Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Eksponensiasi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dariPangkat)

Operasi aritmetika
Penambahan (+)
suku+sukuyang ditambah+penambahtinambah+penambah}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{suku}}\,+\,{\text{suku}}\\\scriptstyle {\text{yang ditambah}}\,+\,{\text{penambah}}\\\scriptstyle {\text{tinambah}}\,+\,{\text{penambah}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}jumlah{\displaystyle \scriptstyle {\text{jumlah}}}
Pengurangan (−)
suku−sukukinurang−pengurang}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{suku}}\,-\,{\text{suku}}\\\scriptstyle {\text{kinurang}}\,-\,{\text{pengurang}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}selisihbeda{\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{selisih}}\\\scriptstyle {\text{beda}}\end{matrix}}}
Perkalian (×)
faktor×faktorpengali×kinali}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{faktor}}\,\times \,{\text{faktor}}\\\scriptstyle {\text{pengali}}\,\times \,{\text{kinali}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}hasil kalidarab{\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hasil kali}}\\\scriptstyle {\text{darab}}\end{matrix}}}
Pembagian (÷), (/)
dividenpembagi pembilangpenyebut}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividen}}}{\scriptstyle {\text{pembagi}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{pembilang}}}{\scriptstyle {\text{penyebut}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}hasil bagipecahanrasio{\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hasil bagi}}\\\scriptstyle {\text{pecahan}}\\\scriptstyle {\text{rasio}}\end{matrix}}}
Eksponensiasi (^)
bilangan pokokeksponen={\displaystyle \scriptstyle {\text{bilangan pokok}}^{\text{eksponen}}\,=\,}pangkat{\displaystyle \scriptstyle {\text{pangkat}}}
Penarikan akar (√)
radikanpangkat={\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{pangkat}}]{\scriptstyle {\text{radikan}}}}\,=\,}akar{\displaystyle \scriptstyle {\text{akar}}}
Logaritma (log)
bilangan pokoklog⁡(antilogaritma)={\displaystyle \scriptstyle ^{\text{bilangan pokok}}\!\log({\text{antilogaritma}})\,=\,}logaritma{\displaystyle \scriptstyle {\text{logaritma}}}
Grafiky =bx untuk sebagai basisb:  basis 10,  basise,  basis 2,  basis12. Setiap kurva melewati titik(0, 1) karena setiap bilangan bukan nol pangkat 0 adalah 1. Padax = 1, nilaiy sama dengan basis karena setiap bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilangan itu sendiri.
Translation arrow icon
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dariExponentiation di en.wikipedia.org.Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong padaProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)

Eksponensiasi adalah sebuahoperasi matematika, ditulis sebagaibn{\displaystyle b^{n}}, melibatkan duabilangan, basis atau bilangan pokokb{\displaystyle b} dan eksponen atau pangkatn{\displaystyle n}, diucapkan sebagai "b{\displaystyle b} pangkatn{\displaystyle n}".[1][2] Ketikan{\displaystyle n} adalahbilangan bulat positif, eksponensiasi adalahperkalian berulang dari basis: yaitu,bn{\displaystyle b^{n}} adalahdarab dari mengalikan basisn{\displaystyle n}:[2]

bn=b×⋯×b⏟sebanyak n kali.{\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \dots \times b} _{{\text{sebanyak }}n{\text{ kali}}}.}

Satu memilikib1 =b, dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positifm dann, apabila memilikibn ⋅bm =bn+m. Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif,b0 didefinisikan sebagai1, danb−n (dengann bilangan bulat positif danb bukan nol) didefinisikan sebagai1bn. Khususnya,b−1 sama dengan1b,timbal balik darib.

Definisi eksponensial diperluas untuk memungkinkan eksponen real ataukompleks. Eksponen dengan eksponen bilangan bulat juga didefinisikan untuk berbagai macam struktur aljabar, termasukmatriks.

Eksponen digunakan secara luas di berbagai banyak bidang, yaituekonomi,biologi,kimia,fisika, danilmu komputer, dengan aplikasi sepertibunga majemuk,pertumbuhan populasi,kinetika reaksi kimia, perilakugelombang, dankriptografi kunci publik.

Terminologi

[sunting |sunting sumber]

Ekspresib2 =b ⋅b disebut "persegi darib" atau "kuadratb", karena luas persegi dengan panjang sisib adalahb2.

Demikian pula, ekspresib3 =b ⋅b ⋅b disebut "kubus darib" atau "b pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusukb adalahb3.

Karena itu adalahbilangan bulat positif, eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya,35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243. Basis3 muncul5 kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah5. Maka,243 adalahpangkat ke-5 dari 3, atau3 terpangkat ke-5.

Kata "pangkat" terkadang dihilangkan, jadi35 dapat dibaca "3 ke 5". Oleh karena itu, eksponensiasibn dinyatakan sebagai "b untuk pangkatn", "b untuk pangkat ke-n", "b untuk ke-n", atau disingkat juga sebagai "b untukn ".

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti357 (yang berarti3(57) dan bukan(35)7), disebut juga sebagaimenara pangkat.

Eksponen bilangan bulat

[sunting |sunting sumber]

Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung darioperasi aritmetika dasar.

Eksponen positif

[sunting |sunting sumber]

Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secaraformalisasi dengan menggunakaninduksi,[3] dan definisi ini digunakan segara untuk perkalianasosiasi:

Kasus dasarnya adalah

b1=b{\displaystyle b^{1}=b}

danpengulangan adalah

bn+1=bn⋅b.{\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}

Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positifm dann, adalah

bm+n=bm⋅bn,{\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}

dan

(bm)n=bmn.{\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}

Eksponen nol

[sunting |sunting sumber]

Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat0 adalah1:[2][4]

b0=1.{\displaystyle b^{0}=1.}

Definisi ini adalah satu-satunya memungkinkan perluasan rumus

bm+n=bm⋅bn{\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}

ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiapstruktur aljabar dengan perkalian yang memilikiidentitas.

Secara intuitif,b0{\displaystyle b^{0}} diartikan sebagaidarab kosong dari salinanb. Jadi, persamaanb0=1{\displaystyle b^{0}=1} adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

Kasus00 adalah rumit. Dalam konteks dimana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai0 umumnya ditetapkan ke00,{\displaystyle 0^{0},} namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks.

Untuk detail selengkapnya, lihatNol ke pangkat nol.

Eksponen negatif

[sunting |sunting sumber]

Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulatn dan bukan nolb:

b−n=1bn.{\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}.}[2]

Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, maka ditafsirkan sebagai tak hingga (∞{\displaystyle \infty }).

Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitasbm+n=bm⋅bn{\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}} ke eksponen negatif (pertimbangkan kasusm=−n{\displaystyle m=-n}).

Definisi yang sama berlaku untukelemen terbalikkan dalammonoid perkalian, yaitu,struktur aljabar dengan perkalian asosiatif danidentitas perkalian yang dilambangkan1 (misalnya,matriks persegi dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers darielemen terbalikkanx secara standar dilambangkan sebagaix−1.{\displaystyle x^{-1}.}

Identitas dan sifat

[sunting |sunting sumber]
"Hukum Indeks" beralih ke halaman ini. Untuk kuda, lihatHukum Indeks (kuda).

Identitas berikut ini, sering disebut juga sebagaikaidah eksponen, untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:[2]

bm+n=bm⋅bn(bm)n=bm⋅n(b⋅c)n=bn⋅cn{\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlahkomutatif (misalnya,23 = 8 ≠ 32 = 9), dan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlahasosiatif (misalnya,(23)2 = 82 = 64, dimana2(32) = 29 = 512). Tanpa tanda kurung,urutan operasi konvensional untukderet eksponensial dalam notasi superskrip adalahtop-down (atau asosiatif-kanan), bukanbottom-up[5][6][7][8] (atau asosiatif-kiri). Maka,

bpq=b(pq),{\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}

yang secara umum berbeda dengan

(bp)q=bpq.{\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}

Pangkat jumlah

[sunting |sunting sumber]

pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan denganrumus binomial

(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i=∑i=0nn!i!(n−i)!aibn−i.{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}

Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaituab =ba), yang menyatakan apabila ia termasuk dalamstruktur yaitukomutatif. Jika tidak,a danb adalahmatriks persegi dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak digunakan. Oleh karena itu dalamaljabar komputer, banyakalgoritma yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umumsistem aljabar komputer menggunakan notasi yang berbeda (terkadang,^^ sebagai gantinya adalah^) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebuteksponensial non-komutatif.

Interpretasi kombinatorial

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Eksponen atas himpunan

Untuk bilangan bulat tak-negatifn danm, nilai darinm adalah jumlahfungsi dari elemenhimpunanm ke elemen himpunann (lihateksponensial kardinal). Fungsi tersebut diwakilankan sebagairangkap-m dari elemen himpunan-n (atau sebagai kata hurufm dari alfabet hurufn). Beberapa contoh untuk nilaim dann tertentu diberikan dalam tabel berikut:

nmnm yang merupakan rangkap-m dari elemen himpunan(1, ...,n}
05 = 0tidak ada
14 = 1(1, 1, 1, 1)
23 = 8(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4(1), (2), (3), (4)
50 = 1()

Basis khusus

[sunting |sunting sumber]

Pangkat sepuluh

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Notasi ilmiah
Artikel utama:Pangkat 10

Dalam sistem bilangan basis sepuluh (desimal), pangkat bilangan bulat10 ditulis sebagai digit1 diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya,103 =1000 dan10−4 =00.001.

Eksponen dengan basis10 digunakan dalamnotasi ilmiah untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya,299.792.458 m/s (kecepatan cahaya dalam ruang hampa), dalammeter per detik) dapat ditulis sebagai299.792.458×108 m/s dan kemudianperkiraan sebagai2998×108 m/s.

Awalan SI berdasarkan pangkat10 yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalankilo berarti103 =1000, jadi satu kilometer adalah1000 m.

Pangkat dua

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Pangkat dua

pangkat negatif pertama2 biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya:setengah dankuarterner.

pangkat2 muncul dalamteori himpunan, karena himpunan dengan anggotan memilikihimpunan pangkat, himpunan dari semuahimpunan bagian-nya, yang memiliki anggota2n.

pangkat bilangan bulat2 penting dalamilmu komputer. Bilangan bulat positif pangkat2n memberikan jumlah bilangan untukbitn bilangan bulatbilangan biner; misalnya,bita mengambil nilai28 = 256 yang berbeda.Sistem bilangan biner menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat2, dan menyatakannya sebagai urutan0 dan1, dipisahkan olehtitik biner, dimana1 menunjukkan pangkat2 yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat1 ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat1 sebelah kiri titik (mulai dari0), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

Pangkat satu

[sunting |sunting sumber]

pangkat satu adalah semua satu-satunya:1n = 1.Ppangkat nol

Jika eksponenn positif (n > 0), pangkat ke-n dari nol adalah nol:0n = 0.

Jikalau eksponenn negatif (n < 0), pangkat ke-n dari nol0 n tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan1/0−n{\displaystyle 1/0^{-n}} dengan−n > 0, dan ini sebagai menjadi1/0{\displaystyle 1/0}.

Ekspresi00 didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (lihatNol pangkat nol).

[Pangkat negatif satu

[sunting |sunting sumber]

Jikan adalah bilangan bulat genap, maka(−1)n = 1.

Jikalaun adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah(−1)n = −1.

Oleh karena itu, pangkat−1 berguna untuk menyatakan sebagaiurutan bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleksi, lihat§ Pangkat bilangan kompleks.

Eksponen besar

[sunting |sunting sumber]

Limit barisan pangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:

bn → ∞ sebagain → ∞ jikab > 1

Apabila dibaca sebagai "b pangkatn cenderung+∞ sebagain cenderung tak hingga ketikab memiliki nilai besar daripada satu".

pangkat suatu bilangan dengannilai absolut kurang dari satu cenderung nol:

bn → 0 sebagain → ∞ jika|b| < 1

Setiap pangkat satu tetap satu:

bn = 1 untuk semuan jikab = 1

pangkat–1 berganti antara1 dan–1 sebagain berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhann.

Jikab < –1,bn, berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dann berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhann.

Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke1 karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah

(1 + 1/n)n →e sebagain → ∞

Lihat§ Fungsi eksponensial dibawah ini.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakanbentuk antara, dijelaskan dalam§ Pangkat limit dibawah.

Fungsi pangkat

[sunting |sunting sumber]
Fungsi pangkat untukn=1,3,5{\displaystyle n=1,3,5}
Fungsi pangkat untukn=2,4,6{\displaystyle n=2,4,6}

Fungsi real dari bentukf(x)=cxn{\displaystyle f(x)=cx^{n}}, dimanac≠0{\displaystyle c\neq 0}, terkadang disebut sebagai fungsi pangkat.[butuh rujukan] Ketikan{\displaystyle n} adalahbilangan bulat dann≥1{\displaystyle n\geq 1}, maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untukn{\displaystyle n} genap, dan untukn{\displaystyle n} ganjil. Secara umum untukc>0{\displaystyle c>0}, bilan{\displaystyle n} genapf(x)=cxn{\displaystyle f(x)=cx^{n}} cenderung ke arah positifketakterhinggaan dengan penambahanx{\displaystyle x}, dan juga menuju tak hingga positif dengan turunanx{\displaystyle x}. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umumy=cx2{\displaystyle y=cx^{2}}, yang merata ditengah sebagai tingkatann{\displaystyle n}.[9] Fungsi dengansimetri(f(−x)=f(x){\displaystyle f(-x)=f(x)}) seperti ini disebutfungsi genap.

Ketikan{\displaystyle n} ganjil, perilakuasimptotikf(x){\displaystyle f(x)} berbalik darix{\displaystyle x} positif kex{\displaystyle x} negatif. Untukc>0{\displaystyle c>0},f(x)=cxn{\displaystyle f(x)=cx^{n}} juga cenderung ke arah positifketakterhinggaan dengan tingkatanx{\displaystyle x}, tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunanx{\displaystyle x}. Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat ganjil memiliki bentuk umumy=cx3{\displaystyle y=cx^{3}}, merata ditengah ketika tingkatann{\displaystyle n} dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untukn=1{\displaystyle n=1}. Fungsi dengan simetri seperti ini(f(−x)=−f(x){\displaystyle f(-x)=-f(x)}) disebutfungsi ganjil.

Untukc<0{\displaystyle c<0}, perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.[9]

Daftar pangkat bilangan bulat

[sunting |sunting sumber]
nn2n3n4n5n6n7n8n9n10
2481632641282565121024
3927812437292187656119.68359.049
416642561024409616.38465.536262.1441.048.576
525125625312515.62578.125390.6251.953.1259.765.625
6362161296777646.656279.9361.679.61610.077.69660.466.176
749343240116.807117.649823.5435.764.80140.353.607282.475.249
864512409632.768262.1442.097.15216.777.216134.217.7281.073.741.824
981729656159.049531.4414.782.96943.046.721387.420.4893.486.784.401
10100100010.000100.0001.000.00010.000.000100.000.0001.000.000.00010.000.000.000

Eksponen rasional

[sunting |sunting sumber]
Dari atas ke bawah:x1/8,x1/4,x1/2,x1,x2,x4,x8.

Jikax adalahbilangan real nonnegatif, dann adalah bilangan bulat positif,x1n{\displaystyle x^{\frac {1}{n}}} atauxn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} menunjukkan real positif unikakar ke-n darix, yaitu, bilangan real positif uniky sehinggayn=x.{\displaystyle y^{n}=x.}

Jikax adalah bilangan real positif, danpq{\displaystyle {\frac {p}{q}}} adalahbilangan rasional, denganp danq ≠ 0 bilangan bulat, makaxpq{\textstyle x^{\frac {p}{q}}} didefinisikan sebagai

xpq=(xp)1q=(x1q)p.{\displaystyle x^{\frac {p}{q}}=\left(x^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}.}

Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkany=x1q,{\displaystyle y=x^{\frac {1}{q}},} dan menulis(x1q)p=yp=((yp)q)1q=((yq)p)1q=(xp)1q.{\displaystyle (x^{\frac {1}{q}})^{p}=y^{p}=\left((y^{p})^{q}\right)^{\frac {1}{q}}=\left((y^{q})^{p}\right)^{\frac {1}{q}}=(x^{p})^{\frac {1}{q}}.}

Jikar adalah bilangan rasional positif,0r=0,{\displaystyle 0^{r}=0,} menurut definisi.

Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas(xr)s{\displaystyle (x^{r})^{s}} ke eksponen rasional.

Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke-n real, yang negatif jikan adalahganjil, dan tidak memiliki akar real jikan genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke-n memilih satu untukx1n,{\displaystyle x^{\frac {1}{n}},} identitas(xa)b=xab{\displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}}. Misalnya,

((−1)2)12=112=1≠(−1)2⋅12=(−1)1=−1.{\displaystyle \left((-1)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}=1\neq (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=(-1)^{1}=-1.}

Lihat§ Eksponen real dengan basis negatif danPangkat bilangan kompleks § Catatan untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Eksponen real

[sunting |sunting sumber]

Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas (§ Limit eksponen rasional, dibawah), atau dalam hallogaritma dari basis danfungsi eksponensial (§ Pangkat melalui logaritma, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, danidentitas dan sifat yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung kekompleks eksponen.

Di sisi lain, eksponensial ke pangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat§ Eksponen real dengan basis negatif). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebutnilai utama, tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya

(br)s=brs{\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{rs}}

adalah benar; lihat§ Kegagalan pangkat dan identitas logaritma. Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagaifungsi multinilai.

Limit eksponen rasional

[sunting |sunting sumber]
Limite1/n adalahe0 = 1 ketikan cenderung ketakterhinggaan.

Karenabilangan irasional dapat dinyatakan sebagailimit barisan dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positifb dengan eksponen real sembarangx didefinisikan olehkontinuitas dengan kaidah[10]

bx=limr(∈Q)→xbr(b∈R+,x∈R),{\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}

dimana limitnya diambil alih nilai rasionalr saja. Limit ini ada untuk setiapb positif dan setiapx real.

Misalnya, jikax =π, diwakilankandesimal tanpaπ = 3.14159... danmonotonisitas dari pangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh pangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagaibπ:{\displaystyle b^{\pi }:}

[b3,b4],[b3.1,b3.2],[b3.14,b3.15],[b3.141,b3.142],[b3.1415,b3.1416],[b3.14159,b3.14160],…{\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk duabarisan yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagaibπ.{\displaystyle b^{\pi }.}

Apabila mendefinisikanbx{\displaystyle b^{x}} untuk setiapb positif danx positif sebagaifungsi kontinu darib danx.

Fungsi eksponensial

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial didefinisikan sebagaix↦ex,{\displaystyle x\mapsto e^{x},} dimanae≈2,718{\displaystyle e\approx 2,718} adalahbilangan Euler. Untuk menghindaripenalaran lingkar, definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikanexp⁡(x),{\displaystyle \exp(x),} dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki:

exp⁡(x)=ex.{\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}

Terdapatbanyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial, salah satunya adalah mendefinisikannya sebagaifungsi invers darilogaritma alami. Tepatnya, logaritma natural adalahantiturunan dari1/x{\displaystyle 1/x} yang mengambil nilai0 untukx = 1 :

ln⁡x=∫1xdtt.{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}.}

Apabila mendefinisikan logaritma sebagaifungsi meningkat dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkanexp. Satu satunya, memiliki

exp⁡(0)=1,{\displaystyle \exp(0)=1,}

danidentitas eksponensial

exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y){\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}

untuk setiapx dany.

Bilangan Euler didefinisikan sebagaie=exp⁡(1){\displaystyle e=\exp(1)}. Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwaexp⁡(x)=ex{\displaystyle \exp(x)=e^{x}} denganx adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jikax adalah real,exp⁡(x)=ex{\displaystyle \exp(x)=e^{x}} dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jikax adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.

Fungsi eksponensial memenuhi persamaan

exp⁡(x)=∑n=0∞xnn.{\displaystyle \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.}

Karenaderetkonvergen untuk setiapkompleks nilaix dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pulaez,{\displaystyle e^{z},} untuk argumen kompleksz. Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

Pangkat melalui logaritma

[sunting |sunting sumber]

Definisiex sebagai fungsi eksponensial didefinisikanbx untuk setiap bilangan real positifb, dalam hal fungsi eksponensial danlogaritmik. Secara khusus, bahwalogaritma naturalln(x) adalahinvers dari fungsi eksponensialex maka ia memiliki

b=exp⁡(ln⁡b)=eln⁡b{\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}

untuk setiapb > 0. Untuk mempertahankan identitas(ex)y=exy,{\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},} maka ia memiliki

bx=(eln⁡b)x=exln⁡b{\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}

Jadi,exln⁡b{\displaystyle e^{x\ln b}} digunakan sebagai definisi alternatif daribx untuk setiap real positifb. Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.

Eksponen kompleks dengan basis real positif

[sunting |sunting sumber]

Jikab adalah bilangan real positif, eksponen dengan basisb dankompleks eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir§ Fungsi eksponensial, diatas) sebagai

bz=e(zln⁡b),{\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}

dimanaln⁡b{\displaystyle \ln b} menunjukkanlogaritma natural darib.

Maka, ini memenuhi identitas

bz+t=bzbt,{\displaystyle b^{z+t}=b^{z}b^{t},}

Secara umum,(bz)t{\textstyle \left(b^{z}\right)^{t}} tidak didefinisikan, karenabz bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat§ Pangkat bilangan kompleks, dibawah), secara umum,

(bz)t≠bzt,{\displaystyle \left(b^{z}\right)^{t}\neq b^{zt},}

kecualiz adalah real atauw adalah bilangan bulat.

Rumus Eulereiy=cos⁡y+isin⁡y,{\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y,} mengekspresikanbentuk polar daribz{\displaystyle b^{z}} dalam halbagian real dan imajiner dariz, yaitu

bx+iy=bx(cos⁡(yln⁡b)+isin⁡(yln⁡b)),{\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),}

dimananilai absolut dari faktortrigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah

bx+iy=bxbiy=bxeiyln⁡b=bx(cos⁡(yln⁡b)+isin⁡(yln⁡b)).{\displaystyle b^{x+iy}=b^{x}b^{iy}=b^{x}e^{iy\ln b}=b^{x}(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).}

Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

[sunting |sunting sumber]

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-n, yaitu, dari eksponen1/n,{\displaystyle 1/n,} dimanan adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-n, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakanlogaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.

Akar ke-n pada bilangan kompleks

[sunting |sunting sumber]

Setiap bilangan kompleks bukan nolz dapat ditulis dalambentuk polar sebagai

z=ρeiθ=r(cosθ+isin⁡θ),{\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=r(cos\theta +i\sin \theta ),}

dimanaρ{\displaystyle \rho } adalahnilai absolut dariz, danθ{\displaystyle \theta } adalahargumen. Argumen didefinisikanhingga bilangan bulat kelipatan2π; ini berarti, jikaθ{\displaystyle \theta } adalah argumen dari bilangan kompleks, makaθ+2kπ{\displaystyle \theta +2k\pi } juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.

Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke-n dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke-n dari nilai absolut dan membagi argumennya dengann:

(ρeiθ)1n=ρneiθn.{\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}

Jika2iπ{\displaystyle 2i\pi } ditambahkan keθ,{\displaystyle \theta ,} maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan2iπ/n{\displaystyle 2i\pi /n} ke argumen akar ke-n, dan diberikan akar ke-n yang baru. Ini dilakukan kalin, dan diberikan kepada akar ke-nn dari bilangan kompleks.

Biasanya memilih salah satu dari akar ke-nn sebagaiakar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n sebagai−π<θ≤π,{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,} yaitu, akar ke-n yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke-n utama sebuahfungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dariradikan. Fungsi ini sama dengan akar ke-n biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke-n utama bukanlah real, meskipun akar ke-n yang biasa adalah real.Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke-n utama adalah fungsi unikdiferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke-n medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.

Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan2π,{\displaystyle 2\pi ,} bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke-n-nya adalahpermutasi lingkar (yang dikalikan dengane2iπ/ne^{2i\pi /n}). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke-n yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.

Akar satuan

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Akar satuan
Tiga akar ke-3 dari 1

Bilangan kompleksw sedemikian rupa sehinggawn = 1 untuk bilangan bulat positifn adalahakar satuan ke-n. Secara geometris, akar satuan ke-n terletak padalingkaran satuan dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-n beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.

Jikawn = 1 akan tetapiwk 1 untuk semua bilangan aslik sehingga0 <k <n, makaw disebutakar satuan ke-n primitif. Satuan negatif −1 adalah satu-satunyaakar kuadrat primitif dari satuan.satuan imajineri adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −i.

Bilangane2πin adalah akar satuann primitif denganargumen positif terkecil. Hal ini terkadang disebutakar kesatuan ke-n utama, meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengannilai utama darin√1, yaitu 1.[11][12][13])Akar satuan ke-n yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-n utama, yaitu(e2πin)k=e2πink{\displaystyle \left(e^{\frac {2\pi i}{n}}\right)^{k}=e^{{\frac {2\pi i}{n}}k}}untuk2 ≤k ≤n.

Eksponensial kompleks

[sunting |sunting sumber]

Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untukzwz^{w}. Jadi, salah satunilai utama didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilaiz real dan nonpositif, atauzwz^{w} didefinisikan sebagaifungsi multinilai.

Dalam semua kasus,logaritma kompleks digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai

zw=ewlog⁡z,{\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}

dimanalog⁡z{\displaystyle \log z} adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi ataufungsi multinilai sedemikian rupa sehingga

elog⁡z=z{\displaystyle e^{\log z}=z}

untuk setiapz dalamranah definisi.

Nilai utama

[sunting |sunting sumber]

Nilai utama darilogaritma kompleks adalah fungsi unik, biasanya dilambangkanlog,{\displaystyle \log ,} sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nolz,

elog⁡z=z,{\displaystyle e^{\log z}=z,}

danbagian imajiner dariz memenuhi

−π<Im≤π.{\displaystyle -\pi <\mathrm {Im} \leq \pi .}

Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untukz=0,{\displaystyle z=0,} hal itu disebut juga sebagaitidak kontinu pada nilai real negatifz, danholomorfik (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jikaz adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami:log⁡z=ln⁡z.{\displaystyle \log z=\ln z.}

Nilai utamazw{\displaystyle z^{w}} didefinisikan sebagaizw=ewlog⁡z,{\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}dimanalog⁡z{\displaystyle \log z} adalah nilai utama dari logaritma.

Fungsi(z,w)→zw{\displaystyle (z,w)\to z^{w}} adalah holomorfik kecuali diantara titik-titik dimanaz adalah real dan non-positif.

Jikaz adalah real dan positif, nilai utamazw{\displaystyle z^{w}} sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jikaw=1/n,{\displaystyle w=1/n,} dimanan adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.

Fungsi multinilai

[sunting |sunting sumber]

Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utamalog⁡z{\displaystyle \log z} danzw{\displaystyle z^{w}} pada nilai real negatifz. Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagaifungsi multinilai.

Jikalog⁡z{\displaystyle \log z} menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah2ikπ+log⁡z,{\displaystyle 2ik\pi +\log z,} dimanak adalah bilangan bulat. Demikian pula, jikazw{\displaystyle z^{w}} adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh

ew(2ikπ+log⁡z)=zwe2ikπw,{\displaystyle e^{w(2ik\pi +\log z)}=z^{w}e^{2ik\pi w},}

dimanak adalah bilangan bulat.

Nilaik berbeda memberikan nilaizw{\displaystyle z^{w}} yang berbeda kecualiw adalahbilangan rasional, yaitu, apabila bilangan bulatd sehinggadw adalah bilangan bulat. Maka hasil dariperiodisitas ini dari fungsi eksponensial, bahwaea=eb{\displaystyle e^{a}=e^{b}} jika dan hanya jikaa−b{\displaystyle a-b} adalah kelipatan bilangan bulat dari2π.{\displaystyle 2\pi .}

Jikaw=mn{\displaystyle w={\frac {m}{n}}} adalah bilangan rasional denganm dannbilangan bulat koprima dengann>0,{\displaystyle n>0,} makazw{\displaystyle z^{w}} memiliki nilai persisn. Dalam kasusm=1,{\displaystyle m=1,} nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam§akar ke-n bilangan kompleks. Jikaw adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan§ Eksponen bilangan bulat.

pangkat multinilai adalah holomorfik untukz≠0,{\displaystyle z\neq 0,} dalam arti bahwagrafik-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasiz terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar0, maka, setelah titik balik, nilaizw{\displaystyle z^{w}} berubah dari lapisan.

Komputasi

[sunting |sunting sumber]

Bentuk kanonikx+iy{\displaystyle x+iy} darizw{\displaystyle z^{w}} dihitung dari bentuk kanonikz danw. Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.

Contoh
[sunting |sunting sumber]

Dalam kedua contoh, semua nilaizw{\displaystyle z^{w}} memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jikabagian real dariw adalah bilangan bulat.

Kegagalan pangkat dan identitas logaritma

[sunting |sunting sumber]

Beberapa identitas untuk pangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa pangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikansebagai fungsi bernilai tunggal. Misalnya:

Eksponen irasional

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Teorema Gelfond–Schneider

Jikab adalah real positifbilangan aljabar, danx adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwabx adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untukb, dengan satu-satunya perbedaan bahwabx mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifatbx ketikax adalahirasional (yaitu,bukan rasional). Maka, ini menyatakan:

Jikab adalah bilangan aljabar yang berbeda dari 0 dan 1, danx adalah bilangan aljabar irasional, maka semua nilaibx (banyaknya, tak hingga) adalahtransendental (bukan aljabar).

Pangkat bilangan bulat dalam aljabar

[sunting |sunting sumber]

Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untukoperasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian.[nb 1] Definisix0{\displaystyle x^{0}} memerlukan keberadaanidentitas perkalian lebih lanjut.[15]

Sebuahstruktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalahmonoid. Dalam monoid, eksponensial elemenx didefinisikan secara induktif oleh

Jikan adalah bilangan bulat negatif,xn{\displaystyle x^{n}} didefinisikan hanya jikax memilikiinvers perkalian.[16] Dalam hal ini, invers darix dinotasikanx−1,{\displaystyle x^{-1},} danxn{\displaystyle x^{n}} didefinisikan sebagai(x−1)−n.{\displaystyle \left(x^{-1}\right)^{-n}.}

Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untukx dany dalam struktur aljabar, danm dann bilangan bulat:

x0=1xm+n=xmxn(xm)n=xmn(xy)n=xnynjika xy=yx,dan, khususnya, jika perkaliannya adalah komutatif.{\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}&=1\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\quad {\text{jika }}xy=yx,{\text{dan, khususnya, jika perkaliannya adalah komutatif.}}\end{aligned}}}

Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untukgeup,gelanggang,medan,matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untukfungsi darihimpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawahkomposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik,transformasi geometris, danendomorfisme daristruktur matematika.

Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jikaf adalahfungsi real yang nilainya dapat dikalikan,fn{\displaystyle f^{n}} menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, danf∘n{\displaystyle f^{\circ n}} ditunjukkan eksponensial sehubungan dengankomposisi fungsi. Yaitu,

(fn)(x)=(f(x))n=f(x)f(x)⋯f(x),{\displaystyle (f^{n})(x)=(f(x))^{n}=f(x)\,f(x)\cdots f(x),}

dan

(f∘n)(x)=f(f(⋯f(f(x))⋯)).{\displaystyle (f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots )).}

Biasanya,(fn)(x){\displaystyle (f^{n})(x)} dinotasikanf(x)n,{\displaystyle f(x)^{n},} sedangkan(f∘n)(x){\displaystyle (f^{\circ n})(x)} dilambangkanfn(x).{\displaystyle f^{n}(x).}

Dalam sebuah grup

[sunting |sunting sumber]

Sebuahgrup perkalian adalah himpunan denganoperasi asosiatif dilambangkan sebagai perkalian, yang memilikielemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers.

Jadi, jikaG adalah grup,xn{\displaystyle x^{n}} didefinisikan untuk setiapx∈G{\displaystyle x\in G} dan setiap bilangan bulatn.

Himpunan dari semua pangkat suatu elemen dari grup membentuksubgrup. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua pangkat dari elemen tertentux adalahgrup siklik yang dihasilkan olehx. Jika semua pangkatx berbeda, grupnya adalahisomorfik padagrup aditifZ{\displaystyle \mathbb {Z} } dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalahhingga (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalahurutan darix. Jika urutanx adalahn, makaxn=x0=1,{\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,} dan grup siklik yang dihasilkan olehx terdiri darin pangkat pertamax (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen0 atau1).

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalamteori grup. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihatteorema Sylow), dan dalamklasifikasi grup sederhana hingga.

Notasi superskrip juga digunakan untukkonjugasi; yaitu,gh =h−1gh, dimanag danh adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu(gh)k=ghk{\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}} dan(gh)k=gkhk.{\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}

Dalam sebuah gelanggang

[sunting |sunting sumber]

Dalam sebuahgelanggang, bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhixn=0{\displaystyle x^{n}=0} untuk beberapa bilangan bulatn. Unsur tersebut disebut juganilpoten. Dalamgelanggang komutatif, unsur-unsur nilpoten membentukideal, disebut juganilradikal dari gelanggang.

Jika nilradikal direduksi menjadiideal nol (yaitu, jikax≠0{\displaystyle x\neq 0} menyatakanxn≠0{\displaystyle x^{n}\neq 0} untuk setiap bilangan bulat positifn), ring komutatif dikatakantereduksi. Gelanggang tereduksi penting dalamgeometri aljabar, karenagelanggang koordinat darihimpunan aljabar Affin merupakan gelanggang tereduksi.

Lebih umum, diberikan idealI dalam gelanggang komutatifR, himpunan elemenR yang memiliki pangkatI adalah ideal, yang disebutradikal dariI. Nilradikal adalah radikal darizero ideal. Sebuahideal radikal adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalamgelanggang polinomialk[x1,…,xn]{\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]} atasmedank, sebuah ideal adalah radikaljika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dariHilbertscher Nullstellensatz).

Matriks dan operator linear

[sunting |sunting sumber]

JikaA adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kaliA dengann itu sendiri disebutpangkat matriks. JugaA0{\displaystyle A^{0}} didefinisikan sebagaimatriks identitas,[17] dan jikaA adalah invers, makaA−n=(A−1)n{\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}.

pangkat matriks sering muncul dalam kontekssistem dinamik diskret, dimana matriksA menyatakan transisi dari vektor keadaanx dari beberapa sistem ke keadaan berikutnyaAx dari sistem.[18] Ini adalah interpretasi standar darirantai Markov, misalnya, apabilaA2x{\displaystyle A^{2}x} adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka,Anx{\displaystyle A^{n}x} adalah status sistem setelah langkah kalin. Matriks pangkatAn{\displaystyle A^{n}} adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kalin ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakannilai eigen dan vektor eigen.

Selain matriks,operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalahturunan operator kalkulus,d/dx{\displaystyle d/dx} salah satu operator linear yang melakukan fungsif(x){\displaystyle f(x)} untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu(d/dx)f(x)=f′(x){\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}. pangkat ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:

(ddx)nf(x)=dndxnf(x)=f(n)(x).{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematikasemigrup.[19] Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikanpersamaan panas,persamaan Schrödinger,persamaan gelombang, danpersamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebutturunan pecahan, yang bersama denganintegral pecahan, merupakan operasi dasar darikalkulus pecahan.

Medan hingga

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Medan hingga

Sebuahmedan adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalahasosiatif, dan setiap elemen bukan nol memilikiperkalian invers. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk pangkat nonpositif0. Contoh umum adalahbilangan kompleks dansubmedan,bilangan rasional danbilangan real yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semuatak hingga.

Sebuahmedan hingga adalah medan dengan elemenbilangan hingga. Jumlah elemen ini adalahbilangan prima ataupangkat prima; yaitu, memiliki bentukq=pk,{\displaystyle q=p^{k},} dimanap adalah bilangan prima, dank adalah bilangan bulat positif. Untuk setiapq tersebut, ada medan dengan elemenq. Medan dengan elemenq semuanya adalahisomorfik, yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemenq, dilambangkanFq.{\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}

Satu-satunya adalah

xq=x{\displaystyle x^{q}=x}

untuk setiapx∈Fq.{\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}

Sebuahelemen primitif diFq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} adalah elemeng seperti pada himpunanq − 1 pangkat pertamag (yaitu,{g1=g,g2,…,gp−1=g0=1}{\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}) sama dengan himpunan elemen bukan nol dariFq.{\displaystyle \mathbb {F} _{q}.} Adaφ(p−1){\displaystyle \varphi (p-1)} elemen primitif dalamFq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} dimanaφ{\displaystyle \varphi } adalahfungsi totient Euler.

DalamFq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} identitasimpian Fresman

(x+y)p=xp+yp{\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}

adalah hakiki untuk eksponenp. Sepertixp=x{\displaystyle x^{p}=x} di petaFq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} maka

F:Fq→Fqx↦xp{\displaystyle {\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}}

adalahlinear atasFq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} dan merupakanautomorfisme medan, disebutautomorfisme Frobenius. Jikaq=pk,{\displaystyle q=p^{k},} medanFq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} memilikik automorfisme, yang merupakan pangkat pertamak (antarakomposisi) dariF. Dengan kata lain,grup Galois dariFq{\displaystyle \mathbb {F} _{q}} adalahsiklik urutank, yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.

Pertukaran kunci Diffie–Hellman adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untukkomunikasi aman. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya,logaritma diskret, secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jikag adalah elemen primitif dalamFq,{\displaystyle \mathbb {F} _{q},} makage{\displaystyle g^{e}} dihitung secara efisien denganeksponensial dari kuadrat untuke, bahkan jikaq besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilane darige{\displaystyle g^{e}} jika nilaiq adalah besar.


Atas himpunan

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Darab Kartesius

Jikan adalah bilangan asli, danA adalah himpunan sembarang, maka ekspresiAn sering digunakan untuk menyatakan himpunan darirangkap-n elemenA. Apabila ditulisAn menyatakan himpunan fungsi dari himpunan{0, 1, 2, ...,n − 1} ke himpunanA; rangkap-n(a0,a1,a2, ..., an−1) mewakili fungsii keai.

Untukbilangan kardinal tak hingga dan himpunanA, notasiAκ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hinggaA. Ini terkadang ditulisκA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan denganstruktur tambahan. Misalnya, dalamaljabar linear, untuk indeksjumlah langsung dariruang vektor melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang

⨁i∈NVi,{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i},}

dimana setiapVi adalah ruang vektor.

Kemudian jikaVi =V untuk setiapi, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagaiV⊕N, atau cukupVN dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunanN dengan bilangan kardinaln untuk mendapatkanVn, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitasn, yang didefinisikanisomorfismehingga saja. DiberikanV sebagaimedan-R daribilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dann menjadi beberapabilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rn.

Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalahdarab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai,SN sebagai himpunan semuafungsi dariN hinggaS dalam kasus ini:

SN≡{f:N→S}.{\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}.}

Ini cocok denganeksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa|SN| = |S||N|, dimana |X| adalah kardinalitasX. Ketika "2" didefinisikan sebagai{0, 1}, maka memiliki|2X| = 2|X|, dimana 2X, biasanya dilambangkan denganP(X), adalahhimpunan pangkat dariX; masing-masinghimpunan bagianY dariX berkorespondensi secara unik dengan fungsi padaX yang mengambil nilai 1 untukx ∈Y dan 0 untukx ∉Y.

Dalam teori kategori

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Kategori tertutup Kartesius

Dalamkategori tertutup Kartesius, operasieksponensial digunakan untuk kenaikkan objek sembarang ke pangkat objek lain. Ini menggeneralisasidarab Kartesius dalamkategori himpunan. Jika 0 adalahobjek awal dalam kategori tertutup Kartesius, makaobjek eksponensial 00 adalah isomorfik ke objek terminal 1.

Dari bilangan kardinal dan ordinal

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Aritmetika kardinal danAritmatika ordinal

Dalamteori himpunan, ada operasi eksponensial untukkardinal danbilangan ordinal.

Jikaκ danλ adalah bilangan kardinal, ekspresiκλ mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitasλ ke himpunan kardinalitasκ.[20] Jikaκ danλ adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas8 = 23. Dalam aritmetika kardinal,κ0 adalah 1 (bahkan jikaκ adalah kardinal tak hingga atau nol).

Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh prosesbatas yang melibatkaninduksi transfinit.

Eksponensial berulang

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Tetrasi danHiperoperasi

Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebuthiper-4 atautetrasi. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernamahiperoperasi. Urutan operasi ini dinyatakan olehfungsi Ackermann dannotasi panah atas Knuth. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada(3, 3), fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan7.625.597.484.987 masing-masing pada (= 327 = 333 =33).

Limit pangkat

[sunting |sunting sumber]

Nol pangkat nol memberikan sejumlah contoh limit yang berbentukbentuk tak tentu 00. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabelxy tidak memiliki limit pada titik(0, 0). Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Lebih tepatnya, perhatikan fungsif(x,y) =xy didefinisikan padaD = {(x,y) ∈R2 :x > 0}. KemudianD dilihat sebagai himpunan bagian dariR2 (yaitu, himpunan semua pasangan(x,y) denganx,y memilikigaris bilangan real diperluasR = [−∞, +∞], dengandarab topologi), yang berisi titik-titik dimana fungsif memiliki limit.

Faktanya,f memiliki limit di semuatitik akumulasi dariD, kecuali(0, 0),(+∞, 0),(1, +∞) dan(1, −∞).[21] Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan pangkatxy dengan kontinuitas0 ≤x ≤ +∞,−∞ ≤ y ≤ +∞, kecuali untuk 00, (+∞)0, 1+∞ dan 1−∞, yang tetap bentuk tak tentu.

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:

  • x+∞ = +∞ danx−∞ = 0, bila1 <x ≤ +∞.
  • x+∞ = 0 danx−∞ = +∞, bila0 ≤x < 1.
  • 0y = 0 dan(+∞)y = +∞, bila0 <y ≤ +∞.
  • 0y = +∞ dan(+∞)y = 0, bila−∞ ≤y < 0.

pangkat ini diperoleh dengan mengambil limitxy untuk nilaipositif darix. Metode ini tidak mengizinkan definisixy ketikax < 0, karena pasangan(x,y) denganx < 0 bukan merupakan titik akumulasi dariD.

Disisi lain, ketikan adalah bilangan bulat, maka pangkatxn bermakna untuk semua nilaix, termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi0n = +∞ yang diperoleh diatas untukn negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalahn, karena dalam kasus inixn → +∞ karenax cenderung0 melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.

Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat

[sunting |sunting sumber]

Komputasibn menggunakan perkalian berulang membutuhkann − 1 operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2100, terapkankaidah Horner ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner:

100=22+25+26=22(1+23(1+2)){\displaystyle 100=2^{2}+2^{5}+2^{6}=2^{2}(1+2^{3}(1+2))}.

Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri.

22 = 4
2 * (22) = 23 = 8
(23)2 = 26 = 64
(26)2 = 212 =4096
(212)2 = 224 =16.777.216
2 * (224) = 225 =33.554.432
(225)2 = 250 =1.125.899.906.842.624
(250)2 = 2100 =1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitungbn dikurangi menjadi♯n+⌊2log⁡n⌋−1,{\displaystyle \sharp n+\lfloor ^{2}\!\log n\rfloor -1,} dengan menggunakanpangkat dengan kuadrat, dengan♯n{\displaystyle \sharp n} menunjukkan jumlah1 dalamwakilan biner darin. Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakanpangkat kaidah-tambahan minimal. Menemukan barisan perkalianminimal (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untukbn adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihatMasalah jumlah himpunan bagian), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia.[22] Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

Fungsi teriterasi

[sunting |sunting sumber]

Komposisi fungsi adalahoperasi biner yang didefinisikan padafungsi sehinggakodomain dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalamdomain dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkang∘f,{\displaystyle g\circ f,} dan didefinisikan sebagai

(g∘f)(x)=g(f(x)){\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}

untuk setiapx dalam domainf.

Jika domain suatu fungsif sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan pangkat ke-n dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebutiterasi ke-n dari fungsi tersebut. Jadifn{\displaystyle f^{n}} secara umum menunjukkan iterasi ke-n darif; misalnya,f3(x){\displaystyle f^{3}(x)} berartif(f(f(x))).{\displaystyle f(f(f(x))).}[23]

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi,perkalian sesetitik, yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakannotasi fungsional, dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsionalsebelum tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitiksetelah tanda kurung. Jadif2(x)=f(f(x)),{\displaystyle f^{2}(x)=f(f(x)),} danf(x)2=f(x)⋅f(x).{\displaystyle f(x)^{2}=f(x)\cdot f(x).} Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnyaf∘3=f∘f∘f,{\displaystyle f^{\circ 3}=f\circ f\circ f,} danf3=f⋅f⋅f.{\displaystyle f^{3}=f\cdot f\cdot f.} Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanyafungsi trigonometri. Jadi,sin2⁡x{\displaystyle \sin ^{2}x} dansin2⁡(x){\displaystyle \sin ^{2}(x)} berarti keduanyasin⁡(x)⋅sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)} dan bukansin⁡(sin⁡(x)),{\displaystyle \sin(\sin(x)),} yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.[24][25][26]

Dalam konteks ini, eksponen−1{\displaystyle -1} selalu menunjukkanfungsi invers, jika ada. Jadisin−1⁡x=sin−1⁡(x)=arcsin⁡x.{\displaystyle \sin ^{-1}x=\sin ^{-1}(x)=\arcsin x.} Untuk pecahanperkalian invers umumnya digunakan seperti pada1/sin⁡(x)=1sin⁡x.{\displaystyle 1/\sin(x)={\frac {1}{\sin x}}.}

Dalam bahasa pemrograman

[sunting |sunting sumber]

Bahasa pemrograman umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:

Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:

Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitungxy jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilihx ·x daripadax2; memilih 1/x daripadax−1) dan root (memilih sqrt(x) daripadax0.5, memilih cbrt(x) daripadax1/3</ sup>).

Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkanWolfram Language,Google Penelusuran dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitua^b^c dievaluasi sebagaia^(b^c)), banyak program komputer sepertiMicrosoft Office Excel danMatlab mengasosiasikan ke kiri (yaitua^b^c dievaluasi sebagai(a^b)^c).

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Catatan

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Lebih umum,asosiasi pangkat sudah cukup untuk definisi.

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. ^"Compendium of Mathematical Symbols".Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal2020-08-27. 
  2. ^abcdeNykamp, Duane."Basic rules for exponentiation".Math Insight. Diakses tanggalAgustus 27, 2020. 
  3. ^Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014).Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. hlm. 94.ISBN 978-1-4665-6706-1. 
  4. ^Achatz, Thomas (2005).Technical Shop Mathematics (edisi ke-3rd). Industrial Press. hlm. 101.ISBN 978-0-8311-3086-2. 
  5. ^Robinson, Raphael Mitchel (Oktober 1958) [1958-04-07]."A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers"(PDF).Proceedings of the American Mathematical Society.Universitas California, Berkeley, California, AS.9 (5): 673–681 [677].doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 alt=Dapat diakses gratis. Diarsipkan dariversi asli(PDF) tanggal 2020-06-28. Diakses tanggal2020-06-28. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  6. ^Bronstein, Ilja Nikolaevič;Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke" [Definisi ekspresi aritmetika]. Ditulis di Leipzig, Germany. Dalam Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea.Taschenbuch der Mathematik [Pocketbook of mathematics] (dalam bahasa Jerman).1. Diterjemahkan oleh Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (edisi ke-23). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany:Verlag Harri Deutsch (danB. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). hlm. 115–120, 802.ISBN 3-87144-492-8. 
  7. ^Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., ed. (2010).NIST Handbook of Mathematical Functions.Institut Standar dan Teknologi Nasional (NIST),A.S. Departemen Perdagangan,Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-19225-5.MR 2723248. [1]Diarsipkan 2013-07-03 diArchive.is
  8. ^Zeidler, Eberhard; Schwarz, Hans Rudolf;Hackbusch, Wolfgang;Luderer, Bernd; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan;Wanka, Gert;Hromkovič, Juraj;Gottwald, Siegfried (2013) [2012].Zeidler, Eberhard, ed.Springer-Handbuch der Mathematik I (dalam bahasa Jerman).I (edisi ke-1). Berlin / Heidelberg, Germany:Springer Spektrum,Springer Fachmedien Wiesbaden. hlm. 590.doi:10.1007/978-3-658-00285-5.ISBN 978-3-658-00284-8.  (xii+635 pages)
  9. ^abAnton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2012).Calculus: Early TranscendentalsAkses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan (edisi ke-9th). John Wiley & Sons. hlm. 28.ISBN 9780470647691. 
  10. ^Denlinger, Charles G. (2011).Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. hlm. 278–283.ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  11. ^Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001).Introduction to Algorithms (edisi ke-second).MIT Press.ISBN 978-0-262-03293-3. Online resourceDiarsipkan 2007-09-30 diWayback Machine.
  12. ^Cull, Paul;Flahive, Mary; Robson, Robby (2005).Difference Equations: From Rabbits to Chaos (edisi ke-Undergraduate Texts in Mathematics). Springer.ISBN 978-0-387-23234-8.  Didefinisikan pada hal. 351
  13. ^"Principal root of unity", MathWorld.
  14. ^Steiner, J.; Clausen, T.;Abel, Niels Henrik (1827)."Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen" [Problems and propositions, the former to solve, the later to prove].Journal für die reine und angewandte Mathematik.2: 286–287. 
  15. ^Bourbaki, Nicolas (1970).Algèbre. Springer. , I.2
  16. ^Bloom, David M. (1979).Linear Algebra and GeometryPerlu mendaftar (gratis). hlm. 45.ISBN 978-0-521-29324-2. 
  17. ^Bab 1, Aljabar Linear Dasar, 8E, Howard Anton
  18. ^Strang, Gilbert (1988),Linear algebra and its applications (edisi ke-3rd), Brooks-Cole , Bab 5.
  19. ^E. Hille, R. S. Phillips:Analisis Fungsional dan Semi-Grup. Masyarakat Matematika Amerika, 1975.
  20. ^Nicolas Bourbaki, Elemen Matematika, Teori Himpunan, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
  21. ^Nicolas Bourbaki,Topologie générale, V.4.2.
  22. ^Gordon, D. M. (1998)."A Survey of Fast Exponentiation Methods"(PDF).Journal of Algorithms.27: 129–146.CiteSeerX 10.1.1.17.7076 alt=Dapat diakses gratis.doi:10.1006/jagm.1997.0913. 
  23. ^Peano, Giuseppe (1903).Formulaire mathématique (dalam bahasa Prancis).IV. hlm. 229. 
  24. ^Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem".Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London:Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall.103 (Part 1): 8–26 [10].doi:10.1098/rstl.1813.0005 alt=Dapat diakses gratis.JSTOR 107384. Parameter|s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  25. ^Herschel, John Frederick William (1820)."Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences".A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. hlm. 1–13 [5–6]. Diarsipkan dariversi asli tanggal 2020-08-04. Diakses tanggal2020-08-04. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)[2] (NB. Inhere, Herschel refers to hisTemplat:Citeref and mentionsHans Heinrich Bürmann's older work.)
  26. ^Cajori, Florian (1952) [March 1929].A History of Mathematical Notations.2 (edisi ke-3rd). Chicago, USA:Open court publishing company. hlm. 108, 176–179, 336, 346.ISBN 978-1-60206-714-1. Diakses tanggal2016-01-18. 
  27. ^Daneliuk, Timothy "Tim" A. (1982-08-09)."BASCOM - A BASIC compiler for TRS-80 I and II".InfoWorld. Software Reviews.4 (31).Popular Computing, Inc. hlm. 41–42. Diarsipkan dariversi asli tanggal 2020-02-07. Diakses tanggal2020-02-06.[...] Jika [...] mengkuadratkan dilakukan dengan fungsi eksponensial (panah atas)TRS-80 BASIC, interpreterwaktu berjalan adalah 22 menit 20 detik, dan waktu berjalan yang dikompilasi adalah 20 menit 3 detik. [...] Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  28. ^"80 Contents".80 Micro.1001001, Inc. (45): 5. October 1983.ISSN 0744-7868. Diakses tanggal2020-02-06.[...] Tanda kurung kiri, [, menggantikan panah atas yang digunakan olehRadioShack untuk menunjukkan eksponensial pada hasil cetakan kami. Saat memasukkan program yang diterbitkan di80 Micro, Anda harus membuat perubahan ini. [...]  (catatan Pada titik kode 5BhTRS-80 character set memiliki simbol panah atas "↑" menggantikanASCIIbraket siku kiri "[".)
Kesalahan pengutipan: Tag<ref> dengan nama "Euler_1748" yang didefinisikan di<references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Templat:Hiperoperasi

Perpustakaan nasional
Lain-lain
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Eksponensiasi&oldid=26733436"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp