Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Matematika adalah bidang studi yang menemukan dan mengorganisasikan metode,teori danteorema yang dikembangkan dan dibuktikan untuk kebutuhanilmu-ilmu empiris (sains) dan matematika itu sendiri. Area matematika mencakup:teori bilangan (studi tentang bilangan),aljabar (studi tentang rumus dan struktur terkait),geometri (studi tentang bentuk dan ruang),analisis (studi tentang perubahan berkelanjutan), danteori himpunan (sekarang digunakan sebagai fondasi matematika).
Matematika melibatkan deskripsi dan manipulasi dariobjek-objek abstrak yang terdiri antaraabstraksi dari alam, atau entitas abstrak murni yang ditetapkan untuk memiliki sifat-sifat (properti) tertentu, disebutaksioma.
Kata "matematika" berasal daribahasa Yunani Kuno:μάθημαcode: grc is deprecated (máthēma), yang berarti "yang dipelajari,"[3] "apa yang seseorang ingin ketahui," dengan demikian juga berarti "pengkajian" dan "ilmu pengetahuan". Kata untuk "matematika" memiliki arti yang kian menyempit dan lebih teknis "studi matematika" bahkan di zaman Klasik.[4]Adjektiva-nya adalahmathēmatikós (μαθηματικόςcode: grc is deprecated), berarti "berhubungan dengan pembelajaran" atau "rajin belajar," yang selanjutnya berarti "matematis". Secara khusus,mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνηcode: grc is deprecated;bahasa Latin:ars mathematicacode: la is deprecated) berarti "seni matematika".
Demikian pula, salah satu dari dua aliran pemikiran utama dalamPythagoreanisme dikenal sebagai themathēmatikoi (μαθηματικοί)—yang pada saat itu berarti "pembelajar" daripada "matematikawan" dalam pengertian modern.
Dalambahasa Latin, dan dalam bahasa Inggris sampai sekitar tahun 1700, istilahmatematika lebih sering berarti "astrologi" (atau kadang-kadang "astronomi") daripada "matematika"; artinya secara bertahap berubah menjadi apa yang sebagaimana dipahami sekarang ini sejak tahun 1500-an hingga 1800-an. Hal ini berakibat pada beberapa penerjemahan yang keliru. Misalnya, seruan peringatan dariSanto Agustinus bahwa orang Kristen harus waspada terhadapmathematici, yang berarti astrolog, kadang-kadang salah diterjemahkan sebagaikutukan matematikawan.[5]
Bentuk jamak sering dipakai di dalambahasa Inggris, seperti juga di dalambahasa Prancis bentuk jamakles mathématiquescode: fr is deprecated (dan jarang digunakan sebagaiturunan bentuk tunggalla mathématiquecode: fr is deprecated), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderungnetralmathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamakτὰ μαθηματικάcode: el is deprecated (ta mathēmatiká), yang dipakaiAristoteles (384–322SM), yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis", meskipun dapat diterima bahwa bahasa Inggris hanya meminjam kata sifatmathematic(al) dan diikuti bentuk kata bendamathematics, setelah mengikuti polaphysics danmetaphysics, yang dipinjam daribahasa Yunani.[6] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda jamakmathematics berubah menjadi bentuk tunggalmathematic bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagaimath diAmerika Utara danmaths di tempat lain.[7]
Sebuahquipu, yang dipakai olehInca untuk mencatatkan bilangan.
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetanabstraksi yang selalu bertambah banyak. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang,[8] adalah tentangbilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalamperdagangan,pengukuran tanah,pelukisan, dan pola-polapenenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke depan ketika orangBabilonia danMesir Kuno mulai menggunakanaritmetika,aljabar, dangeometri untuk penghitunganpajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, danastronomi.[11][12] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
Archimedes menggunakanmetode penghabis, digambarkan di sini, untuk memperkirakan nilaipi.
Naskah matematika tertua berasal dariMesopotamia danMesir, berangka tahun 2000-an sampai 1800-anSM. Banyak teks awal menyebutkantripel Pythagoras, dengan demikian dapat disimpulkan bahwateorema Pythagoras tampaknya menjadi konsep matematika yang paling kuno dan paling masyhur setelah aritmetika dasar dan geometri. Rekaman arkeologis menunjukkan bahwamatematika Babilonia-lah yang pertama memunculkanaritmetika dasar (perjumlahan,perkurangan,perkalian, danperbagian). Orang Babilonia juga memiliki sistem nilai-tempat dan menggunakan sistem angkaseksagesimal yang masih digunakan sampai sekarang untuk mengukur sudut dan waktu.[13]
SelamaZaman Kejayaan Islam, khususnya abad ke-9 dan abad ke-10, matematika mendapatkan banyak inovasi penting yang dibangun diatas landasan matematika Yunani: kebanyakan dari inovasi ini termasuk kontribusi dari matematikawan Persia sepertiAl-Khwarizmi,'Umar Khayyam danSharaf al-Din al-Tusi.
Selamaperiode modern awal, matematika mulai berkembang dengan pesat diEropa Barat. Pengembangankalkulus olehIsaac Newton danGottfried Leibniz pada abad ke-17 merevolusi matematika.Leonhard Euler adalah matematikawan paling terkenal pada abad ke-18, menyumbangkan banyak teorema dan penemuan. Mungkin matematikawan terkemuka abad ke-19 adalah matematikawan JermanCarl Gauss, yang membuat banyak kontribusi untuk bidang-bidang sepertialjabar,analisis,geometri diferensial,teori matriks,teori bilangan, danstatistik. Pada awal abad ke-20,Kurt Gödel mengubah matematika dengan menerbitkanteorema ketidaklengkapan, yang menunjukkan sebagian bahwa setiap sistem aksioma yang konsisten — jika cukup kuat untuk menggambarkan aritmetika — akan berisi proposisi benar yang tidak dapat dibuktikan.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dansains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitanBulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis dataMathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisiteorema matematika baru besertabukti-buktinya."[14].[6]
Gambar yang menunjukkan macam-macam hal yang bisa dikerjakan dengan matematika.
Tidak ada kesepakatan umum mengenai definisi pasti atauepistemologi status matematika.[15][16] Banyak matematikawan profesional yang tidak tertarik pada definisi matematika, atau menganggapnya tidak dapat ditentukan.[15] Bahkan tidak ada kesepakatan tentang apakah matematika adalah seni atau sains.[16] Beberapa orang hanya mengatakan, "Matematika adalah apa yang matematikawan lakukan."[15]
Aristoteles mendefinisikan matematika sebagai "ilmu kuantitas" dan definisi ini berlaku sampai abad ke-18. Namun, Aristoteles juga memperingatkan bahwa fokus pada kuantitas saja tidak dapat membedakan matematika dari ilmu-ilmu seperti fisika; menurutnya, yang menjadikan matematika unik adalah adanya proses abstraksi dan pengkajian kuantitas sebagai sifat "yang dapat dipisahkan dalam pemikiran" dari contoh nyata.[17]
Pada abad ke-19, ketika studi matematika semakin meningkat dalam ketelitian dan mulai membahas topik-topik abstrak sepertiteori grup dangeometri proyektif, yang tidak memiliki hubungan yang jelas dengan kuantitas dan pengukuran, matematikawan dan filsuf mulai mengajukan berbagai definisi baru.[18] Sampai hari ini, para filsuf terus menjawab pertanyaan-pertanyaan dalamfilsafat matematika, seperti sifatpembuktian matematika.[19]
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalamperdagangan,pengukuran tanah, dan kemudianastronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorangfisikawanRichard Feynman menemukanrumus integral lintasanmekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, danteori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya mempersatukan empatgaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[20]
Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi sering kali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yangEugene Wigner menyebutnya "Keefektifan luar biasa matematika sampai taraf tak masuk akal dalam Ilmu Pengetahuan Alam membutuhkan penjelasan.".[21]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan pada zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antaramatematika murni danmatematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan programsarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasukstatistika,riset operasi, danilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika sering kali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentangkeanggunan matematika,estetika yang tersirat, dankeindahan dari dalamnya.Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunanbukti yang diberikan, semisal buktiEuklides yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknyabilangan prima, dan di dalammetode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yaknitransformasi Fourier cepat.Godfrey Harold Hardy di dalamA Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[22]
Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarianPaul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di manaTuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[23][24] Kepopularanmatematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.
Matematikawan berusaha keras untuk mengembangkan hasil mereka dengan penalaran sistematis untuk menghindari kekeliruan menggunakan suatu "teorema". Bukti yang keliru ini sering muncul dari intuisi yang salah dan telah umum dalam sejarah matematika. Untuk memungkinkanpenalaran deduktif, beberapa asumsi dasar perlu diakui secara tersurat sebagai aksioma. Secara tradisional aksioma ini dipilih atas dasar pertimbangan akal sehat, tetapi aksioma modern biasanya mengungkapkan jaminan formal untukgagasan primitif, seperti objek dan relasi sederhana.
Keabsahanbukti matematika pada dasarnya adalah masalah kekakuan, dan kekakuan yang disalahpahami adalah penyebab penting bagi beberapa kesesatan konseptual umum tentang matematika. Bahasa matematika lebih presisi dibandingkan percakapan sehari-hari terhadap kata-kata sepertiatau danhanya. Kata-kata lain sepertiterbuka danlapangan diinvestasikan dengan makna baru untuk konsep matematika tertentu. Kadang-kadang diperkenalkan istilah yang sama sekali baru (sepertihomeomorfisme). Kosakata teknis ini tepat dan ringkas, sehingga memungkinkan untuk secara psikis memproses ide-ide yang kompleks. Matematikawan menyebut ketepatan bahasa dan logika ini sebagai "kekakuan".
Kekakuan yang diharapkan dalam matematika telah bervariasi dari waktu ke waktu: orang Yunani mengharapkan argumen yang terperinci, tapi di masa kejayaanIsaac Newton, metode yang digunakan kurang kaku. Masalah yang melekat dalam definisi yang digunakan oleh Newton menyebabkan kebangkitan analisis yang cermat dan bukti formal pada abad ke-19. Kemudian pada awal abad ke-20,Bertrand Russell danAlfred North Whitehead menerbitkan karya mereka,Principia Mathematica, upaya untuk menunjukkan bahwa semua konsep dan pernyataan matematika dapat didefinisikan, kemudian dibuktikan seluruhnya melaluilogika simbolik. Ini adalah bagian dari program filosofis yang lebih luas yang dikenal sebagai logisisme, yang melihat matematika terutama sebagai perpanjangan dari logika.
Meskipun matematika demikian ringkas, ekspresi pembuktian justru membutuhkan ratusan halaman. Munculnya bukti berbantuan komputer telah memungkinkan panjang bukti untuk lebih berkembang. Bukti yang dibantu komputer mungkin salah jika peranti lunak pembuktian memiliki kekurangan, dan jika bukti itu terlalu panjang, sulit untuk diperiksa.[a][25] Di pihak lain, pembantu pembuktian membolehkan verifikasi perincian yang tidak dapat diberikan oleh bukti yang ditulistangan, dan memberikan kepastian kebenaran bukti panjang seperti yang ada pada bukti setebal 255 halaman untukTeorema Feit–Thompson.[b]
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[26] Pada abad ke-18,Euler (1707–1783) bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini.[27] Sebelum itu, argumen matematika biasanya ditulis dalam kata-kata, membatasi penemuan matematika.[28]
Selain bahasa khusus, matematika kontemporer banyak menggunakan notasi khusus. Simbol-simbol ini juga bersumbangsih pada ketelitian, baik dengan menyederhanakan ekspresi ide matematika maupun dengan memungkinkan operasi rutin yang mengikuti aturan yang konsisten. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi pelaku yang mahir, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Sepertinotasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata sepertiatau danhanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisalterbuka danlapangan memberikan arti khusus matematika.Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisalhomeomorfisma danterintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "ketat" atau "kaku" (rigor). Jadi, jika suatu kata sudah dimaknai dengan makna tertentu, maka selanjutnya kata itu harus merujuk ke makna tadi. Tak boleh berubah makna. Itulah makna "ketat" ini di bahasa matematika.
Lambang ketakhinggaan∞ di dalam beberapa gaya sajian.
Penggunaan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan sifatpembuktian matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[29] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu:bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, tetapi pada saat itu metode yang digunakanIsaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentangbukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[30]Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan.
Pada abad ke-19 berkembanglah sebuah aliran pemikiran yang dikenal sebagai formalisme. Bagi seorang formalis, pada pokoknya matematika adalah tentang sistem formal atas simbol-simbol yang didukung oleh aturan-aturan formal untuk memadukannya. Dari sudut pandang ini, aksioma-aksioma hanyalah rumus-rumus istimewa dalamsistem aksioma, diberikan tanpa diturunkan secara prosedural dari unsur-unsur lain dalam sistem. Contoh maksimal formalisme adalah seruanDavid Hilbert pada awal abad ke-20, sering disebutprogram Hilbert, untuk mengodekan semua matematika dengan cara ini.
Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawailambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatusistem aksioma. Inilah tujuanprogram Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurutTeorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yangtidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatuaksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecualiteori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.
Kurt Gödel membuktikan tujuan ini pada dasarnya tidak mungkin denganteorema ketidaklengkapannya, yang menunjukkan sistem formal apapun yang cukup kaya untuk menggambarkan, bahkan aritmetika sederhana tidak dapat menjamin kelengkapan atau konsistensinya sendiri. Meskipun demikian, konsep formalis terus memengaruhi matematika secara besar-besaran, sampai-sampai pernyataan tersebut diharapkan dapat diekspresikan dalam rumus-rumusteori himpunan.[31]
Dalam praktiknya, matematikawan biasanya dikelompokkan dengan ilmuwan, dan matematika memiliki banyak kesamaan dengan ilmu fisika, terutama penalaran deduktif dari asumsi. Matematikawan mengembangkan hipotesis matematika, dikenali sebagaikonjektur, menggunakanmetode coba-coba denganintuisi juga, serupa dengan apa yang dilakukan oleh ilmuwan.[32]Matematika percobaan dan metode komputasi seperti simulasi juga kian penting dalam matematika.
Kini, semua ilmu pengetahuan menghadapi masalah yang dipelajari oleh matematikawan, dan sebaliknya, hasil dari matematika sering menimbulkan pertanyaan dan realisasi baru dalam ilmu pengetahuan. Misalnya,fisikawanRichard Feynman memadukan penalaran matematika dan wawasan fisika untuk menemukanrumus integral lintasan darimekanika kuantum. Di pihak lain,teori dawai adalah kerangka kerja yang diusulkan untuk menyatukan banyak fisika modern yang telah mengilhami teknik dan hasil baru dalam matematika.[33]
Matematikawan Jerman,Carl Friedrich Gauss, bahkan melangkah lebih jauh dengan menyebut matematika "Ratu-nya Ilmu Pengetahuan",[34] dan yang lebih baru,Marcus du Sautoy menggambarkan matematika sebagai "kekuatan pendorong utama di balik penemuan ilmiah".[35] Namun, beberapa penulis menekankan bahwa, dalam jalan utama, matematika berbeda dari gagasan ilmu pengetahuan modern: matematika tidak bergantung padaBukti empiris.[36][37][38][39]
Ruang lingkup pengetahuan matematika telah meluas secara dramatis sejakrevolusi ilmiah, dan seperti bidang kajian lainnya, keadaan ini telah mendorong spesialisasi. Pada tahun 2010, Klasifikasi Subjek Matematika terbaru dariMasyarakat Matematika Amerika mengakui ratusan subbidang, dengan klasifikasi lengkap mencapai 46 halaman.[40] Biasanya, banyak konsep dalam subbidang dapat tetap terisolasi dari cabang matematika lainnya tanpa batas tertentu; hasil dapat berfungsi terutama sebagai perancah untuk mendukung teorema dan teknik lain, atau mereka mungkin tidak memiliki hubungan yang jelas dengan apa pun di luar subbidang.
Matematika menunjukkan kecenderungan yang luar biasa untuk berkembang, dan seiring waktu, matematikawan sering menemukan terapan yang mengejutkan atau keterkaitan antar konsep. Salah satu contoh yang sangat berpengaruh adalah program Erlangen dariFelix Klein, yang membangun hubungan inovatif dan mendalam antara geometri dan aljabar. Ini pada gilirannya membuka kedua bidang ke abstraksi yang lebih besar dan melahirkan subbidang yang sama sekali baru.
Perbedaan sering dibuat antaramatematika terapan dan matematika yang sepenuhnya berorientasi pada pertanyaan dan konsep abstrak, dikenal sebagaimatematika murni. Seperti cabang matematika lainnya, batas ruang lingkupnya cair. Ide-ide yang awalnya berkembang dengan terapan tertentu dalam pikiran sering diperumum kemudian, setelah itu bergabung dengan persediaan umum konsep matematika. Beberapa bidang matematika terapan bahkan telah bergabung dengan bidang praktis untuk menjadi disiplin ilmu tersendiri, sepertistatistika,riset operasi, danilmu komputer.
Mungkin yang lebih mengejutkan adalah ketika ide mengalir ke arah lain, dan bahkan matematika "paling murni" mengarah pada perkiraan atau terapan yang tidak terduga. Misalnya,teori bilangan menempati tempat sentral dalamkriptografi modern, dan dalam fisika, turunan daripersamaan Maxwell mendahului bukti eksperimental gelombang radio dan kecepatan konstan cahaya. FisikawanEugene Wigner menamakan fenomena ini sebagai "keefektifan matematika yang tidak masuk akal".[2]
Hubungan luar biasa antara matematika abstrak dan realitas material telah menyebabkan perdebatan filosofis setidaknya sejak zamanPythagoras. Filsuf kunoPlato berpendapat ini mungkin karena realitas material mencerminkan objek abstrak yang hadir tanpa terikat waktu. Akibatnya, pandangan bahwa "objek matematika terabstraksi dengan sendirinya" sering disebut sebagaiPlatonisme. Sementara sebagian besar matematikawan biasanya tidak menyibukkan diri dengan pertanyaan yang diajukan oleh Platonisme, sebagian matematikawan lainnya justru lebih berpikiran filosofis dalam bertindak dan dikenali sebagai Platonis, bahkan pada masa kini.[41]
Kebutuhan akan kebenaran dan kekakuan tidak berarti matematika tidak memiliki tempat untuk kreativitas. Sebaliknya, sebagian besar pekerjaan matematika di luar perhitungan hafalan membutuhkan pemecahan masalah yang cerdas dan mengeksplorasi perspektif baru secara intuitif.
Kecenderungan matematis sering kali tidak hanya melihat kreativitas, tetapi juga nilaiestetika dalam matematika, yang biasa digambarkan sebagaikeanggunan. Kualitas sepertikesederhanaan,kesimetrisan, kelengkapan, dan keumuman sangat berharga dalam pembuktian dan teknik.Godfrey Harold Hardy dalam karyanyaA Mathematician's Apology menyatakan keyakinan bahwa pertimbangan estetika ini, dengan sendirinya, cukup untuk membenarkan kajian matematika murni. Dia juga mengidentifikasi kriteria lain seperti signifikansi, tak terduga, dan keniscayaan, yang bersumbangsih pada estetika matematika.[42]
Paul Erdős mengungkapkan sentimen ini secara lebih ironis dengan berbicara tentang "The Book", yang dianggap sebagai koleksi ilahi dari bukti-bukti yang paling indah. Terinspirasi oleh Erdős, kumpulan argumen matematika yang sangat ringkas dan inspiratif telah diterbitkan dalamProofs from THE BOOK. Beberapa contoh hasil yang sangat elegan adalah bukti Euklides bahwa ada tak-hingga banyaknyabilangan prima dantransformasi Fourier cepat untuk analisis harmonik.
Beberapa orang merasa bahwa penganggapan matematika sebagai ilmu pengetahuan adalah berarti meremehkan seni dan sejarahnya dalam tujuhpengetahuan budaya tradisional.[43] Salah satu cara perbedaan sudut pandang ini terjadi adalah dalam perdebatan filosofis mengenai apakah hasil matematisdiciptakan (sebagaimana dalam seni) atauditemukan (sebagaimana dalam ilmu pengetahuan).[44] Kemasyhuranmatematika rekreasi adalah tanda lain dari kesenangan yang ditemukan banyak orang dalam memecahkan pertanyaan matematika.
Pada abad ke-20, matematikawanL. E. J. Brouwer bahkan memprakarsai perspektif filsafat yang dikenal sebagaiintuisionisme, yang mengenali matematika dengan proses kreatif tertentu dalam pikiran.[45] Intuisionisme pada gilirannya adalah satu rasa dari sikap yang dikenal sebagai konstruksivisme, yang hanya menganggap absah suatu objek matematika jika dapat langsung dibangun, tidak hanya dijamin oleh logika secara tidak langsung. Hal ini menyebabkan para konstruktivis berkomitmen untuk menolak hasil tertentu, terutama argumen seperti bukti eksistensial yang didasarkan padahukum yang mengecualikan posisi tengah.[46]
Pada akhirnya, baik konstruktivisme maupun intuisionisme tidak menggantikan matematika klasik atau meraih penerimaan arus utama. Namun, program-program ini telah memotivasi perkembangan tertentu, seperti logika intuisionistik dan wawasan dasar lainnya, yang dihargai dalam haknya masing-masing.[46]
Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[47] Di dalam bahasa aslinya, LatinRegina Scientiarum, juga di dalambahasa JermanKönigin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian denganilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, ini pun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuanalam adalah pada masa berikutnya. Bila seseorang memandangilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnyamatematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.
Albert Einstein menyatakan bahwa"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[48]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidak dapat dibuktikan maupun disangkal berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisiKarl Popper.[49] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnyafisika danbiologi, adalahhipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[50] Para bijak bestari lainnya, sebut sajaImre Lakatos, telah menerapkan satu versipemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnyafisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis,J.M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalahpengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[51] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan.Intuisi danpercobaan juga berperan penting di dalam perumusankonjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).
Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakanmetode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002A New Kind of Science,Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secaraempirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuhseni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan danrekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.
Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematikadiciptakan (seperti di dalam seni) atauditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagiuniversitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemenIlmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalamfilsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalahMedali Fields (medali lapangan),[52][53] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara denganPenghargaan Nobel ilmu pengetahuan.
Penghargaan Wolf dalam bidang matematika, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya,Penghargaan Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.
Sebuah daftar terkenal berisikan 23masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan JermanDavid Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.
Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiahUS$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.
Sebuahsempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwaastronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakniaritmetika,aljabar,geometri, dananalisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: kelogika, keteori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akanketakpastian.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagaihimpunan bagian daribilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalambilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besarankontinu. Bilangan real diperumum menjadibilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakankuaternion danoktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah padabilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah padabilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya:bilangan alef, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaanpolinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajiangrup topologi, yang memadukan struktur dan ruang.Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan.Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakankonjektur Poincaré yang telah lama ada danteorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalamilmu pengetahuan alam dankalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyelidikinya.Fungsi-fungsi muncul di sini sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentangbilangan real dan fungsi-fungsi berperubah real dikenal sebagaianalisis riil, dengananalisis kompleks lapangan yang setara untukbilangan kompleks.
Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagaipersamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakansistem dinamik;teori kekacauan (chaos mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilakudeterministik yang masih saja belum terdugakan.
Banyak objek matematika, semisalhimpunan bilangan danfungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajiangrup,gelanggang,lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapanganaljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yaknivektor, diperumum menjadiruang vektor dan dikaji di dalamaljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang.Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan.Kalkulus tensor mengkajikesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentangKompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan olehTeori Galois.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerjaaksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagiTeori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatusistem formal yang berisi aritmetika dasar, jikasuara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), makatak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikandi dalam sistem itu).
Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, kumpulan sembarang aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalamteori rekursi,teori model,teori pembuktian terpaut dekat denganilmu komputerteoretis.
Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuanperangkat keras komputer. Teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, oleh sebab itu berkenaan dengan konsep-konsep semisalpemadatan danentropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah "Masalah P versus NP", salah satuMasalah Milenium.[55]
Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalamilmu pengetahuan,bisnis dan wilayah lainnya. Salah satu bagian penting di dalam matematika terapan adalahstatistika, yang menggunakanteori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis dan peramalan gejala di manapeluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyakstatistikawan tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)
Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajiangalat pembulatan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.
Matematika murni merupakan cabang matematika yang digunakan untuk pengembangan prinsip-prinsip matematika. Bahasan pada matematika murni tidak mempertimbangkan penerapan praktis matematika dalam sains. Kehadiran matematika murni bertujuan untuk mengatasi masalah-masalah yang timbul selama penerapan matematika murni dalam berbagaidisiplin ilmiah.[56]
Bahkan ketika sulit, matematika memiliki kemampuan luar biasa untuk melintasi batas-batas budaya dan periode waktu. Namun, sebagai aktivitas manusia, praktik matematika juga memiliki sisi sosial, termasuk perhatian seperti pendidikan, karier, pengakuan, dll.
Penghargaan paling bergengsi dalam matematika adalahMedali Fields,[57][58] didirikan pada tahun 1936 dan diberikan setiap empat tahun (kecuali sekitarPerang Dunia II) kepada sebanyak empat orang.[59][60] Ini adalah ekivalen Hadiah Nobel untuk matematika.[60]
Penghargaan bergengsi lainnya meliputi:
Penghargaan Abel, dilembagakan pada tahun 2002[61] dan pertama dianugerahkan pada tahun 2003[62]
Medali Chern untuk pencapaian seumur hidup,[63] diperkenalkan pada tahun 2010[64]
Daftar masyhur 23 soal terbuka, disebut "Masalah Hilbert", disusun pada tahun 1900 oleh matematikawan JermanDavid Hilbert.[67] Daftar ini mendapat sambutan hebat di kalangan matematikawan,[68] dan setidaknya 13 soal (tergantung cara menafsirkan) kini telah diselesaikan.[67] Daftar baru dari tujuh soal penting, berjudul "Masalah Milenium", diterbitkan pada tahun 2000. Hanya satu dari mereka,hipotesis Riemann, menggandakan salah satu masalah Hilbert. Solusi untuk semua soal ini dijanjikan hadiah 1 juta dolar.[69] Kini, hanya satu dari masalah ini yang telah diselesaikan, yaitukonjektur Poincaré.[70]
↑Untuk mempertimbangkan suatu komputasi besar dapat diandalkan dalam pembuktian, seseorang biasanya memerlukan dua komputasi menggunakan peranti lunak yang independen
↑Buku yang berisi bukti lengkap memiliki lebih dari 1.000 halaman.
↑S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain,Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361.http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
↑Sebagai contoh, periksalahRaymond L. Wilder,Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study,passim
↑Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008).Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA.
↑Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002).The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus.Oxford University Press. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
↑Hardy, G. H. (1940).A Mathematician's Apology. Cambridge University Press.
↑Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008).Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
↑Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001).Proofs from the Book. Springer. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
↑Ivars Peterson,The Mathematical Tourist, Freeman, 1988,ISBN978-0-7167-1953-3. hal. 4 "Beberapa pihak mengeluh bahwa program komputer tidak dapat diverifikasi dengan benar", (mengacu pada bukti Haken–Apple terhadap Teorema Empat Warna).
↑Lihatlahbukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal.sejarah Teorema Empat Warna berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
↑Ivars Peterson,Wisatawan Matematika, Freeman, 1988,ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
↑Patrick Suppes,Axiomatic Set Theory, Dover, 1972,ISBN978-0-486-61630-8. hal. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dipelajari dan dianalisis dalam matematika dapat dianggap sebagai himpunan khusus atau kelas objek tertentu."
↑du Sautoy, Marcus (Juni 25, 2010)."Nicolas Bourbaki".A Brief History of Mathematics. Terjadi di min. 12:50. BBC Radio 4.Diarsipkan dari versi aslinya tanggal Desember 16, 2016. Diakses tanggalOktober 26, 2017.
↑Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998).Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm.228.
↑Nickles, Thomas (2013). "The Problem of Demarcation".Philosophy of Pseudoscience: Reconsidering the Demarcation Problem. Chicago: The University of Chicago Press. hlm.104.
↑Balaguer, Mark (2016)."Platonism in Metaphysics". Dalam Zalta, Edward N. (ed.).The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edisi Musim Semi 2016). Metaphysics Research Lab, Stanford University.Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2022-01-30. Diakses tanggal2 April 2022.
↑Hardy, G. H. (1940).A Mathematician's Apology. Cambridge University Press.ISBN978-0-521-42706-7.
↑Misalnya, lihatlah pernyataanBertrand Russell "Matematika, jika dilihat dengan benar, tidak hanya memiliki kebenaran, tetapi juga keindahan tertinggi ..." dalam karyanyaHistory of Western Philosophy
12Iemhoff, Rosalie (2020)."Intuitionism in the Philosophy of Mathematics". Dalam Zalta, Edward N. (ed.).The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edisi Fall 2020). Metaphysics Research Lab, Stanford University.Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2022-04-21. Diakses tanggalApril 2, 2022.
↑Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memerhatikanKeefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam.
↑Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998).Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm.228. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
↑Monastyrsky 2001, hlm.1: "Medali Fields sekarang tidak dapat disangkal lagi merupakan penghargaan paling terkenal dan paling berpengaruh dalam matematika."
↑"The Wolf Prize".Wolf Foundation (dalam bahasa American English).Diarsipkan dari versi aslinya tanggal 12 Januari 2020. Diakses tanggal23 Januari 2022.
Benson, Donald C.,The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press, USA; New Ed edition (December 14, 2000).ISBN 0-19-513919-4.
Boyer, Carl B.,A History of Mathematics, Wiley; 2 edition (March 6, 1991).ISBN 0-471-54397-7.—A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.
Courant, R. and H. Robbins,What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, USA; 2 edition (July 18, 1996).ISBN 0-19-510519-2.
Einstein, Albert (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)". P. Dutton., Co.
Eves, Howard,An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0.
Gullberg, Jan,Mathematics—From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997).ISBN 0-393-04002-X.—An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
Hazewinkel, Michiel (ed.),Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000.—A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online.
Jourdain, Philip E. B.,The Nature of Mathematics, inThe World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003,ISBN 0-486-43268-8.
Kline, Morris,Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Paperback edition (March 1, 1990).ISBN 0-19-506135-7.
Encyclopaedia of Mathematics ensiklopediaonline dariSpringer, Karya referensi pascasarjana dengan lebih dari 8.000 judul, mencerahkan hampir 50.000 gagasan di dalam matematika.
Polyanin, Andrei:EqWorld: The World of Mathematical Equations. Sebuah sumberonline yang memusatkan perhatian pada fisika matematika, aljabar, diferensial biasa, diferensial parsial, integral, dan persamaan-persamaan matematika lainnya.
Planet Math. Sebuah ensiklopedia matematikaonline yang masih dibangun, memusatkan perhatian pada matematika modern. MenggunakanGFDL, memungkinkan pertukaran artikel dengan Wikipedia. Menggunakan pemrogramanTeX.
.jpg)
