Movatterモバイル変換

Limit barisan

Sunting pranala

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Untuk pengertian limit secara umum dalam matematika, lihatLimit (matematika).

diagram segi enam dan segi lima yang dibatasi di luar lingkaran — Limit barisan kelilingsegibanyak segi-n beraturan yang melilit bagian luarlingkaran satuan sama dengan keliling lingkaran, yaitu $2\pi r$ . Barisan keliling segibanyak beraturan yang menyinggung bagian dalam lingkaran pun menuju limit yang sama.

{\displaystyle 2\pi r} — Limit barisan kelilingsegibanyak segi-n beraturan yang melilit bagian luarlingkaran satuan sama dengan keliling lingkaran, yaitu $2\pi r$ . Barisan keliling segibanyak beraturan yang menyinggung bagian dalam lingkaran pun menuju limit yang sama.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Semakinbilangan bulat positif $n {\displaystyle n}$ membesar tanpa batas, nilai $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ menjadi semakin dekat menuju $1 {\displaystyle 1}$ . Dapat dikatakan bahwa "limit barisan $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ sama dengan $1 {\displaystyle 1}$ ."

Dalammatematika,limit barisan adalah nilai yang didekati oleh suku-sukubarisan ketika nomor urut suku-sukunya semakin membesar. Limit barisan seringkali dilambangkan dengan $\lim$ (yaitu, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ).^[1] Jika suatu barisan mempunyai limit, barisan itu disebutkonvergen. Barisan yang tidak konvergen disebutdivergen.^[2] Limit barisan dikatakan sebagai gagasan landasan seluruhanalisis matematika.^[3]

Limit dapat ditentukan padaruang metrik atauruang topologi, tetapi biasanya pertama kali ditemukan dalambilangan real.

Sejarah

[sunting |sunting sumber]

Filsuf YunaniZeno dari Elea terkenal karena merumuskanparadoks yang melibatkan proses-proses limit.

Leucippus,Democritus,Antiphon,Eudoksos, danArchimedes mengembangkanmetode penghabis, yakni menggunakan barisan hampirantak hingga untuk mencari luas atau volume. Archimedes berhasil menjumlahkan apa yang sekarang disebutderet geometrik.

Newton membincangkan deret dalam karyanyaAnalysis with infinite series (ditulis pada tahun 1669, diedarkan dalam bentuk manuskrip, diterbitkan pada tahun 1711),Method of fluxions and infinite series (ditulis tahun 1671, diterbitkan dalam terjemahanbahasa Inggris tahun 1736, buku asal yang berbahasa Latin diterbitkan lama kemudian) danTractatus de Quadratura Curvarum (ditulis tahun 1693, diterbitkan tahun 1704 sebagai Lampiran bagi karyaOptiks). Dalam karya terakhir, Newton menganggap ekspansi binomial ${\textstyle (x+o)^{n}}$ , yang kemudian dia linierisasi dengan mengambil nilai limit karena o cenderung ke 0.

Pada abad ke-18,matematikawan sepertiEuler berhasil menjumlahkan beberapa deretdivergen dengan berhenti pada saat yang tepat; mereka tidak terlalu peduli apakah ada limit, asalkan bisa dihitung. Di akhir abad ini,Lagrange dalamThéorie des fonctions analytiques (1797) berpendapat bahwa kurangnya ketelitian menghalangi perkembangan lebih lanjut dalam kalkulus.Gauss dalam buku latihannya tentangderet hipergeometrik (1813) untuk pertama kalinya diselidiki, secara teliti, syarat apa yang cukup menjamin kekonvergenan suatu deret.

Definisi modern dari suatu limit (untuk suatu ε terdapat suatu indeksN sedemikian sehingga...) diberikan olehBernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, kurang dapat perhatikan pada saat itu), dan olehKarl Weierstrass pada tahun 1870an.

Limit barisan bilangan

[sunting |sunting sumber]

Misalkan $(x_{n})$ suatubarisan tak hingga dari bilangan (riil ataukompleks). Suatu bilangan $L {\displaystyle L}$ adalah limit dari $(x_{n})$ apabila suku-suku barisan $(x_{n})$ semakin mendekati $L {\displaystyle L}$ saat $n {\displaystyle n}$ membesar tanpa batas.^[4] Jika $L {\displaystyle L}$ adalah limit dari barisan $(x_{n})$ maka barisan tersebut dikatakankonvergen ke $L {\displaystyle L}$ ataumempunyai limit $L {\displaystyle L}$ ataumemusat pada bilangan $L {\displaystyle L}$ ^[5]. Barisan yang tidak mempunyai limit dikatakandivergen.

Secara lebih tepat, suatu bilangan $L {\displaystyle L}$ adalah limit dari barisan bilangan tak hingga $(x_{n})$ apabila berlaku^[6]

\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} (n>N\Rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon ),

yakni, untuk sebarang bilangan positif $\varepsilon$ , dapat ditentukan $N {\displaystyle N}$ yang bergantung pada $\varepsilon$ sedemikian rupa, sehingga untuk semua bilangan bulat positif $n>N$ berlaku $\mid x_{n}-L\mid <\varepsilon$ , dengan $\mid \cdot \mid$ melambangkannilai mutlak untuk bilangan riil dannilai modulus untuk bilangan kompleks.^[7]^[8]

Notasi untuk barisan $(x_{n})$ yang konvergen menuju $L {\displaystyle L}$ ditulis sebagai $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ . Terkadang juga ditulis $x_{n}\to L$ ^[9].

Contoh barisan yang konvergen ke $a {\displaystyle a}$ .
Untuk sebarang $\varepsilon >0$ yang dipilih, terdapat bilangan bulat $N_{0}$ sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke- $N_{0}$ sampai seterusnya berada di lingkungan $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ .
Untuk nilai, $\epsilon _{1}>0$ yang lain, akan terdapat pula bilangan bulat $N_{1}$ , bersesuaian dengan nilai $\epsilon _{1}$ tersebut, sedemikian sehingga barisan dari suku ke- $N_{1}$ sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$ .
Untuk setiap $\varepsilon >0$ , hanya terdapat sebanyak hingga anggota barisan di luar lingkungan $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ .

Limit tak sebenarnya

[sunting |sunting sumber]

Suatu barisan $(x_{n})$ dikatakanmendekati takhingga, ditulis $x_{n}\to \infty$ atau ${\textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$ , jika untuk setiap bilangan real $K {\displaystyle K}$ , terdapat suatu bilangan bulat $N {\displaystyle N}$ sedemikian sehingga untuk setiap $n\geq N$ , $x_{n}>K$ ; yaitu, suku barisan pada akhirnya akan lebih besar daripada sembarang $K {\displaystyle K}$ yang dipilih. Dengan cara yang serupa, $x_{n}\to -\infty$ jika untuk setiap $K {\displaystyle K}$ , terdapat suatu $N {\displaystyle N}$ sehingga untuk setiap $n\geq N$ , $x_{n}<K$ .

Jika suatu barisan cenderung ke takhingga atau negatif takhingga, maka barisan tersebut adalah divergen. Namun, suatu barisan divergen bukanlah syarat perlu untuk suatu barisan mendekati takhingga atau negatif takhingga, sepertibarisan tanda $x_{n}=(-1)^{n}$ . Perilaku limit barisan divergen yang terbatas dapat ditelaah dengan memperhatikanbarisan bagiannya, limit superior dan inferior, serta titik limit.

Contoh-contoh

[sunting |sunting sumber]

Suku-suku barisan (n+1/2n^2) diplotkan sebagai titik-titik biru. Terlihat bahwa barisan konvergen menuju 0 untukn semakin membesar.

Jika $x_{n}=c$ untuk suatu konstantac, maka $x_{n}\to c$ .^{[bukti 1]}^[10]
Jika $x_{n}=1/{n}$ , maka $x_{n}\to 0$ .^{[bukti 2]}^[10]
Jika $x_{n}=1/n$ untuk $n {\displaystyle n}$ genap, dan ${\textstyle x_{n}=1/{n^{2}}}$ untuk $n {\displaystyle n}$ ganjil, maka $x_{n}\to 0$ . (Kenyataan bahwa $x_{n+1}>x_{n}$ apabila $n {\displaystyle n}$ ganjil tidak penting.)
Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan $0.3,0.33,0.333,0.3333,...$ konvergen menuju $1/3$ . Perhatikan bahwarepresentasi desimal $0.3333...$ adalahlimit dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh ${\textstyle 0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}$ .

Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ (limitnya adalahbilangane) danpurata aritmetika–geometrik (limitnya 13,458...).Teorema apit sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.

Sifat-sifat

[sunting |sunting sumber]

Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
Misal diketahui dua barisan konvergen $x_{n}\to L$ dan $y_{n}\to M$ ,
- barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.
$(x_{n}\pm y_{n})\to L\pm M$
- barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
$(x_{n}y_{n})\to LM$
- apabila $M\neq 0$ , barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
$\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)\to {\frac {L}{M}}$
Jika $a_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n {\displaystyle n}$ lebih besar dari suatu $N {\displaystyle N}$ , maka ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$ .
Jika $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ untuk semua $n>N$ , dan ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ , maka ${\textstyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$ . (teorema apit)
Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan ituterbatas.
Jika suatu barisan terbatas danmonoton, maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
Suatu barisan adalah konvergenjika dan hanya jika setiapbarisan bagiannya konvergen.

Ruang metrik

[sunting |sunting sumber]

Definisi

[sunting |sunting sumber]

Suatu titik $x {\displaystyle x}$ dalamruang metrik $(X,d)$ adalahlimit daribarisan $(x_{n})$ jika untuk sembarang nilai $\epsilon >0$ , terdapat nilai $N {\displaystyle N}$ sedemikian rupa, sehingga untuk setiap nilai $n\geq N$ , $d(x_{n},x)<\epsilon$ . Definisi ini berlaku juga untuk bilangan real dengan $X=\mathbb {R}$ dan $d(x,y)=|x-y|$ .

Sifat-sifat

[sunting |sunting sumber]

Untuk suatufungsi kontinuf, jika $x_{n}\to x$ maka $f(x_{n})\to f(x)$ . Faktanya,fungsif kontinu jika dan hanya jika untuk sembarang barisan menuju suatu limit $x_{n}\to x$ berlaku $f(x_{n})\to f(x)$ .

Limit barisan, apabila ada, itu tunggal. Karena dua titik berbeda terpisahkan oleh suatu jarak positif, jadi untuk $\epsilon$ kurang dari setengah jarak ini, suku-suku barisan tidak bisa berada dalam jarak $\epsilon$ dari kedua titik tersebut.

Barisan Cauchy

[sunting |sunting sumber]

Artikel utama:Barisan Cauchy

Plot barisan Cauchy (x_n), ditampilkan dengan warna biru, sepertix_n versusn. Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekatn meningkat. Dalambilangan real setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.

Barisan Cauchy adalah barisan yang sukunya bagian akhir menjadi berdekatan secara acak, setelah cukup banyak istilah awal yang dihapus akan dikembalikan. Gagasan tentangbarisan Cauchy penting dalam studi barisan diruang metrik, dan, khususnya, dianalisis riil. Salah satu hasil yang sangat penting dalam analisis nyata adalahKriteria Cauchy untuk kekonvergenan barisan: barisan bilangan real adalah konvergen jika dan hanya jika itu adalah barisan Cauchy. Hal ini tetap berlaku diruang metrik lengkap.

Definisi dalam bilangan hiperreal

[sunting |sunting sumber]

Definisi batas menggunakanbilangan hiperreal menggunakan intuisi bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah terkait adalah "sangat dekat" dengan batas. Lebih tepatnya, barisan yang nyata $(x_{n})$ cenderungL jika untuk setiap tak terbatashipernaturalH, syaratx_H is sangat dekat denganL (yaitu, perbedaan nilaix_H − L adalahinfinitesimal). Setara,L adalahbagian standar darix_H

L={\rm {st}}(x_{H}).\,

Jadi, limitnya bisa ditentukan dengan rumus

\lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H}),

dengan limit tersebut ada jika dan hanya jika ruas kanan tidak bergantung pada pemilihan dari suatu takhinggaH.

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Limit fungsi – titik untuk yang fungsi konvergen dalam topologi
Titik limit – suatu titikx dalam suatu ruang topologis, semua lingkungan berisi beberapa titik dalam diberikan suatuhimpunan bagian yang berbeda darix.
Limit atas dan limit bawah
Mode kekonvergenan
Limit jaring — suatujaring rampat topologis dari suatu barisan
Limit teoretik himpunan
Aturan gesekan
Limit berurut bagian

Catatan

[sunting |sunting sumber]

^E., Hutahaean, (1983).Kalkulus Diferensial dan Integral I. Jakarta: PT Gramedia.OCLC 949729321. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Stewart, James (2001).Kalkulus. Diterjemahkan oleh Drs. I Nyoman Susila, M.Sc. dan Hendra Gunawan, Ph.D. Jakarta: Erlangga.ISBN 979-688-221-3. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)Pemeliharaan CS1: Banyak nama: translators list (link)
^Courant (1961), p. 29.
^Ayres, Frank; Mendelson, Elliot (2006).Kalkulus. Diterjemahkan oleh Nur Danarjaya, M.Sc. Jakarta: Penerbit Erlangga. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Panggabean, A.B (2014).Kalkulus Tingkat Lanjut. Yogyakarta: Graha Ilmu.ISBN 978-602-262-264-2. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Martono, Koko (2000).Sari Informasi Fungsi Kompleks. Bandung: Himpunan Pegawai Matematika ITB. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Handali, Daniel; Pamuntjak, Rasyidin J. (2004).Kalkulus Perubah Banyak. Bandung: Penerbit ITB.ISBN 979-3507-12-8. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Dedy, Endang; Sumiyaty, Encum (2019).Fungsi Variabel Kompleks. Jakarta: PT Bumi Aksara.ISBN 978-602-444-713-7. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Endang Cahya; Makbul Muksar (2011).Analisis Real. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka.ISBN 978-979-011-674-0. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^^a ^b"Limit of Sequences | Brilliant Math & Science Wiki".brilliant.org (dalam bahasa Inggris Amerika). Diakses tanggal2020-08-18. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)

Bukti

[sunting |sunting sumber]

^Bukti: Pilih nilai $N=1$ . Untuk setiap $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\epsilon$
^Bukti: Pilih $N=\left\lfloor {\frac {1}{\epsilon }}\right\rfloor$ + 1 (fungsi lantai). Untuk setiap $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1}}<\epsilon$ .

Referensi

[sunting |sunting sumber]

Courant, Richard (1961). "VolumeKalkulus Diferensial dan Integral I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
Frank Morley danJames Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994],"Limit",Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,ISBN 978-1-55608-010-4
A history of the calculus, including limits

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit_barisan&oldid=26762654"

Kategori tersembunyi:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp