlah lima apel. Dalam simbol matematika, ini dilambangkan "3 + 2 = 5", disebut "3 ditambah 2sama dengan 5".
Selain untuk menghitung jumlah benda, penambahan bisa didefinisikan dan digunakan untuk menghitung objek abstrak berupabilangan, di antaranyabilangan bulat,bilangan real, danbilangan kompleks. Dalam cabang matematika lain yang disebutaljabar, penambahan bisa digunakan untuk objek-objek abstrak lainnya sepertivektor danmatriks.
Penambahan memiliki beberapa sifat penting. Penambahan bersifatkomutatif, yang berarti urutan bilangan yang ditambahkan tidak berpengaruh, dan bersifatasosiatif, yang berarti jika terdapat beberapa operasi penambahan maka urutan penambahan yang dikerjakan terlebih dahulu tidak berpengaruh. Menambahkan0 tidak mengubah bilangan yang ditambah. Penambahan juga memiliki aturan-aturan yang terkait dengan operasipengurangan danperkalian.
Penjumlahan kolom bilangan pada kolom akan ditambahkan, dengan penjumlahan ditulis di bawahgaris bawah bilangan.
Ada pula situasi di mana penambahan "dipahami", meskipun tidak ada simbol yang muncul:
Bilangan bulat denganpecahan menunjukkan jumlah keduanya, yang disebutbilangan campuran.[4] Sebagai contoh, . Notasi ini dapat membingungkan, karena sebagian besar konteks lain,jukstaposisi seperti ini menunjukkanperkalian sebagai gantinya.[5]
Jumlah dari sebuahderet dari bilangan terkait dapat diekspresikan melaluinotasi Sigma yang secara kompak menunjukkaniterasi. Sebagai contoh,
Bilangan atau objek yang akan ditambahkan dalam penjumlahan umum secara kolektif disebut sebagaisuku,[6]tinambah[7][8][9] ataupenjumlahan;[10]terminologi ini dibawa ke penjumlahan beberapa istilah.Dibedakan darifaktor, yaituperkalian.Beberapa penulis menyebut tambahan pertama sebagaiaugend.[7][8][9] Faktanya, selamaRenaisans, banyak penulis tidak menganggap tambahan pertama sebagai "tambahan" sama sekali.[a] Saat ini, karenasifat komutatif penjumlahan, "augend" jarang digunakan, dan kedua istilah tersebut umumnya disebut adend.[11]
Ilustrasi yang digambar ulang olehThe Art of Nombryng, salah satu teks aritmetika dalam bahasa Inggris pertama, pada abad ke-15.[12]
Tanda plus "+" (Unicode:U+002B;ASCII:+) adalah singkatan dari kata Latinet, yang berarti "dan".[13] Muncul dalam karya matematika yang berasal dari setidaknya 1489.[14]
Penambahan digunakan untuk memodelkan banyak proses fisik. Bahkan untuk kasus sederhana penambahanbilangan asli, banyak kemungkinan interpretasi dan bahkan lebih banyak lagi representasi visual.
Interpretasi paling mendasar dari penjumlahan terletak pada himpunan gabungan:
Ketika dua atau lebih koleksi terputus digabungkan menjadi satu koleksi, jumlah objek dalam satu koleksi adalah jumlah dari jumlah objek dalam koleksi asli.
Interpretasi ini mudah untuk divisualisasikan, dengan sedikit bahaya ambiguitas. Dalam matematika tingkat tinggi (untuk definisi ketat yang diilhaminya, lihat§ Bilangan asli di bawah ini). Namun, tidak jelas bagaimana seseorang harus memperluas versi penjumlahan ini untuk memasukkan bilangan pecahan atau bilangan negatif.[15]
Salah satu perbaikan yang mungkin dilakukan adalah dengan mempertimbangkan koleksi objek dengan mudah dibagi, seperti pai atau lebih baik lagi, batang tersegmentasi.[16] Menggabungkan himpunan segmen, batang dapat digabungkan dari ujung ke ujung, yang menggambarkan konsep tambahan lainnya: menambahkan bukan batang tetapi panjang batang.
Visualisasi garis bilangan dari penjumlahan aljabar 2 + 4 = 6. Translasi oleh 2 diikuti dengan translasi oleh 4 sama dengan translasi oleh 6.Visualisasi garis bilangan dari penjumlahan uner 2 + 4 = 6. Translasi oleh 4 ekuivalen dengan empat translasi oleh 1.
Interpretasi kedua tentang penjumlahan berawal dari panjang awal dengan panjang tertentu:
Jika panjang asli panjang dengan jumlah tertentu, panjang akhirnya adalah jumlah dari panjang asli dan panjang.[17]
Jumlaha +b dapat diartikan sebagaioperasi biner yang menggabungkana danb, dalam arti aljabar, dapat diartikan sebagai penambahanb lebih banyak unit kea. Dibawah interpretasi terakhir, bagian dari penjumlahana +b memainkan peran asimetri, dan operasia +b sebagaioperasi uner +b kea.[18] Alih kedua adendemena danb, lebih tepat untuka dariaugend dalam kasus ini, karenaa memainkan peran pasif. Tampilan uner berguna saat mendiskusikanpengurangan, karena setiap operasi penjumlahan uner memiliki operasi pengurangan uner terbalik, dansebaliknya.
Penambahan bersifatkomutatif, berarti urutan di mana dua bilangan ditambahkan tidak menjadi masalah, hasilnya akan tetap sama. Secara simbolis, jikax dany adalah sembarang bilangan, maka
Penambahan bersifatasosiatif, yang berarti dalam pernyataan yang hanya melibatkan penambahan tidak terpengaruh denganurutan operasi. Misalkan untuk pernyataan, jika pernyataan tersebut diartikan sebagai maupun, hasilnya akan sama.
Akan tetapi, jika penambahan berada di dalam pernyataan yang melibatkan operasi lain, urutan operasi akan berpengaruh. Misalnya, jika suatu pernyataan berisi operasi penambahan dan perkalian, maka operasi perkalian harus dilakukan terlebih dahulu.
Ketika menambahkannol dengan suatu bilangan apapun, hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut; nol adalahelemen identitas dari penambahan. Dalam simbol matematika, untukx apapun,
x + 0 = 0 +x =x.
Hukum ini pertama dikenali dalamBrahmasphutasiddhanta dariBrahmagupta pada tahun 628, meskipun dia menulisnya sebagai tiga hukum terpisah, bergantung pada apakaha adalah bilangan negatif, positif, atau nol, dan dia menggunakan kata-kata bukannya simbol aljabar. MatematikawanIndia kemudian memperhalus konsepnya; pada sekitar tahun 830,Mahavira menulis, "nol menjadi nilai yang sama dengan nilai yang ditambahkan dengannya", sesuai dengan pernyataan unary0 +x =x.[19]
Dalam konteks bilangan bulat, penambahansatu juga memainkan peran khusus: untuk sembarang bilangan bulata, bilangan bulat(a + 1) adalah bilangan bulat terkecil daria, juga dikenal sebagaipenerus daria.[20] Misalnya, 3 adalah penerus 2 dan 7 adalah penerus 6. Karena suksesi ini, nilaia +b juga dapat dilihat sebagai penerus ke-b daria, membuat penambahan suksesi iterasi. Misalnya,6 + 2 adalah 8, karena 8 adalah penerus 7, yang merupakan penerus 6, menjadikan 8 penerus ke-2 dari 6.
Untuk menambahkankuantitas-kuantitas fisik dengansatuan, kuantitas-kuantitas tersebut harus memiliki satuan yang sama.[21] Contohnya, 24 meter ditambah 1 meter sama dengan 25 meter. Akan tetapi, jika air bervolume 500 mililiter ditambahkan air bervolume 3 liter, maka jumlah volume airnya adalah 3500 mililiter, karena 3 liter sama dengan 3000 mililiter. Sedangkan menambahkan 3 meter dengan 4 meter persegi tidaklah bermakna, karena kedua satuan tersebut tidak bisa dibandingkan. Pertimbangan-pertimbangan ini merupakan dasar darianalisis dimensi.
Studi perkembangan matematika yang dimulai sekitar tahun 1980-an telah mengeksploitasi fenomenapembiasaan:bayi melihat lebih lama pada situasi yang tidak terduga.[22] Percobaan tersebut dimulai olehKaren Wynn pada tahun 1992 yang melibatkan bonekaMickey Mouse yang dimanipulasi di belakang layar menunjukkan bahwa bayi berusia lima bulan 'berharap'1 + 1 menjadi 2, dan mereka relatif terkejut ketika situasi fisik tampaknya menyiratkan bahwa1 + 1 bernilai 1 atau 3. Penemuan ini telah ditegaskan oleh berbagai laboratorium dengan menggunakan metodologi yang berbeda.[23] Eksperimen tahun 1992 lainnya denganbalita yang lebih tua, antara 18 dan 35 bulan, mengeksploitasi perkembangan kontrol motorik mereka dengan memungkinkan mereka mengambil bolaping-pong dari kotak; yang termuda merespons dengan baik untuk jumlah kecil, sementara subjek yang lebih tua mampu menghitung jumlah hingga 5.[24]
Bahkan beberapa hewan bukan manusia menunjukkan kemampuan terbatas untuk menambah, terutamaprimata. Dalam percobaan tahun 1995 meniru hasil Wynn tahun 1992 (tetapi menggunakanterong sebagai pengganti boneka),monyet rhesus dantamarin berkepala kapas memiliki penampilan yang mirip dengan bayi manusia. Lebih dramatis, diajari arti dariangka Arab 0 hingga 4, satusimpanse dapat menghitung jumlah dua angka tanpa pelatihan lebih lanjut.[25] Baru-baru ini,Gajah Asia telah mendemonstrasikan kemampuan melakukan aritmetika dasar.[26]
Biasanya, anak pertama menguasaimenghitung. Ketika diberikan masalah yang mengharuskan dua item dan tiga item digabungkan, anak kecil mencontohkan situasi dengan objek fisik, jari atau gambar dan kemudian hitung totalnya. Saat mereka memperoleh pengalaman, mereka mempelajari atau menemukan strategi "mengandalkan": diminta untuk menemukan dua tambah tiga, anak-anak menghitung tiga lewat dua, mengatakan "tiga, empat,lima" (biasanya berdetak dengan jari), dan tiba pukul lima. Strategi ini tampaknya hampir universal; anak-anak dengan mudah memahaminya dari teman atau guru.[27] Sebagian besar menemukannya secara mandiri. Dengan pengalaman tambahan, anak-anak belajar menambah lebih cepat dengan memanfaatkan komutatifitas penjumlahan dengan menghitung dari bilangan yang lebih besar, dalam hal ini, dimulai dengan tiga dan menghitung "empat,lima." Akhirnya anak-anak mulai mengingat fakta penjumlahan tertentu ("bilangan ikatan"), baik melalui pengalaman atau hafalan. Begitu beberapa fakta dimasukkan ke dalam ingatan, anak-anak mulai memperoleh fakta yang tidak diketahui dari yang diketahui. Misalnya, seorang anak yang diminta untuk menjumlahkan enam dan tujuh mungkin tahu itu6 + 6 = 12 dan kemudian beralasan bahwa6 + 7 adalah 13.[28] Fakta yang diturunkan dapat ditemukan dengan sangat cepat dan sebagian besar siswa sekolah dasar pada akhirnya mengandalkan campuran dari fakta yang dihafal dan diturunkan untuk menambahkan dengan lancar.[29]
Negara yang berbeda memperkenalkan bilangan bulat dan aritmetika pada usia yang berbeda, dengan banyak negara mengajar tambahan di prasekolah.[30] Namun, di seluruh dunia, penjumlahan diajarkan pada akhir tahun pertama sekolah dasar.[31]
Anak-anak sering diberikan tabel penjumlahan pasangan angka dari 0 hingga 9 untuk dihafal. Mengetahui hal ini, anak-anak dapat melakukan penjumlahan apapun.
Prasyarat untuk penjumlahan dalam sistemdesimal adalah penarikan atau penurunan yang lancar dari "fakta penjumlahan" 100 digit tunggal. Seseorang bisa menghafal semua fakta dengan hafalan, tetapi strategi berbasis pola lebih mencerahkan dan, bagi kebanyakan orang, lebih efisien:[32]
Sifat komutatif: Disebutkan diatas, menggunakan polaa + b = b + a mengurangi jumlah "fakta penjumlahan" dari 100 menjadi 55.
Satu atau dua: Menambahkan 1 atau 2 adalah tugas dasar, dan dapat dilakukan dengan mengandalkan atau, pada akhirnya,intuisi.[32]
Nol: Karena nol adalah identitas aditif, menambahkan nol adalah trivial. Meskipun demikian, dalam pembelajaran berhitung, beberapa siswa diperkenalkan penjumlahan sebagai proses yang selalu meningkatkan penjumlahan;masalah kata dapat membantu merasionalisasi "pengecualian" dari nol.[32]
Ganda: Menambahkan bilangan terkait dengan menghitung dua danperkalian. Fakta ganda membentuk tulang punggung untuk banyak fakta terkait, dan siswa menemukannya relatif mudah untuk dipahami.[32]
Hampir ganda: Jumlah seperti 6 + 7 = 13 dapat dengan cepat diturunkan dari fakta ganda6 + 6 = 12 dengan menambahkan satu, atau dari7 + 7 = 14 dengan menguranginya.[32]
Lima dan sepuluh: Jumlah dari bentuk 5 +x dan 10 +x biasanya dihafal lebih awal dan dapat digunakan untuk mendapatkan fakta lain. Sebagai contoh,6 + 7 = 13 dapat diturunkan dari5 + 7 = 12 dengan menambahkan satu.[32]
Membuat sepuluh: Strategi tingkat lanjut menggunakan 10 sebagai perantara untuk jumlah yang melibatkan 8 atau 9; sebagai contoh,8 + 6 = 8 + 2 + 4 =10 + 4 = 14.[32]
Seiring bertambahnya usia siswa, mereka mengingat lebih banyak fakta, dan belajar memperoleh fakta lain dengan cepat dan lancar. Banyak siswa tidak pernah mengingat semua fakta, tetapi masih dapat menemukan fakta dasar dengan cepat.[29]
Algoritma standar untuk menambahkan bilangan banyak digit adalah dengan meratakan penjumlahan secara vertikal dan menambahkan kolom, dimulai dari kolom satuan di sebelah kanan. Jika sebuah kolom melebihi sembilan, digit tambahannya adalah "simpan" ke kolom berikutnya. Misalnya, sebagai tambahan27 + 59
¹ 27+ 59———— 86
7 + 9 = 16, dan bilangan 1 adalah simpan.[b] Strategi alternatif mulai menambahkan dari digit paling signifikan di sebelah kiri; rute ini membawa sedikit canggung, tetapi lebih cepat untuk mendapatkan perkiraan kasar jumlahnya. Ada banyak metode alternatif.
Pecahan desimal dapat ditambahkan dengan modifikasi sederhana dari proses di atas.[33] Satu meratakan dua pecahan desimal di atas satu sama lain, dengan titik desimal di lokasi yang sama. Jika perlu, menambahkan bilangan nol di belakang ke desimal yang lebih pendek untuk sama panjang dengan desimal yang lebih panjang. Akhirnya, melakukan proses penjumlahan yang sama seperti diatas, kecuali koma desimal ditempatkan di jawaban, persis ditempat itu ditempatkan di penjumlahan.
Sebagai contoh, 45.1 + 4.34 dapat diselesaikan sebagai berikut:
Padanotasi ilmiah, bilangan ditulis dalam bentuk, dimana adalah signifikan dan adalah bagian eksponensial. Penambahan membutuhkan dua angka dalam notasi ilmiah untuk direpresentasikan menggunakan bagian eksponensial yang sama, sehingga dua signifikansi dapat dengan mudah ditambahkan.
Penjumlahan pada basis lain sangat mirip dengan penjumlahan desimal. Sebagai contoh, apabila mempertimbangkan penjumlahan dalam biner.[34] Menambahkan dua angka biner satu digit relatif sederhana, menggunakan bentuk pembawa:
Menambahkan dua digit "1" menghasilkan digit "0", sedangkan 1 harus ditambahkan ke kolom berikutnya. Ini mirip dengan apa yang terjadi dalam desimal ketika angka satu digit tertentu dijumlahkan; jika hasilnya sama atau melebihi nilai akar (10), digit ke kiri bertambah:
Ini dikenal sebagaisimpan.[35] Ketika hasil penjumlahan melebihi nilai sebuah digit, prosedurnya adalah "simpan" kelebihan jumlah dibagi dengan radix (yaitu, 10/10) ke kiri, menambahkannya ke nilai posisi berikutnya. Ini benar karena posisi berikutnya memiliki bobot yang lebih tinggi dengan faktor yang sama dengan akar. Simpan kerja dengan cara yang sama dalam biner:
Dalam contoh ini, dua angka ditambahkan dengan: 011012 (1310) dan 101112 (2310). Baris atas menunjukkan bit simpan yang digunakan. Mulai dari kolom paling kanan,1 + 1 = 102. 1 dibawa ke kiri, dan 0 ditulis dibagian bawah kolom paling kanan. Kolom kedua dari kanan ditambahkan:1 + 0 + 1 = 102; 1 dilakukan, dan 0 ditulis dibagian bawah. Kolom ketiga:1 + 1 + 1 = 112. Kali ini, 1 dilakukan, dan 1 ditulis di baris bawah. Melanjutkan seperti ini memberikan jawaban akhir 1001002 (3610).
Komputer analog bekerja secara langsung dengan besaran fisis, sehingga mekanisme penjumlahannya bergantung pada bentuk penjumlahan. Sebuah penambah mekanis mungkin mewakili dua tambahan sebagai posisi blok geser, dalam hal ini mereka dapat ditambahkan dengantuasperata-rata. Jika penjumlahan adalah kecepatan rotasi dari duaporos, maka ia ditambahkan dengandiferensial. Sebuah penambah hidrolik dapat menambahkantekanan dalam dua ruang dengan memanfaatkanhukum kedua Newton untuk menyeimbangkan gaya pada rakitanpiston. Situasi yang umum untuk menggunakan komputer analog adalah ketika menambahkan duavoltase (direferensikan ketanah); ini dapat dicapai secara kasar denganresistorjaringan, tetapi desain yang lebih baik memanfaatkanpenguat operasional.[36]
Penjumlahan juga merupakan dasar pengoperasiankomputer digital, dimana efisiensi penjumlahan, khususnya mekanismepenerus, merupakan batasan penting untuk kinerja keseluruhan.
Bagian dariperbedaan mesin Charles Babbage termasuk mekanisme penambahan dan pengangkutan
Swipoa, juga disebut bingkai penghitungan, adalah alat hitung yang digunakan berabad-abad sebelum penerapan sistem angka modern tertulis dan masih banyak digunakan oleh pedagang, pedagang, dan juru tulis diAsia,Afrika, dan di tempat lain; ia ditemukan setidaknya 2700–2300 SM, ketika digunakan diSumer.[37]
Blaise Pascal menemukan kalkulator mekanik pada tahun 1642;[38] ia adalahmesin penambah pertama yang bisa beroperasi. Yang digunakan untuk mekanisme pembawa yang dibantu gravitasi. Ia adalah satu-satunya kalkulator mekanis yang beroperasi di abad ke-17[39] dan komputer digital otomatis paling awal.Kalkulator Pascal dibatasi oleh mekanisme penerus-nya, yang memaksa rodanya hanya berputar satu arah sehingga bisa menambah. Untuk mengurangi, operator harus menggunakankomplemen kalkulator Pascal, yang membutuhkan langkah sebanyak penjumlahan.Giovanni Poleni mengikuti Pascal, membangun kalkulator mekanik fungsional kedua pada tahun 1709, sebuah jam hitung yang terbuat dari kayu yang, setelah diatur, apabila mengalikan dua angka secara otomatis.
"Penambahan penuh" rangkaian logika yang menambahkan dua digit biner,A danB, bersama dengan input penerusCdalam, menghasilkan jumlah bit,S, dan hasil penerus,Ckeluar.
Penambah biner melakukan penambahan bilangan bulat pada komputer digital elektronik, biasanya menggunakanaritmetika biner. Arsitektur paling sederhana adalah penambah dengan simpan yang beriak, yang mengikuti algoritma multi-digit standar. Satu sedikit perbaikan adalah desain yang bisa melewati simpan; sesuai intuisi manusia, tidak perlu mengitung semua simpan dalam komputasi999 + 1, tetapi bisa melewati sekumpulan 9 dan melompat ke jawabannya.[40]
// Algoritme iteratifinttambah(intx,inty){intsimpan=0;while(y!=0){simpan=AND(x,y);// AND logisx=XOR(x,y);// XOR logisy=simpan<<1;// bitshift simpan ke kiri satu kali}returnx;}// Algoritme rekursifinttambah(intx,inty){returnxif(y==0)elsetambah(XOR(x,y),AND(x,y)<<1);}
Di komputer, jika hasil penjumlahan terlalu besar untuk disimpan, maka terjadiluapan aritmetika (overflow), menghasilkan jawaban yang salah. Luapan aritmetika yang tidak terduga adalah penyebab yang cukup umum darikutu program (bugs ). Kutu luapan (overflow bug ) seperti ini bisa jadi sulit ditemukan dan didiagnosis karena ia hanya muncul untuk himpunan data input besar, yang cenderung tidak digunakan dalam tes validasi.[41]Masalah tahun 2000 adalah serangkaianbugs di mana kesalahan luapan (overflow) terjadi karena penggunaan format 2 digit selama bertahun-tahun.[42]
Untuk membuktikan sifat-sifat penambahan, penambahan harus didefinisikan pada suatu konteks terlebih dahulu. Penambahan awalnya didefinisikan untukbilangan asli. Dalamteori himpunan, operasi penambahan lalu diperluas untuk himpunan bilangan lain yang mengandung bilangan asli, yaitubilangan bulat,bilangan rasional, danbilangan real.[43]
Ada dua cara populer untuk mendefinisikan jumlah dari dua bilangan aslia danb. Jika bilangan asli didefinisikan sebagaikardinalitas darihimpunan hingga, (kardinalitas suatu himpunan adalah banyak unsur dalam himpunan tersebut), maka jumlah dua bilangan asli bisa didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan N(S) adalah lambang untuk kardinalitas himpunanS. Misalkan terdapat dua himpunan saling lepasA danB, denganN(A) =a danN(B) =b. Makaa +b didefinisikan sebagai.[44]
Di sini,A ∪B adalahgabungan dariA danB. Versi alternatif dari definisi ini memungkinkanA danB bertindih dan kemudian mengambilsatuan disjoin, mekanisme yang memungkinkan unsur-unsur umum untuk dipisahkan dan karena itu dihitung dua kali.
Definisi populer lainnya bersifat rekursif:
Misalkann+ adalah lambang untukpenerus darin, yaitu bilangan setelahn dalam himpunan bilangan asli, jadi 0+=1, 1+=2. Definisikana + 0 =a. Definisikan jumlah secara umum menggunakan rekursia + (b+) = (a +b)+. Jadi misalnya1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ =1+ = 2.[45]
Sekali lagi, variasi kecil pada definisi ini dalam literatur. Secara harfiah, definisi di atas adalah aplikasi dariteorema rekursi padahimpunan terurut parsialN2.[46] Di sisi lain, beberapa sumber lebih sering menggunakan teorema rekursi hingga yang hanya berlaku untuk himpunan bilangan asli. Salah satua untuk sementara "diperbaiki", menerapkan rekursi padab untuk mendefinisikan fungsi "a +", dan menempelkan operasi uner ini untuk semuaa dengan membentuk operasi biner penuh.[47]
Perumusan penambahan rekursif ini telah dikembangkan oleh Dedekind pada tahun 1854, dan dia kemudian mengembangkannya selama dekade-dekade berikutnya.[48] Dia membuktikan sifat asosiatif dan komutatifnya menggunakaninduksi matematika.
Konsepsi bilangan bulat yang sederhana adalah ia terdiri darinilai absolut (yang merupakan bilangan asli) dantanda (umumnyapositif ataunegatif). Bilangan bulat nol adalah kasus ketiga khusus, yang bukan positif atau negatif. Definisi yang sesuai dari penambahan harus dilanjutkan dengan kasus:
Untuk bilangan bulatn, maka |n| menjadi nilai mutlaknya. Misalkana danb adalah bilangan bulat. Jikaa ataub adalah nol, perlukan sebagai identitas. Jikaa danb keduanya positif, tentukana +b = |a| + |b|. Jikaa danb keduanya negatif, tentukana +b = −(|a| + |b|). Jikaa danb memiliki tanda yang berbeda, tentukana +b sebagai selisih antara |a| dan |b|, dengan tanda suku yang nilai absolutnya lebih besar.[49] Sebagai contoh,−6 + 4 = 2; karena –6 dan 4 memiliki tanda yang berbeda, nilai absolutnya dikurangi, dan karena nilai absolut suku negatif lebih besar, jawabannya adalah negatif.
Meskipun definisi ini berguna untuk masalah konkret, jumlah kasus yang perlu dipertimbangkan memperumit pembuktian yang tidak perlu. Jadi metode berikut ini biasa digunakan untuk mendefinisikan bilangan bulat. Hal ini didasarkan pada pernyataan bahwa setiap bilangan bulat adalah selisih dari dua bilangan bulat asli dan bahwa dua selisih tersebut,a –b sama denganc –d jika dan hanya jikaa +d =b +c.Jadi, apabila mendefinisikan secara formal bilangan bulat sebagaikelas ekuivalensi daripasangan terurut bilangan asli di bawahrelasi ekuivalensi
(a,b) ~ (c,d) jika dan hanya jikaa +d =b +c.
Kelas ekuivalensi dari(a,b) berisi(a –b, 0) jikaa ≥b, atau(0,b –a). Jikan adalah bilangan asli, yang menyatakan+n kelas ekuivalen dari(n, 0), dan dengan–n kelas ekuivalen dari(0,n). Hal ini memungkinkan mengidentifikasi bilangan aslin dengan kelas ekivalen+n.
Penambahan pasangan terurut dilakukan berdasarkan komponen:
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa kelas ekuivalen dari hasil hanya bergantung pada kelas ekuivalen dari penyebut, dan dengan demikian ini mendefinisikan penambahan kelas ekuivalen, yaitu bilangan bulat.[50] Perhitungan langsung lainnya menunjukkan bahwa penambahan ini sama dengan definisi kasus di atas.
Cara mendefinisikan bilangan bulat sebagai kelas ekuivalen dari pasangan bilangan asli, dapat digunakan untuk menyematkan ke dalamgrup komutatifsemigrup dengansifat pembatalan. Di sini, semigrup dibentuk oleh bilangan asli dan grup adalah grup aditif bilangan bulat. Bilangan rasional dibangun dengan cara yang sama, dengan mengambil sebagai semigrup bilangan bulat bukan nol dengan perkalian.
Konstruksi ini juga telah digeneralisasikan dengan namagrup Grothendieck untuk kasus setiap semigrup komutatif. Tanpa sifat pembatalanhomomorfisme semigrup dari semigrup ke grup ini adalah non-injektif. Awalnya, "grup Grothendieck", hasil konstruksi ini diterapkan pada kelas ekivalensi di bawahisomorfisme objek darikategori Abelian, denganjumlah langsung sebagai operasi semigrup.
Penambahanbilangan rasional didefinisikan menggunakan penambahan dan perkalian bilangan asli.
Definisikan
Sebagai contoh, jumlah.
Penambahan pecahan lebih sederhana ketikapenyebutnya sama; untuk kasus ini, tinggal dijumlahkan pembilangnya tanpa mengubah penyebutnya:, jadi.[51]
Komutatifitas dan asosiatifitas penjumlahan rasional adalah konsekuensi mudah dari hukum aritmetika bilangan bulat.[52] Untuk diskusi yang lebih ketat dan umum, lihatmedan pecahan.
Konstruksi umum dari himpunan bilangan riil adalah penyelesaian Dedekind dari himpunan bilangan rasional. Bilangan riil didefinisikan sebagaipotongan Dedekind dari rasional:himpunan tak kosong dari rasional tertutup bawah dan tidak memilikielemen terbesar. Jumlah bilangan riila danb didefinisikan elemen demi elemen:
Definisi ini pertama kali diterbitkan, dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi, olehRichard Dedekind pada tahun 1872.[54]Komutatifitas dan asosiatifitas dari penjumlahan riil bersifat langsung; mendefinisikan bilangan riil 0 sebagai himpunan rasional negatif, itu mudah dilihat sebagai identitas tambahan. Mungkin bagian tersulit dari konstruksi yang berkaitan dengan penjumlahan ini adalah definisi invers aditif.[55]
Menjumlahkan π2/6 dane menggunakan deret rasional Cauchy.
Sayangnya, menangani perkalian potongan Dedekind adalah proses kasus per kasus yang memakan waktu yang mirip dengan penambahan bilangan bulat bertanda.[56] Pendekatan lain adalah penyelesaian metrik dari bilangan rasional. Bilangan riil pada dasarnya didefinisikan sebagai limit dariurutan Cauchy dari rasional, liman. Penambahan didefinisikan istilah demi istilah:
Definisi ini pertama kali diterbitkan olehGeorg Cantor, juga pada tahun 1872, meskipun formalismenya sedikit berbeda.[58]Apabila membuktikan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik, berurusan dengan urutan ko-Cauchy. Setelah tugas itu selesai, semua sifat-sifat penjumlahan riil segera mengikuti sifat-sifat bilangan rasional. Selanjutnya, operasi aritmetika lainnya, termasuk perkalian, memiliki definisi analog yang langsung.[59]
Penjumlahan dua bilangan kompleks apabila dilakukan secara geometris dengan membangun jajar genjang.
Bilangan kompleks ditambahkan dengan menambahkan bagian riil dan imajiner dari penjumlahan.[60][61] Artinya:
Menggunakan visualisasi bilangan kompleks pada bidang kompleks, penambahan memiliki interpretasi geometris berikut: jumlah dua bilangan kompleksA danB, ditafsirkan sebagai titik dari bidang kompleks, adalah titikX yang diperoleh dengan membangunjajar genjang tiga di antaranya adalahO,A danB. Secara ekuivalen,X adalah titik sedemikian rupasegitiga dengan simpulO,A,B, danX,B,A adalahkongruen.
Ada banyakoperasi biner yang bisa dianggap sebagai generalisasi dari penambahan. Bidangaljabar abstrak utamanya membahas mengenai operasi-operasi yang digeneralisasi, dan operasi-operasi seperti itu juga ada dalamteori himpunan danteori kategori.
Dalamaljabar linear,ruang vektor adalah struktur aljabar yang mengandung operasi penambahan antara duavektor danperkalian skalar suatu vektor. Contoh ruang vektor adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real; suatu pasangan terurut bilangan real (a,b) dianggap sebagai sebuah vektor dari titik nol ke titik (a,b). Jumlah dua vektor diperoleh dari menambahkan masing-masing koordinatnya:
Operasi penambahan ini penting sekali bagimekanika klasik, di managaya ditafsirkan sebagai vektor.
Penjumlahanmatriks didefinisikan untuk dua matriks yang dimensinya sama. Jumlah dari dua matriks berukuranm ×nA danB, dilambangkan denganA +B, adalah sebuah matriksm ×n yang dihitung dengan menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian:[62][63]
Teori umum dari aljabar abstrak membolehkan "penambahan" diartikan sebagai operasi apapun pada himpunan yang bersifat asosiatif dan komutatif.Struktur aljabar dengan operasi penambahan seperti itu di antaranya adalahmonoid komutatif dangrup abelian.
Generalisasi luas dari penjumlahan bilangan asli adalah penambahanbilangan urut danbilangan kardinal dalam teori himpunan. Ini memberikan dua generalisasi yang berbeda dari penambahan bilangan asli kelintas-hingga. Tidak seperti kebanyakan operasi penjumlahan, penambahan bilangan urut bukan komutatif. Penjumlahan bilangan kardinal, bagaimanapun, adalah operasi komutatif yang berkaitan erat dengan operasisatuan disjoin.
Dalamteori kategori, satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasikoproduk, dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, sepertijumlah langsung danjumlah irisan, diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.
Pengurangan dianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahanaditif invers. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahanx dan penguranganx adalahfungsi invers.
Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.[64]
Perkalian dianggap sebagaipenjumlahan berulang. Jika satu sukux muncul dalam jumlahn kali, maka jumlah tersebut adalah hasil kalin danx. Jikan bukanbilangan asli, produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan−1 menghasilkaninvers aditif dari suatu bilangan.
Mistar geser melingkar
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan denganfungsi eksponensial:[65]
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihattabel darilogaritma dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian padamistar hitung. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luasgrup Lie, dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalamaljabar Lie yang terkait.[66]
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan.[67] Secara umum, operasi perkalian selaludistributif melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisigelanggang. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk(1 + 1)(a +b) dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.[68]
Pembagian adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karenaa/b =a(b−1), pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan:(a +b) /c =a/c +b/c.[69] Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan;1 / (2 + 2) tidak sama dengan1/2 + 1/2.
Log-log petak darix + 1 danmaks (x, 1) dari x = 0,001 sampai 1000[70]
Operasi maksimum "maks (a,b)" adalah operasi biner yang mirip dengan penjumlahan. Faktanya, jika dua bilangan nonnegatifa danb berbedatingkat besaran, maka jumlah mereka kira-kira sama dengan maksimumnya. Pendekatan ini sangat berguna dalam aplikasi matematika, misalnya dalam potonganderet Taylor. Namun, ini menghadirkan kesulitan terus-menerus dalamanalisis numerik, pada dasarnya karena "maks" bukanlah invers. Jikab jauh lebih besar daria, maka perhitungan langsung(a +b)b mengakumulasi nilai yang tidak dapat diterimagalat pembulatan, bahkan mungkin mengembalikan nol. Lihat pulaKehilangan signifikans.
Perkiraan menjadi tepat dalam seperti batas tak hingga; jikaa ataub adalahbilangan kardinal tak hingga, jumlah kardinal mereka persis sama dengan yang besar dari keduanya.[71] Dengan demikian, tidak ada operasi pengurangan untuk kardinal tak hingga.[72]
Maksimisasi bersifat komutatif dan asosiatif, seperti penjumlahan. Selanjutnya, karena penambahan mempertahankan urutan bilangan riil, penambahan mendistribusikan lebih dari "maks" dengan cara yang sama seperti perkalian mendistribusikan lebih dari penambahan:
Untuk alasan ini, dalamgeometri tropis mengganti perkalian dengan penjumlahan dan penjumlahan dengan maksimalisasi. Dalam konteks ini, penjumlahan disebut "perkalian tropis", maksimisasi disebut "penjumlahan tropis", dan "identitas aditif" tropis adalahtak hingga negatif.[73] Beberapa penulis lebih suka mengganti penambahan dengan minimalisasi; maka identitas aditifnya adalah tak terhingga positif.[74]
Mengikat pengamatan ini bersama-sama, penambahan tropis kira-kira terkait dengan penambahan reguler melaluilogaritma:
yang menjadi lebih akurat dengan bertambahnya basis logaritma.[75] Perkiraan dapat dibuat eksak dengan mengekstraksi konstantah, dinamai dengan analogi dengankonstanta Planck darimekanika kuantum,[76] dan mengambil "batas klasik" sebagaih cenderung nol:
Dalam hal ini, operasi maksimum adalah versi penambahan yangterdekuantisasi.[77]
Kenaikan, juga dikenal sebagaioperasi penerus, adalah penambahan1 ke suatu bilangan.
Penjumlahan menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, danjumlah kosong, yaitunol.[78] Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagaideret.[79]
Mencacah himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.
Integrasi adalah semacam "penjumlahan" padakontinum, atau lebih tepatnya dan secara umum, padamanifold terdiferensiasi. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.
Konvolusi digunakan untuk menambahkan duavariabel acak independen yang ditentukan olehfungsi distribusi. Definisi yang biasa menggabungkan integrasi, pengurangan, dan perkalian. Secara umum, konvolusi berguna sebagai semacam penambahan sisi domain; sebaliknya, penambahan vektor adalah semacam penambahan sisi jangkauan.
^"Addend" bukan kata Latin; dalam bahasa Latin itu harus dikonjugasikan lebih lanjut, seperti dalamnumerus aaddendus "angka yang akan ditambahkan".
^Beberapa penulis berpikir bahwa "simpan" mungkin tidak sesuai untuk pendidikan; Van de Walle (p. 211) menyebutnya "usang dan menyesatkan secara konseptual", lebih memilih kata "perdagangan". Namun, "simpan" tetap menjadi istilah standar.
^Lihat Viro 2001 untuk contoh kecanggihan yang terlibat dalam penjumlahan dengan himpunan "kardinalitas pecahan".
^Menambahkannya (p. 73) membandingkan menambahkan batang pengukur dengan menambahkan himpunan kucing: "Misalnya, inci dapat dibagi lagi menjadi beberapa bagian, yang sulit dibedakan dari keseluruhan, kecuali bahwa inci lebih pendek; sedangkan bagi kucing untuk membaginya menjadi beberapa bagian, dan itu sangat mengubah sifat mereka."
^Mosley, F. (2001).Using number lines with 5–8 year olds. Nelson Thornes. p. 8
^Li, Y., &Lappan, G. (2014).Mathematics curriculum in school education. Springer. p. 204
^Randerson, James (21 August 2008)."Elephants have a head for figures".The Guardian. Diarsipkan dariversi asli tanggal 2 April 2015. Diakses tanggal29 March 2015.Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Pendekatan intuitif, membalikkan setiap elemen potongan dan mengambil komplemen, hanya berfungsi untuk bilangan irasional; lihat Enderton hal. 117 untuk detailnya.
^Schubert, E. Thomas, Phillip J. Windley, dan James Alves-Foss. "Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop, volume 971 dari."Catatan Kuliah di Ilmu Komputer (1995).
^Konstruksi buku teks biasanya tidak begitu angkuh dengan simbol "lim"; lihat Burrill (p. 138) untuk pengembangan penjumlahan yang lebih cermat dan berlarut-larut dengan barisan Cauchy.
^Linderholm (hal. 49) mengamati, "Denganperkalian, berbicara dengan benar, seorang matematikawan dapat berarti apa saja. Denganpenambahan dia mungkin berarti banyak hal, tetapi tidak begitu beragam seperti yang dia maksud dengan 'perkalian'."
^Dummit dan Foote hal. 224. Agar argumen ini berhasil, kita masih harus berasumsi bahwa penjumlahan adalah operasi grup dan perkalian itu memiliki identitas.
^Untuk contoh distribusi kiri dan kanan, lihat Loday, khususnya hal. 15.
^Enderton menyebut pernyataan ini sebagai "Hukum Penyerapan Aritmatika Kardinal"; itu tergantung pada komparabilitas kardinal dan oleh karena itu padaAksioma Pilihan.
Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants".The Development of Mathematical Skills. Taylor & Francis.ISBN0-86377-816-X.
Eksposisi matematika
Bogomolny, Alexander (1996)."Addition".Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Diarsipkan dariversi asli tanggal April 26, 2006. Diakses tanggal3 February 2006.Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
Marguin, Jean (1994).Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (dalam bahasa Prancis). Hermann.ISBN978-2-7056-6166-3.
Taton, René (1963).Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 (dalam bahasa Prancis). Presses universitaires de France. hlm. 20–28.
Weaver, J. Fred (1982).Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. hlm. 60.ISBN0-89859-171-6.
