Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Luas

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Luas
Simbol umumA
Satuan SIMeter persegi [m2]
Dalamsatuan pokok SI1 m2

Luas ataukeluasan (bahasa Inggris:area) adalah besaran yang menyatakanukuran duadimensi (dwigatra) suatu bagianpermukaan yang dibatasi dengan jelas, biasanya suatu daerah yang dibatasi olehkurva tertutup.Luas permukaan menyatakan luasan permukaan suatu benda padat tiga dimensi (trigatra). Dalam aplikasi, luas permukaanbumi, yang dipakai dalam pengukuran lahan dan merupakan suatu luasan permukaan, kerap dianggap sebagai luas dua dimensibidang datar apabila luasan itu tidak terlalu besar relatif terhadap luas permukaan total bumi.

Satuan luas

[sunting |sunting sumber]
Bab atau bagian initidak memilikireferensi atausumber tepercaya sehingga isinya tidak bisadipastikan. Tolong bantuperbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak.Bab atau bagian ini akan dihapus bila tidak tersedia referensi kesumber tepercaya dalam bentukcatatan kaki ataupranala luar.

Satuan luas pokok menurutSistem Internasional adalahmeter persegi, sedangkan menurutsistem Imperial adalahkaki persegi. Ukuran yang berlaku nasional dan internasional bersifat eksak, sedangkan yang dipakai secara lokal dapat agak bervariasi. Untuk satuan lainnya yang biasa dipakai sehari-hari dapat dilihat di bawah.

Ukuran internasional dan nasional

[sunting |sunting sumber]
  • meter persegi (m2)
  • are =tumbuk (diJambi) = 100 meter persegi = 100 sentiare (ca)
  • hektare (ha) = 100 are = 10.000 meter persegi
  • kilometer persegi (km2) = 100 hektare = 10 000 are = 1.000.000 meter persegi
  • kaki persegi = 144 (= 12 × 12)inci persegi = 0,092 903 04 meter persegi
  • yard (ela) persegi = 9 (= 3 × 3) kaki persegi = 0,836 127 36 meter persegi
  • ekar (lebih dikenal diMalaysia) =acre = 10rantai persegi (= satufurlong dikalikan satu rantai = 4.840 yard persegi = 43.560 kaki persegi = 4.046,856 422 4 meter persegi
  • mil persegi = 640 ekar = 2,589 988 110 336 kilometer persegi

Ukuran lokal Indonesia

[sunting |sunting sumber]

Beberapa satuan luas (terutama untuk lahan) yang bersifat lokal dikenal di Indonesia.

  • ubin (nasional) = ru (Jawa Tengah) = tumbak/tombak (Jawa Barat) = 14,0625 (= 3,75 × 3,75) meter persegi
  • bahu (bau, bouw) = 500 ubin = 7.031,25 meter persegi (≈ 0,7 ha) (lihat artikelnya untuk variasi ukuran)
  • anggar (diKalimantan Barat) ≈ 1/33 hektare
  • borong (diKalimantan Barat) = 1/6 hektare
  • kesuk (di Jawa Mataraman), bervariasi dari 1.000 meter persegi hingga 1/6 hektare.
  • rakit (Pantura Jawa) ≈ 1.000 meter persegi
  • rantai (sebenarnya rantai persegi, dipakai di perkebunanSumatra) = 484 (22 × 22) yard persegi = 404,685 644 24 meter persegi

Sejarah

[sunting |sunting sumber]
Translation arrow icon
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dariArea#History di en.wikipedia.org.Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong padaProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)

Luas lingkaran

[sunting |sunting sumber]

Pada abad ke-5 SM,Hippocrates dari Chios adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram (daerah yang dikelilingi lingkaran) sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian darikuadratur dariGaris pada Hippocrates,[1] tetapi tidak mengidentifikasikonstanta proporsionalitas.Eudoxus dari Cnidus, juga pada abad ke-5 SM, juga menemukan bahwa luas sebuah cakram sebanding dengan radius kuadratnya.[2]

Selanjutnya, Buku IEuclid'sElements membahas persamaan luas antara gambar dua dimensi. Ahli matematikaArchimedes menggunakan perkakasgeometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luassegitiga siku-siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran, dalam bukunyaPengukuran Lingkaran. (Kelilingnya 2πr, dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luasπr2 untuk disk.) Archimedes mendekati nilai π (dan karenanya luas lingkaran radius-satuan) dengan [[Luas disk#Metode penggandaan#Archimedes|metode penggandaannya]], di mana dia menuliskan segitiga biasa dalam lingkaran dan mencatat luasnya, lalu gandakan jumlah sisinya untuk menghasilkansegi enam yang teratur, kemudian berulang kali menggandakan jumlah sisi karena luas poligon semakin dekat dan dekat dengan lingkaran (dan lakukan hal yang sama denganpoligon berbatas.

Ilmuwan SwissJohann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwaπ, rasio luas lingkaran terhadap radius kuadratnya, adalahirasional, artinya itu tidak sama dengan hasil bagi dari dua bilangan bulat apa pun.[3] Pada tahun 1794, ahli matematika PrancisAdrien-Marie Legendre membuktikannya π2 tidak rasional; ini juga membuktikan bahwa π tidak rasional.[4] Pada tahun 1882, ahli matematika JermanFerdinand von Lindemann membuktikan bahwa π adalahtransendental (bukan solusi daripersamaan polinomial dengan koefisien rasional), mengkonfirmasikan dugaan yang dibuat olehLegendre dan Euler.[3]:p. 196

Luas segitiga

[sunting |sunting sumber]

Heron (atau Hero) dari Aleksandria menemukan apa yang dikenal sebagairumus Heron untuk luas segitiga dalam segi sisinya, dan bukti dapat ditemukan dalam bukunya,Metrica, yang ditulis sekitar tahun 60 Masehi. Telah disarankan bahwaArchimedes mengetahui rumus tersebut lebih dari dua abad sebelumnya,[5] dan karenaMetrica adalah kumpulan pengetahuan matematika yang tersedia di dunia kuno, ada kemungkinan rumus tersebut mendahului referensi yang diberikan dalam pekerjaan itu.[6]

Pada tahun 499Aryabhata, seorangmatematikawan-astronom hebat dari zaman klasikmatematika India danastronomi India, menyatakan luas segitiga sebagai satu-setengah alas kali tinggi diAryabhatiya (bagian 2.6).

Sebuah formula yang setara dengan Heron ditemukan oleh orang Cina secara terpisah dari orang Yunani. Itu diterbitkan pada 1247 diShushu Jiuzhang ("Risalah Matematika dalam Sembilan Bagian"), ditulis olehQin Jiushao.

Luas segiempat

[sunting |sunting sumber]

Pada abad ke-7 M,Brahmagupta mengembangkan rumus yang sekarang dikenal sebagairumus Brahmagupta, untuk luassegiempat siklik (segiempattertulis dalam lingkaran) dalam hal sisi-sisinya. Pada tahun 1842, ahli matematika JermanCarl Anton Bretschneider danKarl Georg Christian von Staudt secara independen menemukan rumus, dikenal sebagairumus Bretschneider, untuk luas segiempat mana pun.

Luas poligon umum

[sunting |sunting sumber]

PengembanganKoordinat Kartesius olehRené Descartes pada abad ke-17 memungkinkan pengembanganrumus surveyor untuk luas poligon dengan lokasititik yang diketahui olehGauss pada abad ke-19.

Luas ditentukan menggunakan kalkulus

[sunting |sunting sumber]

Perkembangankalkulus integral di akhir abad ke-17 menyediakan alat yang nantinya dapat digunakan untuk menghitung luas yang lebih rumit, seperti luaselips danluas permukaan dari berbagai objek tiga dimensi melengkung.

Definisi formal

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Ukuran Jordan

Pendekatan untuk mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "luas" adalah melalui aksioma . "Luas" dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kumpulanM{\displaystyle M} dari gambar bidang jenis khusus (disebut himpunan terukur) ke himpunanbilangan real, yang memenuhi sifat berikut:

Sifat di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi luas benar-benar ada.[7]

Rumus

[sunting |sunting sumber]

Rumus poligon

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Poligon

Untuk poligon takberpotongan-diri (sederhana),koordinat kartesius(xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})} dengani=0,1,…,n−1{\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1} dann-verteksnya diketahui, luas tersebut diberikan olehrumus surveyor

A=12|∑i=0n−1(xiyi+1−xi+1yi)|{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|}

di mana ketikai=n−1{\displaystyle i=n-1}, makai+1{\displaystyle i+1} dinyatakan sebagai modulusn{\displaystyle n} dan mengacu ke 0.

Lingkaran

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Luas lingkaran
A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram
Sebuahlingkaran yang membentuk bagian-bagian menjadi persegi panjang.

Diberikanr{\displaystyle r} adalahjari-jari pada sebuah lingkaran. Lingkaran tersebut memotong menjadi bagian yang sama besar (seperti pada gambar di samping). Setiap bagian yang dipotong mirip seperti segitiga. Bila disusun menjadi persegi panjang, maka didapati tingginya adalah jari-jari lingkaran.dan panjangnya adalah keliling lingkaran,πr{\displaystyle \pi r}. Maka, didapati luas pada lingkaran:[8]

L=πr2{\displaystyle L=\pi r^{2}}

Luas dalamkalkulus

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Kalkulus
A diagram showing the area between a given curve and the x-axis
Integral dapat ditinjau sebagai mengukur luas di bawah kurva, yang didefinisikan olehf(x){\displaystyle f(x)}a antara dua titik (yaitua{\displaystyle a} danb{\displaystyle b}).
A diagram showing the area between two functions
Luas antara dua grafik dapat dievaluasi dengan menghitung selisih antara integral dari dua fungsi.
  • Luas antara kurva bernilai positif dan sumbu horizontal, diukur antara dua nilai a dan b (b didefinisikan sebagai lebih besar dari dua nilai) pada sumbu horizontal, diberikan oleh integral dari a ke b dari fungsi yang mewakili kurva:[9]
A=∫abf(x)dx.{\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}
  • Luas antara grafik dua fungsi sama dengan integral dari satu fungsi , f ( x ), minus integral dari fungsi lainnya, g ( x ):A=∫ab(f(x)−g(x))dx,{\displaystyle A=\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx,} wheref(x){\displaystyle f(x)} adalah kurva dengan nilai y yang lebih besar.
  • Luas yang dibatasi oleh fungsi r = r (θ) yang dinyatakan dalam koordinat polar adalah:[9]
A=12∫r2dθ.{\displaystyle A={1 \over 2}\int r^{2}\,d\theta .}
∮t0t1xy˙dt=−∮t0t1yx˙dt=12∮t0t1(xy˙−yx˙)dt{\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt} ( Lihatteorema Green ) atau komponenz{\displaystyle z} dari:12∮t0t1u→×u→˙dt.{\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}{\vec {u}}\times {\dot {\vec {u}}}\,dt.}

Daerah yang dibatasi antara dua fungsi kuadrat

[sunting |sunting sumber]

Untuk menemukan luas yang dibatasi antara duafungsi kuadrat, kita kurangi satu dari yang lain untuk menuliskan perbedaannya sebagai

f(x)−g(x)=ax2+bx+c=a(x−α)(x−β){\displaystyle f(x)-g(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )}

di manaf(x){\displaystyle f(x)} adalah batas atas kuadratik dang(x){\displaystyle g(x)} adalah batas bawah kuadratik. Dapat menentukanm diskriminan darif(x)−g(x){\displaystyle f(x)-g(x)} sebagai[10][11]

A=ΔΔ6a2=a6(β−α)3,a≠0.{\displaystyle A={\frac {\Delta {\sqrt {\Delta }}}{6a^{2}}}={\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3},\qquad a\neq 0.}

Rumus dii atas tetap valid jika salah satu fungsi pembatas adalah linear, bukan kuadratik.

Rumus luas

[sunting |sunting sumber]
Contoh-contoh bangun dua dimensi

Luas suatubangun dua dimensi dapat dihitung dengan menggunakan elemen satuan luas berupapersegi (atau bentuk lain) yang diketahui ukurannya. Luas bangun yang akan diukur merupakan jumlah elemen satuan luas yang menutupinya. Untuk bangun-bangun yang memiliki keteraturan terdapatrumus-rumus yang dapat digunakan bergantung padakarakteristik bangundua dimensi yang dimaksud.

BentukRumus luasVariabel
Bujur sangkar/Persegis2{\displaystyle s^{2}\!}sisi (s)
Persegi panjangpl{\displaystyle pl\!}panjang (p),lebar (l)
Lingkaranπr2{\displaystyle \pi r^{2}\!}jari-jari (r)
Segitigaat2{\displaystyle {\frac {at}{2}}\!}alas (a),tinggi (t)
Jajar genjangat{\displaystyle at\!}alas (a),tinggi (t)
Trapesium(a+b)t2{\displaystyle {\frac {(a+b)t}{2}}\!}alas atas (a),alas bawah (b),tinggi (t)
Belah ketupatd1d22{\displaystyle {\frac {d_{1}d_{2}}{2}}\!}diagonal (d1 &d2)
Layang-layangd1d22{\displaystyle {\frac {d_{1}d_{2}}{2}}\!}diagonal (d1 &d2)
Elipsπab{\displaystyle \pi ab\!}jari-jari datar (a),jari-jari tegak (b)
Luas daerah (dibutuhkankalkulus)∫abA(h)dh{\displaystyle \int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h}

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Heath, Thomas L. (2003),Manual Matematika Yunani, Courier Dover Publications, hlm. 121–132,ISBN 978-0-486-43231-1, diarsipkan dariversi asli tanggal 2016-05-01 Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  2. ^Stewart, James (2003).Variabel tunggal transendental awal kalkulus (edisi ke-5th.). Toronto ON: Brook/Cole. hlm. 3.ISBN 978-0-534-39330-4.However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle:A=πr2.{\displaystyle A=\pi r^{2}.} Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  3. ^abArndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006).Pi Unleashed. Springer-Verlag.ISBN 978-3-540-66572-4. Diakses tanggal2013-06-05.  Terjemahan bahasa Inggris oleh Catriona dan David Lischka.
  4. ^Eves, Howard (1990),An Introduction to the History of Mathematics (edisi ke-6th), Saunders, hlm. 121,ISBN 978-0-03-029558-4 
  5. ^Heath, Thomas L. (1921).A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. hlm. 321–323. 
  6. ^(Inggris)Weisstein, Eric W."Rumus Heron".MathWorld. 
  7. ^Moise, Edwin.Elementary Geometry from an Advanced StandpointPerlu mendaftar (gratis). Addison-Wesley Pub. Co. Diakses tanggal15 Juli 2012. Parameter|tahun= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  8. ^Salamah, Umi (2015).Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs. hlm. 130.ISBN 978-979-018-702-3. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  9. ^abKesalahan pengutipan: Tag<ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamaMathWorld
  10. ^Matematika. PT Grafindo Media Pratama. hlm. 51–.ISBN 978-979-758-477-1. Diarsipkan dariversi asli tanggal 2017-03-20. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  11. ^Get Success UN +SPMB Matematika. PT Grafindo Media Pratama. hlm. 157–.ISBN 978-602-00-0090-9. Diarsipkan dariversi asli tanggal 2016-12-23. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
Elemen geometri menurut dimensi
Besaran geometri menurut dimensi
Istilah dasar lain
Bangun 2 dimensi
Bangun 3 dimensi
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Luas&oldid=22631577"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp