Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Matriks dasar

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dariMatriks elementer)

Dalammatematika,matriks dasar ataumatriks elementer adalahmatriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GLn(F) denganF adalahlapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakilioperasi baris dasar, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakilioperasi kolom dasar.

Operasi baris elementer digunakan dalameliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadibentuk eselon reduksi.Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadibentuk eselon baris tereduksi.

Operasi baris elementer

[sunting |sunting sumber]

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, namun dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. MisalkanRi{\displaystyle R_{i}} menyatakan baris ke-i{\displaystyle i} dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

Pertukaran baris
Suatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.
Ri↔Rj{\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}
Perkalian baris
Setiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagaipenskalaan suatu baris.
kRi→Ri, dengan k≠0{\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{dengan }}k\neq 0}
Penambahan baris
Suatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.
Ri+kRj→Ri,dengan i≠j{\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{dengan }}i\neq j}

Matriks elementer

[sunting |sunting sumber]

Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—padamatriks identitas. JikaE{\displaystyle \mathbf {E} } adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriksA{\displaystyle \mathbf {A} } akan menghasilkan yang sama dengan mengalikanA{\displaystyle \mathbf {A} }dengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain,EA{\displaystyle \mathbf {EA} }.

Transformasi pertukaran baris

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Matriks permutasi

Jenis pertama operasi baris pada suatu matriksA{\displaystyle \mathbf {A} } adalah menukar baris ke-i{\displaystyle i} dengan baris ke-j{\displaystyle j}. Matriks elementerTi,j{\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}} yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke-i{\displaystyle i} dengan baris ke-j{\displaystyle j} matriks identitas:

Ti,j=[1⋱01⋱10⋱1]{\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}

Jadi, matriksTi,jA{\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} } adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke-i{\displaystyle i} dengan baris ke-j{\displaystyle j} matriksA{\displaystyle \mathbf {A} }.

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama,invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain,Ti,j−1=Ti,j{\displaystyle \mathbf {T} _{i,j}^{-1}=\mathbf {T} _{i,j}}. Karenadeterminan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwadet(Ti,j)=−1{\displaystyle \det(\mathbf {T} _{i,j})=-1}. Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegiA{\displaystyle \mathbf {A} }, berlaku hubungandet(Ti,jA)=−det(A){\displaystyle \det(\mathbf {T} _{i,j}\mathbf {A} )=-\det(\mathbf {A} )}

Transformasi perkalian baris

[sunting |sunting sumber]

Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke-i{\displaystyle i} matriksA{\displaystyle \mathbf {A} } denganskalarm{\displaystyle m} yang tidak bernilai nol (umumnya berupabilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke-i{\displaystyle i}-nya bernilaim{\displaystyle m}:

Di(m)=[1⋱1m1⋱1]{\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}

Jadi, matriksDi(m)A{\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} } adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke-i{\displaystyle i} matriksA{\displaystyle \mathbf {A} } denganm{\displaystyle m}.

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakanmatriks diagonal, denganDi(m)−1=Di(1m){\displaystyle \mathbf {D} _{i}(m)^{-1}=\mathbf {D} _{i}({\tfrac {1}{m}})}. Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama denganm{\displaystyle m}. Akibatnya, untuk sembarang matriks persegiA{\displaystyle \mathbf {A} } berlaku hubungandet(Di(m)A)=mdet(A){\displaystyle \det(\mathbf {D} _{i}(m)\mathbf {A} )=m\det(\mathbf {A} )}.

Transformasi penambahan baris

[sunting |sunting sumber]

Tipe terakhir operasi baris pada matriksA{\displaystyle \mathbf {A} } adalah menambahkan baris ke-j{\displaystyle j} yang dikalikan dengan suatu skalarm{\displaystyle m} ke baris ke-i{\displaystyle i}. Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke-(i,j){\displaystyle (i,\,j)} bernilaim{\displaystyle m}:

Li,j(m)=[1⋱1⋱m1⋱1]{\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}

Jadi,Li,j(m)A{\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} } adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkanm{\displaystyle m} kali baris ke-j{\displaystyle j} ke baris ke-i{\displaystyle i} matriksA{\displaystyle \mathbf {A} }. SedangkanALi,j(m){\displaystyle \mathbf {AL} _{i,j}(m)} adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkanm{\displaystyle m} kali kolom ke-i{\displaystyle i} ke kolom ke-j{\displaystyle j} matriksA{\displaystyle \mathbf {A} }.

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentukmatriks segitiga, denganLi,j(m)−1=Li,j(−m){\displaystyle \mathbf {L} _{i,j}(m)^{-1}=\mathbf {L} _{i,j}(-m)}. Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikandet(Li,j(m)A)=det(A){\displaystyle \det(\mathbf {L} _{i,j}(m)\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )} untuk sembarang matriks persegiA{\displaystyle \mathbf {A} }.

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  • Poole, David (2006),Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole,ISBN 0-534-99845-3 
  • Anton, Howard (2005),Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International 
  • Leon, Steven J. (2006),Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall 
  • Strang, Gilbert (2016),Introduction to Linear Algebra (edisi ke-5th), Wellesley-Cambridge Press,ISBN 978-09802327-7-6 
Kelas-kelasmatriks
Batasan pada elemen matriks
Konstan
Batasan padanilai eigen dan vektor eigen-nya
Batasan padahasil perkalian atauinversnya
Dengan aplikasi tertentu
Digunakan dalamstatistika
Digunakan dalamteori graf
Digunakan dalam sains dan teknik
Istilah yang berhubungan
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks_dasar&oldid=22944886"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp