Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Masalah nilai batas

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Ditunjukkan wilayah tempatpersamaan diferensial berlaku dan nilai batas yang berkaitan

Dalammatematika, di dalam bidangpersamaan diferensial,masalah nilai batas adalahpersamaan diferensial bersama dengan himpunanbatasan tambahan yang disebutkondisi batas.[1] Penyelesaian masalah nilai batas merupakan penyelesaian persamaan diferensial yang juga memenuhi kondisi batas.

Masalah nilai batas muncul dalam berbagai cabang ilmu fisika karena setiap persamaan diferensial fisika memiliki permasalahan ini. Masalah yang melibatkanpersamaan gelombang, seperti penentuanmodus normal, sering dinyatakan sebagai masalah nilai batas. Kelas besar masalah nilai batas penting adalahmasalah Sturm–Liouville. Analisis masalah ini melibatkanfungsi eigen darioperator turunan.

Agar dapat diterapkan, masalah nilai batas haruslahterumus baik. Hal ini memiliki arti bahwa untuk masukan yang diberikan ke dalam masalah terdapat solusi unik, yang terus-menerus bergantung pada masukan. Banyak penelitian teoretis dalam bidangpersamaan diferensial parsial berfokus pada pembuktian bahwa masalah nilai batas yang muncul dari studi ilmiah dan penerapan rekayasa pada faktanya merupakan masalah terumus baik.

Salah satu masalah nilai batas yang dipelajari paling awal adalahmasalah Dirichlet, yaitu penentuanfungsi harmonik (solusi daripersamaan Laplace); penyelesaian diberikan padaprinsip Dirichlet.

Penjelasan

[sunting |sunting sumber]

Masalah nilai batas serupa denganmasalah nilai awal. Masalah nilai batas memiliki kondisi yang ditentukan pada nilai variabel bebas ekstrem ("batas") di dalam persamaan, sementara masalah nilai awal memiliki semua kondisi yang ditentukan pada nilai variabel bebas yang sama (dan nilai tersebut merupakan batas bawah domain, sehingga digunakan istilah nilai "awal").Nilai batas adalah nilai data yang berhubungan dengan nilai masukan, internal, atau keluaran minimum atau maksimum yang ditentukan untuk suatu sistem atau komponen.[2]

Sebagai contoh, jika variabel bebas adalah waktu di dalam domain [0,1], masalah nilai batas akan menentukan nilai untuky(t){\displaystyle y(t)} padat=0{\displaystyle t=0} dant=1{\displaystyle t=1}, sementara masalah nilai awal akan menentukan nilaiy(t){\displaystyle y(t)} dany′(t){\displaystyle y'(t)} pada waktut=0{\displaystyle t=0}.

Penentuan suhu di semua titik pada batang besi dengan salah satu ujung dijaga bersuhunol mutlak dan ujung lainnya dijaga bersuhu titik beku air merupakan masalah nilai batas.

Jika masalah bergantung pada ruang dan waktu, penyelesaian masalah tersebut dapat menentukan nilai masalah di titik tertentu untuk seluruh titik waktu atau di waktu tertentu untuk seluruh titik ruang.

Secara konkret, contoh masalah nilai batas (pada ruang satu dimensi) adalah

y″(x)+y(x)=0{\displaystyle y''(x)+y(x)=0}

dengan penyelesaian berupa fungsi tak diketahuiy(x){\displaystyle y(x)} dan kondisi batas

y(0)=0, y(π/2)=2.{\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}

Tanpa kondisi batas, solusi umum dari persamaan ini adalah

y(x)=Asin⁡(x)+Bcos⁡(x).{\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}

Dari kondisi batasy(0)=0{\displaystyle y(0)=0} diperoleh

0=A⋅0+B⋅1{\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}

yang berarti bahwaB=0.{\displaystyle B=0.} Dari kondisi batasy(π/2)=2{\displaystyle y(\pi /2)=2} diperoleh

2=A⋅1{\displaystyle 2=A\cdot 1}

sehinggaA=2.{\displaystyle A=2.} Dapat dilihat bahwa dengan menerapkan kondisi batas memungkinkan untuk menentukan solusi unik, yang dalam kasus ini adalah

y(x)=2sin⁡(x).{\displaystyle y(x)=2\sin(x).}

Jenis masalah nilai batas

[sunting |sunting sumber]

Kondisi nilai batas

[sunting |sunting sumber]
Penentuan fungsi yang menjelaskan suhu batang 2D teridealisasi ini merupakan masalah nilai batas dengankondisi batas Dirichlet. Fungsi solusi masalah ini akan menyelesaikanpersamaan panas dan memenuhi kondisi batas berupa suhu 0 K pada batas kiri dan suhu 273,15 K pada batas kanan.

Kondisi batas yang menentukan nilai fungsi adalahkondisi batas Dirichlet, atau kondisi batas jenis pertama. Sebagai contoh, jika salah satu ujung batang besi dijaga bersuhu nol mutlak, maka nilai masalah dapat diketahui pada titik ruang tersebut.

Kondisi batas yang menentukan nilaiturunan berarah normal dari fungsi adalahkondisi batas Neumann, atau kondisi batas jenis kedua. Sebagai contoh, jika terdapat alat pemanas di salah satu ujung batang besi, maka energi akan ditambahkan dengan laju konstan, tetapi suhu aktual tidak diketahui.

Jika batas memiliki bentuk kurva atau bidang yang diketahui nilai turunan berarah normal dan nilai variabel itu sendiri merupakankondisi batas Cauchy.

Contoh

[sunting |sunting sumber]

Berikut rangkuman kondisi batas dari fungsi tak diketahui,y{\displaystyle y}, konstantac0{\displaystyle c_{0}} danc1{\displaystyle c_{1}} yang menentukan kondisi batas, serta fungsi skalarf{\displaystyle f} dang{\displaystyle g} yang diketahui dan menentukan kondisi batas.

NamaBentuk batas bagian pertamaBentuk batas bagian kedua
Dirichlety=f{\displaystyle y=f}
Neumann∂y∂n=f{\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}
Robinc0y+c1∂y∂n=f{\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}
Campurany=f{\displaystyle y=f}c0y+c1∂y∂n=f{\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}
Cauchyy=f{\displaystyle y=f} danc0∂y∂n=g{\displaystyle c_{0}{\partial y \over \partial n}=g}

Operator turunan

[sunting |sunting sumber]

Di samping kondisi batas, masalah nilai batas juga dikelompokkan berdasarkan jenis operator turunan yang dilibatkan. Untukoperator eliptik termasuk ke dalammasalah nilai batas eliptik. Sementara untukoperator hiperbolik termasuk ke dalammasalah nilai batas hiperbolik. Pengelompokan ini lebih lanjut dibagi lagi menjadi masalah nilai bataslinear dan sejumlah jenis nonlinear.

Penerapan

[sunting |sunting sumber]

Potensial elektromagnetik

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Persamaan Laplace § Kondisi batas

Dalamelektrostatika, masalah yang umum ditemui adalah mencari fungsi yang menjelaskanpotensial listrik pada wilayah tinjauan. Jika wilayah tidak memiliki muatan, potensial haruslah solusi daripersamaan Laplace (juga sering disebutfungsi harmonik). Kondisi batas pada kasus ini adalahkondisi antarmuka untuk medan elektromagnetik. Jika tidak terdapatkepadatan arus di dalam wilayah tinjauan, penjelasanpotensial skalar magnetik juga dimungkinkan menggunakan prosedur serupa.

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Matematika berkaitan:

Penerapan fisika:

Algoritme numerik:

Catatan

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Zwillinger, Daniel (12 Mei 2014).Handbook of Differential Equations. Elsevier Science. hlm. 536–.ISBN 978-1-4832-2096-3.
  2. ^ISO/IEC/IEEE International Standard - Systems and software engineering. ISO/IEC/IEEE 24765:2010(E). hlm. vol., no., pp.1-418.

Referensi

[sunting |sunting sumber]

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]
Umum
Perpustakaan nasional
Lain-lain
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah_nilai_batas&oldid=22796746"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp