Dalamgeometri diferensial, sebuahmanifold Riemann atauruang Riemannan adalah sebuahmanifold mulus real yang dilengkapi dengan sebuahdarab dalam diruang garis singgung di setiap titik. Jika dan adalahmedan vektor pada, maka merupakan sebuah fungsi mulus. Keluarga dari darab dalam disebut sebuahmetrik Riemann (tensor). Istilah ini diambil dari nama matematikawan JermanBernhard Riemann. Studi mengenai manifold Riemann ini melingkupi subjek yang disebutgeometri Riemann.
Metrik Riemann (tensor) membuatnya memungkinkan untuk mendefinisikan berbagai titik geometrik pada sebuah manifold Riemann, sepertisudut, jarakkurva,luas (atauvolume),kelengkungan,gradien fungsi dankedivergenanmedan vektor.
