Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Matriks normal

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalammatematika, suatumatriks persegiA{\displaystyle \mathbf {A} } dengan entri-entrikompleks dikatakannormal jika iabersifat komutatif atas perkalian matriks dengantranspos konjugatA∗{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}; secara matematis dinyatakan sebagaiAA∗=A∗A{\displaystyle \mathbf {AA} ^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} }. Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadioperator normal diruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal dialjabar C*.

Definisi

[sunting |sunting sumber]

Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. MisalkanA{\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks kompleks berukurann×n{\displaystyle n\times n}, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

  1. A{\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks normal.
  2. A{\displaystyle \mathbf {A} } dapatdiagonalkan oleh suatumatriks uniter.
  3. Ada suatu himpunvektor-vektor eigen dariA{\displaystyle \mathbf {A} } yang membangunbasis ortonormal bagiCn{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}.
  4. ‖Ax‖=‖A∗x‖{\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|} untuk sembarangx.
  5. Norma Frobenius dariA{\displaystyle \mathbf {A} } dapat dihitung dari nilai-nilai eigenA{\displaystyle \mathbf {A} }, yaknitr⁡(A∗A)=∑j|λj|2{\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}.
  6. BagianHermite12(A+A∗){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{*})} dan bagianskew-Hermitian12(A−A∗){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{*})} dariA{\displaystyle \mathbf {A} } saling komutatif.
  7. A∗{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} suatu polinomial (dengan derajat maksimumn−1{\displaystyle n-1}) dalamA{\displaystyle \mathbf {A} }.[a]
  8. A∗=AU{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} } untuk suatu matriks uniterA∗=AU{\displaystyle \mathbf {A} ^{*}=\mathbf {AU} }.[1]
  9. U{\displaystyle \mathbf {U} } danP{\displaystyle \mathbf {P} } saling komutatif, yang mengartikan kita memilikidekomposisi kutubA=UP{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {UP} } dengan suatu matriks uniterU{\displaystyle \mathbf {U} } dan suatumatriks semidefinit positifP{\displaystyle \mathbf {P} }.
  10. A{\displaystyle \mathbf {A} } saling komutatif dengan suatu matriks normalN{\displaystyle \mathbf {N} } yang nilai-nilai eigennya yang unik.
  11. σi=|λi|{\displaystyle \sigma _{i}=|\lambda _{i}|} untuk semua1≤i≤n{\displaystyle 1\leq i\leq n}, denganσ1≥⋯≥σn{\displaystyle \sigma _{1}\geq \dots \geq \sigma _{n}} dan|λ1|≥⋯≥|λn|{\displaystyle |\lambda _{1}|\geq \dots \geq |\lambda _{n}|} masing-masing adalahnilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dariA{\displaystyle \mathbf {A} }.[2]

Kasus khusus

[sunting |sunting sumber]

Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriksuniter,Hermite, danskew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriksortogonal,simetrik, danskew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (skew-)Hermite. sebagai contoh,

A=[110011101]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}

tidak uniter, Hermite, maupunskew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena

AA∗=[211121112]=A∗A.{\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}

Catatan kaki

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Bukti: JikaA{\displaystyle \mathbf {A} } normal, gunakan rumusinterpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomialP{\displaystyle P} sedemikian sehinggaλj¯=P(λj){\displaystyle {\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})}, denganλj{\displaystyle \lambda _{j}} adalah nilai-nilai eigen dariA{\displaystyle \mathbf {A} }.

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Horn & Johnson (1985), hlm. 109
  2. ^Horn & Johnson (1991), hlm. 157

Sumber

[sunting |sunting sumber]
Kelas-kelasmatriks
Batasan pada elemen matriks
Konstan
Batasan padanilai eigen dan vektor eigen-nya
Batasan padahasil perkalian atauinversnya
Dengan aplikasi tertentu
Digunakan dalamstatistika
Digunakan dalamteori graf
Digunakan dalam sains dan teknik
Istilah yang berhubungan


Ikon rintisan

Artikel bertopikmatematika ini adalah sebuahrintisan. Anda dapat membantu Wikipedia denganmengembangkannya.

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks_normal&oldid=24976946"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp