Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Integral

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Artikel ini berisi tentang konsep integral tentu dalam kalkulus. Untuk integral taktentu, lihatantiturunan. Untuk himpunan bilangan, lihatbilangan bulat. Untuk Penggunaan lain, lihatIntegral (disambiguasi).
Definite integral example
Integral tentu dari suatu fungsi dapat diartikan sebagailuas bertanda dari daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut dan sumbu horizontal. Pada grafik di atas sebagai contoh, integral darif(x){\displaystyle f(x)} adalah luas berwarna biru (+) dikurangi oleh luas berwarna kuning (-).
Kalkulus

Dalammatematika,integral adalah versi kontinu dari konseppenjumlahan, yang digunakan untuk menghitungluas,volume, dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalamkalkulus;[a] operasi yang lain adalahturunan. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika danfisika, seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan.

Integral tentu dari fungsif{\displaystyle f} menghitungluas bertanda dari daerah pada bidang yang dibatasi olehkurva fungsi tersebut di antara dua titik di garis horizontal. Berdasarkan konvensi, luas daerah yang berada di atas garis horizontal memiliki luas yang bernilai positif, sedangkan yang berada di bawah memiliki luas negatif. Integral juga mencakup konsepantiturunan, yakni suatu fungsi yang turunannya adalah fungsif{\displaystyle f}; dalam hal ini, suatu fungsi tersebut disebutintegral taktentu.Teorema dasar kalkulus memberikan hubungan antara integral tentu denganturunan, dan cara menghitung integral tentu dari suatu fungsi yang antiturunannya diketahui; turunan dan integral adalahoperasi yang saling berkebalikan.

Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejakjaman Yunani kuno, prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah olehIsaac Newton danGottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebarinfinitesimal (takhingga kecilnya).Bernhard Riemann kemudian memberikan definisi cermat (rigorous) dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerahkurvilinear dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20,Henri Lebesgue memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagaiintegral Lebesgue; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue.

Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupundomain atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh,integral garis didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, danselang dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan padaintegral permukaan, kurva digantikan oleh sepotongpermukaan diruang dimensi tiga.

Terminologi dan notasi

[sunting |sunting sumber]

Secara umum, integral dari sebuahfungsi bernilai riilf(x){\displaystyle f(x)} terhadapvariabel riilx{\displaystyle x} pada suatuselang[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} dituliskan sebagai∫abf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}Simbol integral∫{\textstyle \int } menandakan integrasi. Fungsif(x){\displaystyle f(x)} disebutintegran. Simboldx{\displaystyle dx}, terkadang ditulis sebagaidx{\displaystyle {\text{d}}x}, disebutdiferensial dari variabelx{\displaystyle x}, dan menandakan variabel dari integrasi adalahx.{\displaystyle x.} Titika{\displaystyle a} danb{\displaystyle b} disebutbatas (ataulimit) dari integrasi, dan integrasi disebut dilakukan pada selang[a,b]{\displaystyle [a,\,b]}.[1] Sebuah fungsi disebutterintegralkanjika integral fungsi tersebut pada domainnya bernilai hingga. Jika batas integrasi disertakan, integral disebutintegral tentu.

Ketika batas integrasi tidak ada, misalnya seperti∫f(x)dx,{\displaystyle \int f(x)\,dx,}maka integral disebut sebagaiintegral taktentu. Integral ini menyatakan suatu kelompok fungsi (antiturunan) yang turunannya adalah integran.[2]Teorema dasar kalkulus menyatakan hubungan antara integral tentu dengan integral taktentu. Terdapat beberapa perumuman notasi dari integral, masing-masing untuk mencakup integrasi yang dilakukan pada domain yang takterbatas dan/atau dimensi tinggi (lihat bagian Perumuman di artikel ini).

Dalam pembahasan tingkat lanjut, cukup umum untuk tidak menuliskandx{\displaystyle dx} ketika hanya menggunakan integral Riemann yang sederhana, atau ketika integral dapat berlaku secara umum. Sebagai contoh, sifat linearitas dari integral dapat dituliskan∫ab(c1f+c2g)=c1∫abf+c2∫abg{\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}, simboldx{\displaystyle dx} tidak dituliskan karena sifat tersebut berlaku bagi integral Riemann dan semua perumumannya.[b]

Interpretasi

[sunting |sunting sumber]
Contoh perkiraan integral
Hampiran integralx{\displaystyle {\sqrt {x}}} pada nilaix=0{\displaystyle x=0} hinggax=1{\displaystyle x=1}, menggunakan 5 partisi titik akhir kanan (warna kuning) dan 12 partisi titik akhir kiri (warna hijau).

Integrasi muncul dalam banyak masalah umum. Bila suatukolam renang berbentuk kotak dengan dasar yang datar, maka dari panjang, lebar, dan kedalamannya kita dengan mudah dapat menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk membuat pembatas). Namun jika kolam renang berbentuk oval dengan dasar yang melengkung, semua masalah tadi membutuhkan integral. Tentu perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sederhana seperti itu, tetapi integral diperlukan dalam ilmu teknik yang membutuhkan ketelitian dan nilai yang presisi. Dalam masing-masing cara tadi, besaran yang ingin ditentukan (misal panjang pembatas) dapat dihitung dengan membaginya menjadi banyak bagian-bagian kecil (atau sampaiinfinitesimal), lalu menjumlahkan bagian-bagian tadi untuk mendapatkan perkiraan yang akurat.

Sebagai contoh lain, misal seseorang ingin menentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsix{\textstyle {\sqrt {x}}} pada selangx=0{\displaystyle x=0} sampaix=1{\displaystyle x=1}. Ia dapat memperkirakan luasnya dengan membagi selang menjadi lima bagian(0,15,25,⋯,1){\displaystyle (0,\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {2}{5}},\,\cdots ,\,1)}, lalu membuat persegi-persegi panjang dengan tinggi nilai fungsi di batas kanan setiap subselang—sehingga tinggi masing-masingnya adalah15,25,⋯,55{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{5}}},\,{\sqrt {\tfrac {2}{5}}},\,\cdots ,\,{\sqrt {\tfrac {5}{5}}}}, kemudian menjumlahkan semua persegi panjang tadi untuk mendapatkan hampiran15(15−0)+25(25−15)+⋯+55(55−45)≈0,7497,{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0,7497,}yang lebih besar daripada nilai sebenarnya. Hampiran lain dapat dilakukan menggunakan batas kiri setiap subselang, tetapi nilai yang didapatkan lebih kecil daripada sebenarnya: dengan 12 subselang akan menghasilkan luas0,6203{\displaystyle 0,6203}. Tetapi ketika banyak subselang diperbanyak sampai tak hingga, luas yang dihitung akan mencapai suatu limit yang sama dengan sama dengan luas daerah yang ingin dicari (dalam kasus ini bernilai23{\textstyle {\tfrac {2}{3}}}). Menggunakan notasi integral, ini ditulis sebagai∫01xdx=23,{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}yang mengartikan23{\textstyle {\tfrac {2}{3}}} adalah jumlah berbobot dari nilai-nilai fungsi,x{\displaystyle {\sqrt {x}}}, dikalikan dengan lebar yang infinitesimal, yang disimbolkan dengandx{\displaystyle dx}, pada selang[0,1]{\displaystyle [0,\,1]}.

Jumlah Darboux
Contoh jumlah Darboux atas
Jumlah Darboux atas untuk fungsiy =x2
Contoh penjumlahan Darboux bawah
Contoh jumlah Darboux bawah untuk fungsiy =x2

Definisi formal

[sunting |sunting sumber]
jumlah Riemann yang konvergen ke luas bertanda dari fungsi

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tapi tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar terjadi untuk menangani kasus-kasus khusus yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi terkadang juga terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

Integral Riemann

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Integral Riemann

Integral Riemann didefinisikan menggunakanjumlah Riemann dari fungsi terhadappartisi bertanda dari sebuah interval.[3][4] Partisi bertanda dari sebuahselang tertutup[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} pada garis riil adalahbarisan terbatasa=x0≤t1≤x1≤t2≤x2≤⋯≤xn−1≤tn≤xn=b.{\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}Partisi ini memecah selang[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} menjadin{\displaystyle n} subselang[xi−1,xi]{\displaystyle [x_{i-1},\,x_{i}]} yang diindeks olehi{\displaystyle i}, dan masing-masing "menandai" suatu titikti∈[xi−1,xi]{\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},\,x_{i}]}.Mesh dari partisi tersebut adalah subselang di partisi dengan lebar terbesar,maxi=1,⋯,nΔi{\textstyle \max _{i=1,\cdots ,n}\Delta _{i}}. Selanjutnya,jumlah Riemann dari sebuah fungsif{\displaystyle f} terhadap partisi bertanda tersebut didefinisikan sebagai∑i=1nf(ti)Δi;{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}sehingga setiap suku dalam penjumlahan menyatakan luas sebuah persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada suatu nilai di subselang tersebut, dan dengan lebar sama dengan lebar subselang,Δi=xi−xi−1{\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}.

Akhirnya,integral Riemann dari sebuah fungsif{\displaystyle f} pada selang[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} didefinisikan sama denganS{\displaystyle S} jika:[5]

Untuk setiapε>0{\displaystyle \varepsilon >0} terdapatδ>0{\displaystyle \delta >0} sedemikian sehingga, untuk sebarang partisi bertanda[a,b]{\displaystyle [a,b]} denganmesh lebih kecil dariδ{\displaystyle \delta }, berlaku hubungan|S−∑i=1nf(ti)Δi|<ε.{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}

Jika tanda setiap subselang yang dipilih adalah maksimum (atau serupa dengan itu, minimum) dari nilai fungsi pada subselang tersebut, maka jumlah Riemann akan sama denganjumlah Darboux atas (atau serupa dengan itu, bawah); memperlihatkan kaitan erat antara integral Riemann danintegral Darboux.

Integral Lebesgue

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Integral Lebesgue
Perbandingan Integral Riemann dan Lebesgue
Integral Riemann (atas) dan integral Lebesgue (bawah)

Baik dalam teori maupun penerapan, seringkali perhitungan perlu memindahkan limit ke "sisi" dalam integral. Sebagai contoh, suatu barisan fungsi sering dibuat untuk menghampiri, dalam konteks yang masuk akal, solusi (dalam rupa fungsi) dari sebuah masalah. Dalam hal ini, integral dari fungsi solusi sewajarnya sama denganlimit dari integral fungsi hampiran. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat dihasilkan dari limit tidak terintegralkan-Riemann, sehingga teorema limit seperti itu tidak berlaku ketika menggunakan integral Riemann. Akibatnya, diperlukan suatu definisi integral yang memungkinkan lebih banyak jenis fungsi yang dapat terintegralkan.[6]

Integral yang memenuhi syarat tersebut adalah integral Lebesgue, yang menggunakan fakta berikut untuk memungkinkan lebih banyak jenis fungsi dapat terintegralkan: jika nilai dari fungsi disusun ulang atas domainnya, integral dari fungsi tersebut harus tidak berubah. AlhasilHenri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, dan menjelaskan integral ini dalam surat kePaul Montel:[7]

Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya, dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai total uang tersebut. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku, saya dapat mengurutkan uang kertas dan koin berdasarkan nilai mereka dan baru kemudian saya membayar beberapa tumpukan [nilai uang] satu-demi-satu kepada kreditor. Ini adalah integral saya.

Folland menyampaikan konsep integral ini seperti berikut: "Untuk menghitung integral Riemann darif{\displaystyle f}, seseorang perlu mempartisi domain[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} sebagai sub-subselang, sedangkan dalam integral Lebesgue, dia mempartisi [rentang] nilai darif{\displaystyle f}."[8] Definisi dari integral Lebesgue didasarkan dengan sebuahukuran,μ{\displaystyle \mu }. Dalam kasus paling sederhana,ukuran Lebesgueμ(A){\displaystyle \mu (A)} dari selangA=[a,b]{\displaystyle A=[a,\,b]} adalah lebarnya,b−a{\displaystyle b-a}, sehingga hasil integral Lebesgue sama dengan integral Riemann ketika keduanya ada.[9] Pada kasus yang lebih rumit, ukuran dari himpunan dapat sangat terpecah-pecah, tanpa kekontinuan dan tidak memiliki kemiripan apapun dengan selang.

Menggunakan sudut pandang "mempartisi rentang nilai darif{\displaystyle f}", integral dari sebuah fungsi non-negatiff:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } akan menyatakan penjumlahan terhadapt{\displaystyle t}, dari luas-luas (mungkin beberapa) strip horizontal tipis yang terletak di antaray=t{\displaystyle y=t} dany=t+dt{\displaystyle y=t+dt}. Luas dari strip ini adalahμ({x:f(x)>t})dt{\displaystyle \mu (\{x:f(x)>t\})dt}. Misalkanf∗(t)=μ({x:f(x)>t}){\displaystyle f^{*}(t)=\mu (\{x:f(x)>t\})}. Integral Lebesgue darif{\displaystyle f} selanjutnya didefinisikan sebagai∫f=∫0∞f∗(t)dt{\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}dengan bentuk integral di ruas kanan adalah bentukintegral takwajar Riemann biasa (fungsif∗{\displaystyle f^{*}} adalah fungsi positif yang menurun tegas (strictly decreasing), sehingga memiliki integral takwajar Riemann).[10] Definisi ini berlaku untuk suatu kelompok fungsi yang sesuai (yaknifungsi terukur).

Sebarang fungsi terukurf{\displaystyle f} terintegralkan-Lebesgue jika jumlah dari nilai-nilai mutlak dari luas daerah diantara grafik fungsif{\displaystyle f} dan sumbu-x{\displaystyle x} bernilai hingga; secara matematis:[11]∫E|f|dμ<+∞.{\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}Dalam kasus tersebut, integralnya adalah selisih luas daerah diatas sumbu-x{\displaystyle x} dengan luas dibawah sumbu-x{\displaystyle x}; sama seperti integral Riemann. Dituliskan dalam bentuk matematis:[12]∫Efdμ=∫Ef+dμ−∫Ef−dμ{\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }denganf+(x)=max{f(x),0}={f(x),jika f(x)>0,0,lainnya,f−(x)=max{−f(x),0}={−f(x),jika f(x)<0,0,lainnya.{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{jika }}f(x)>0,\\0,&{\text{lainnya,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{jika }}f(x)<0,\\0,&{\text{lainnya.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}

Integral lainnya

[sunting |sunting sumber]

Walau integral Riemann dan Lebesgue adalah definisi integral yang paling umum digunakan, ada beberapa definisi integral lainnya, termasuk diantaranya:

Sifat

[sunting |sunting sumber]

Kelinearan

[sunting |sunting sumber]

Himpunan semua fungsi terintegralkan-Riemann pada suatu selang tertutup[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} akan membentuk sebuahruang vektor di bawah operasi penjumlahan setitik (pointwise addition) dan perkalian dengan skalar. Operasi integrasif↦∫abf(x)dx{\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}merupakanbentuk linear pada ruang vektor tersebut. Akibatnya, himpunan fungsi terintegralkan bersifat tertutup dibawahkombinasi linear, dan integral dari sebuah kombinasi linear sama dengan kombinasi linear dari integral:[13]∫ab(αf+βg)(x)dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}Mirip dengan hal itu, himpunan fungsi terintegralkan-Lebesgue bernilai-riil pada suaturuang ukuranE{\displaystyle E} dengan ukuranμ{\displaystyle \mu }, bersifat tertutup dibawah proses membuat kombinasi linear, sehingga menghasilkan sebuah ruang vektor. Integral Lebesguef↦∫Efdμ{\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }merupakan bentuk linear dalam ruang vektor tersebut, sehingga:[12]∫E(αf+βg)dμ=α∫Efdμ+β∫Egdμ.{\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}Secara umum, pertimbangkan ruang vektor dari semuafungsi terukur pada ruang ukuran(E,μ){\displaystyle (E,\,\mu )}, dengan nilai diruang vektor topologis yanglengkap dankompak lokalV{\displaystyle V} atas suatulapangan topologis kompak lokalK{\displaystyle K},f:E→V.{\displaystyle f:E\to V.} Kita dapat mendefinisikan pemetaan integrasi abstrak yang memadankan setiap fungsif{\displaystyle f} masing-masing dengan sebuah elemen diV{\displaystyle V} atau simbol∞{\displaystyle \infty },f↦∫Efdμ,{\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}yang kompatibel dengan kombinasi linear.[14] Dalam kasus ini, kelinearan berlaku untuk subruang dari fungsi yang integralnya adalah suatu elemen dariV{\displaystyle V} (dengan kata lain, "bernilai hingga"). Kasus penting yang spesial muncul ketikaK{\displaystyle K} berupaR{\displaystyle \mathbb {R} },C{\displaystyle \mathbb {C} }, atau perluasan hingga dari lapangan bilanganp-adicQp{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}, danV{\displaystyle V} adalah suatu ruang vektor dimensi-hingga atasK{\displaystyle K}; dan ketikaK=C{\displaystyle K=\mathbb {C} } danV{\displaystyle V} adalahruang Hilbert kompleks.

Kelinearan, bersama dengan beberapa sifat kekontinuan dan normalisasi untuk suatu kelompok fungsi "sederhana", dapat digunakan untuk membuat definisi alternatif dari integral. Ini adalah pendekatan yang dilakukanintegral Daniell untuk kasus fungsi bernilai riil pada sebuah himpunanX{\displaystyle X}; dan diperumum olehNicolas Bourbaki ke fungsi-fungsi dengan nilai yang terletak di ruang vektor topologis kompak lokal. LihatHildebrandt 1953 untuk karakterisasi aksiomatik dari integral ini.

Pertidaksamaan

[sunting |sunting sumber]

Beberapa pertidaksamaan umum berlaku untukfungsi-fungsi terintegralkan-Riemann yang terdefinisi padaselangtertutup danterbatas[a,b]{\displaystyle [a,\,b]}, dan dapat diperluas ke bentuk-bentuk integral lainnya (seperti Lebesgue). Pertidaksamaan tersebut meliputi:

Di bagian ini,f{\displaystyle f} adalah fungsi bernilai-riil yang terintegralkan-Riemann. Integral∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}pada selang[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} terdefinisi jikaa<b.{\displaystyle a<b.} Hal ini mengartikan batas bawah dan atas dari penjumlahan nilai fungsif{\displaystyle f} dievaluasi pada partisia=x0≤x1≤⋯≤xn=b{\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n}=b} dengan nilaixi{\displaystyle x_{i}} yang semakin meningkat. Secara geometris, proses mengintegralkan dimaknai dilakukan "dari kiri ke kanan", mengevaluasi nilaif{\displaystyle f} pada subselang[xi,xi+1]{\displaystyle [x_{i},\,x_{i+1}]} dengan ujung kanan subselang tepat bersebelahan dengan ujung kiri subselang indeks selanjutnya. Nilaia{\displaystyle a} danb{\displaystyle b}, kedua ujung dari selang, disebut sebagai batas (atau limit) dari integrasi darif.{\displaystyle f.} Integral juga dapat didefinisikan untuka>b{\displaystyle a>b} sebagai berikut:[1]∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}Pada kasusa=b,{\displaystyle a=b,} ini mengartikan∫aaf(x)dx=0.{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}Konvensi pertama diperlukan dalam mengintegrasi pada sub-subselang dari[a,b].{\displaystyle [a,\,b].} Sedangkan konvensi kedua mengartikan integral pada selang degenerat, yakni yang sama saja dengan sebuah titik, akan bernilai nol. Lebih lanjut terkait konvensi pertama, salah alasan ini diperlukan adalah bahwa keintegralan darif{\displaystyle f} pada[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} mengartikanf{\displaystyle f} dapat diintegralkan pada sebarang subselang[c,d]{\displaystyle [c,\,d]} dari[a,b]{\displaystyle [a,\,b]}. Secara khusus, untuk sebarang elemenc∈[a,b]{\displaystyle c\in [a,\,b]} berlaku:[13]

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}

Dengan adanya konvensi pertama, hubungan

∫acf(x)dx=∫abf(x)dx−∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}

terdefinisi dengan baik untuk semua permutasi siklik daria,b, danc.

Teorema dasar kalkulus

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwaturunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan (invers): jika sebarangfungsi kontinu diintegralkan kemudian diturunkan, hasilnya akan sama dengan fungsi semula.[17] Satu akibat penting dari pernyataan tersebut, terkadang disebutteorema dasar kalkulus kedua, memungkinkan perhitungan integrasi dilakukan menggunakanantiturunan dari fungsi yang diintegrasi.[18]

Teorema pertama

[sunting |sunting sumber]

Misalkanf{\displaystyle f} adalah fungsi bernilai-riil yang terdefinisi padaselang tertutup[a,b].{\displaystyle [a,\,b].} Selanjutnya, misalkanF{\displaystyle F} adalah fungsi yang didefinisikan, untuk setiapx{\displaystyle x} di[a,b],{\displaystyle [a,\,b],} sebagai[19]F(x)=∫axf(t)dt.{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}Maka, fungsiF{\displaystyle F} kontinu pada[a,b],{\displaystyle [a,\,b],} terturunkan (terdiferensialkan) pada selang buka(a,b),{\displaystyle (a,\,b),} danF′(x)=f(x){\displaystyle F'(x)=f(x)}untuk sebarangx{\displaystyle x} di(a,b).{\displaystyle (a,\,b).}

Teorema kedua

[sunting |sunting sumber]

Misalkanf{\displaystyle f} adalah fungsi bernilai-riil yang terdefinisi pada selang tertutup[a,b],{\displaystyle [a,\,b],} danF{\displaystyle F} adalah fungsi kontinu pada[a,b]{\displaystyle [a,\,b]} yang merupakan suatu antiturunan darif{\displaystyle f} pada(a,b).{\displaystyle (a,\,b).} Artinya, untukx∈[a,b]{\displaystyle x\in [a,\,b]} berlakuF′(x)=f(x).{\displaystyle F'(x)=f(x).}Jikaf{\displaystyle f} terintegralkan pada[a,b],{\displaystyle [a,\,b],} maka∫abf(x)dx=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}

Perhitungan

[sunting |sunting sumber]

Teknik paling sederhana dalam menghitung integral tentu dari fungsi satu variabel bernilai riil, adalah dengan menggunakanteorema dasar kalkulus. Misalkanf(x){\displaystyle f(x)} adalah fungsi darix{\displaystyle x} yang akan diintegralkan pada suatu selang[a,b].{\displaystyle [a,\,b].} Maka selanjutnya antiturunan darif{\displaystyle f} perlu dicari; yakni, sebuah fungsiF{\displaystyle F} sedemikian sehinggaF′=f{\displaystyle F'=f} pada selang tersebut. Mengasumsikan integran dan integral tidak memilikisingularitas pada selang integrasi, maka menggunakan teorema dasar kalkulus,∫abf(x)dx=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}

Terkadang satu atau beberapa dari banyak teknik menyelesaikan integral perlu digunakan. Kebanyakan dari teknik ini menuliskan integral dalam bentuk lain yang diharapkan lebih mudah diselesaikan. Teknik-teknik tersebut meliputiintegrasi dengan substitusi,integrasi secara parsial,integrasi dengan subtitusi trigonometri, danintegrasi dengan pecahan parsial.

Ada beberapa metode alternatif untuk menghitung integral yang lebih rumit. Banyak integral darifungsi non-elementer dapat dijabarkan sebagaideret Taylor lalu diintegralkan suku-demi-suku. Terkadang, hasil deret takhingga yang didapatkan bisa dijumlahkan secara analitis. Metode konvolusi menggunakanfungsi-G Meijer juga dapat digunakan, mengasumsikan integran dapat dituliskan sebagai hasil perkalian fungsi-fungsi-G Meijer. Ada banyak cara lain yang tidak dikenal umum untuk menghitung integral tentu. Sebagai contoh,identitas Parseval dapat digunakan untuk mengubah integral atas daerah berbentuk persegi panjang menjadi penjumlahan takhingga. Terkadang pula, ada integral yang dapat diselesaikan menggunakan suatu trik; sebagai contoh kasus ini, lihatintegral Gauss.

Perhitungan integral yang menyangkut volume suatubenda putar umumnya dilakukan denganmetode cakram ataumetode kulit.

Cara-cara spefisik dari banyak teknik lainnya disusun dan dikumpulkan dalamtabel integral.

Artikel utama:Integrasi simbolik

Banyak masalah dalam matematika, fisika, dan teknik berurusan dengan integrasi yang memerlukan hasil berupa rumus eksplisit. Untuk membantu hal ini, tabel integral yang komprehensif telah disusun dan diterbitkan selama bertahun-tahun. Seiring penggunaan komputer yang makin marak, banyak tenaga profesional, pendidik, dan siswa beralih kesistem aljabar komputer yang secara khusus dirancang untuk melakukan tugas-tugas yang sulit dan/atau melelahkan, termasuk integrasi. Integrasi simbolik telah menjadi salah satu motivasi untuk mengembangkan sistem yang dapat melakukannya, sepertiMacsyma danMaple.

Kesulitan matematis utama dalam integrasi simbolik adalah bahwa dalam banyak kasus, fungsi yang relatif sederhana tidak memiliki integral yang dapat dituliskan (diekspresikan) dalambentuk tertutup yang hanya melibatkanfungsi-fungsi elementer, yang meliputifungsi rasional daneksponensial,logaritma,fungsi trigonometri, danfungsi invers trigonometri, serta operasi-operasi terkait perkalian dan komposisi.Algoritma Risch memberikan kriteria umum untuk menentukan apakah antiturunan dari suatu fungsi elementer bersifat elementer (dan cara untuk menghitung integral jika memang bersifat elementer). Namun, fungsi-fungsi dengan ekspresi antiturunan yang tertutup adalah kasus khusus: sistem aljabar komputer secara umum tidak mampu menemukan antiturunan dari fungsi elementer yang dibuat secara acak. Sisi positifnya, jika "blok pembangun" untuk antiturunan dapat ditetapkan di awal, sistem mungkin dapat menentukan apabila antiturunan dari suatu fungsi dapat dinyatakan menggunakan blok-blok pembangun tersebut, dan solusi simboliknya jika dapat ditemukan. Algoritam Risch yang diterapkan dalamMathematica,Maple, dan sistem-sistem lainnya melakukan hal tersebut untuk fungsi dan antiturunan yang dibangun dari fungsi-fungsi rasional, akar, logaritma, dan/atau eksponensial.

Beberapa integran khusus muncul cukup sering sehingga wajar untuk dipelajari lebih lanjut. Secara khusus, mungkin dapat berguna untuk memiliki antiturunan darifungsi-fungsi spesial (seperti fungsi-fungsiLegendre,hipergeometrik,gamma, dll.). Memperluas algoritma Risch untuk mencakup fungsi-fungsi tersebut dimungkinkan walau kesulitannya yang menantang; hal ini sedang menjadi subjek penelitian yang aktif.

Cara lain yang baru dikembangkan belakangan ini adalah menggunakanfungsi-fungsi hingga-D (D-finite functions), yang merupakan solusi daripersamaan diferensial linear dengan koefisien-koefisien polinomial. Sebagian besar dari fungsi-fungsi elementer dan spesial merupakan hingga-D, dan integral dari fungsi hingga-D juga merupakan fungsi hingga-D. Hal ini memberikan suatu algoritma untuk menyatakan antiturunan dari fungsi hingga-D sebagai solusi daripersamaan diferensial.

Sistem integrasi berbasis-aturan juga dapat membantu masalah integrasi. Rubi, sistem aljabar komputer menggunakan daftar pola yang mencocokan integral dengan lebih dari 6600 aturan integrasi simbol untuk banyak jenis integran.[20]

Artikel utama:Integrasi numerik
Beberapa metode kuadratur numerik: metode persegi, metode jajargenjang, metode Romberg, dan kuadratur Gauss.

Nilai dari integral tentu dapatdihampiri menggunakan beberapa metodeintegrasi numerik.Metode persegi panjang melakukan ini dengan membagi daerah dibawah fungsi menjadi suatu barisan persegi panjang yang bersesuian dengan nilai-nilai dari fungsi, lalu mengalikannya dengan lebar langkah (step width) dan menjumlahkannya untuk mendapatkan hasilnya. Nilai hampiran yang lebih baik adalah dengan menggunakanaturan trapesium, yang mengganti persegi panjang dengan trapesium.[21] Ide yang mendasar aturan trapesium, bangun yang lebih mirip dengan grafik akan menghasilkan taksiran integral yang lebih baik, dapat dikembangkan lebih lanjut:aturan Simpson menghampiri integran dengan potongan-potongan fungsi kuadratik.[22]

Jumlah Riemann, aturan trapesium, dan aturan Simpson adalah contoh dari kelompok aturan kuadratur yang disebutrumus Newton–Cotes. Rumus Newton–Cotes derajatn{\displaystyle n} menghampiri kurva fungsi pada setiap subselang dengan sebuahpolinomial derajatn.{\displaystyle n.} Polinomial tersebut dipilih sedemikian sehingga dapat menginterpolasi nilai-nilai fungsi pada selang integrasi.[23] Polinomial dengan derajat lebih tinggi dapat menghasilkan hampiran yang lebih akurat, tetapi juga memerlukan perhitungan fungsi yang lebih banyak, dan dapat mengalami ketakcermatan (inaccuracy) numerik akibatfenomena Runge. Salah satu solusi dari masalah tersebut adalahkuadratur Clenshaw–Curtis, yang menghampiri integran dengan menjabarkannya dalam suku-suku berupapolinomial Chebyshev.

Metode Romberg membagi lebar langkah menjadi setengahnya secara iteratif, pada setiap tahap menghasilkan hampiran trapesiumT(h0),{\displaystyle T(h_{0}),}T(h1),{\displaystyle T(h_{1}),} dan seterusnya; denganhk+1=12hk.{\displaystyle h_{k+1}={\tfrac {1}{2}}h_{k}.} Untuk setiap lebar langkah yang baru, hanya setengah dari nilai-nilai fungsi integran yang perlu dicari; sisanya menggunakan dari hasil perhitungan lebar langkah sebelumnya. Kemudian metode inimenginterpolasi sebuah polinomial berdasarkan hampiran-hampiran yang didapatkan, lalu mengekstrapolasi keT(0).{\displaystyle T(0).}Kuadratur Gauss mengevaluasi integran di akar-akar dari suatu himpunanpolinomial ortogonal.[24] Metode Gaussn{\displaystyle n}-titik tepat (exact) untuk polinomial sampai derajat2n−1.{\displaystyle 2n-1.}

Perhitungan integral dimensi tinggi (sebagai contoh, perhitungan volume) menggunakan alternatif lain sepertiintegrasi Monte Carlo.[25]

Luas dari sebarang bangun dua dimensi dapat ditentukan menggunakan instrumen yang disebutplanimeter. Volume dari objek yang tidak beraturan dapat diukur dengan teliti menggunakan banyaknya air yang dipindahkan ketika objek dicelupkan.

Penerapan

[sunting |sunting sumber]

Integral sering digunakan dalam banyak hal. Sebagai contoh, dalamteori peluang, integral digunakan untuk menentukan peluang darivariabel acak berada di suatu rentang tertentu.[26] Lebih lanjut, integral dari keseluruhanfungsi kepadatan peluang harus bernilai 1, yang memberi cara mengecek apakah fungsi tanpa nilai negatif dapat menjadi fungsi kepadatan atau tidak.[27]

Dalam fisika, pada bidang sepertikinematika, integral digunakan untuk mencari besaran sepertiperpindahan,waktu, dankecepatan. Sebagai contoh, dalamgerak lurus, total perpindahan dari objek pada selang waktu[a,b]{\displaystyle [a,b]} dapat dihitung denganx(b)−x(a)=∫abv(t)dt,{\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}denganv(t){\displaystyle v(t)} menyatakan kecepatan sebagai fungsi terhadap waktu.[28] BesarusahaF(x){\displaystyle F(x)} yang digunakan (ditulis sebagai fungsi terhadap posisi) dari posisiA{\displaystyle A} ke posisi tujuanB{\displaystyle B} adalah:[29]WA→B=∫ABF(x)dx.{\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}Integral juga digunakan dalamtermodinamika, denganintegrasi termodinamika dipakai untuk menghitung selisih energi bebas diantara dua keadaan.

Perumuman

[sunting |sunting sumber]

Integral takwajar

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Integral takwajar
Integral takwajar∫0∞dx(x+1)x=π{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi } memiliki selang yang tak-terbatas untuk domain dan nilai dari fungsi.

Integral Riemann "wajar" mengasumsikan integran terdefinisi dan bernilai hingga pada selang tertutup dan terbatas. Integral disebuttakwajar jika satu atau lebih dari kondisi tersebut tidak terpenuhi. Dalam beberapa kasus, integral seperti itu dapat didefinisikan dengan menggunakanlimit daribarisan integral Riemann wajar dengan selang yang semakin besar.

Jika selang dari integrasi tidak terbatas, sebagai contoh batas atasnya, maka integral takwajar adalah limit integral ketika batas atas menuju tak hingga:[30]

∫a∞f(x)dx=limb→∞∫abf(x)dx.{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

Jika integran hanya terdefinisi atau terhingga pada selang setengah-buka, misalnya(a,b],{\displaystyle (a,\,b],} maka limit (mungkin) dapat menghasilkan solusi yang terhingga:[31]

∫abf(x)dx=limε→0∫a+εbf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx}

Dengan kata lain, integral takwajar adalah limit dari integral wajar dengan salah satu batas integrasi menuju suatu nilai riil tertentu, atau∞,{\displaystyle \infty ,} atau−∞.{\displaystyle -\infty .} Dalam kasus-kasus yang lebih rumit, limit diperlukan pada kedua batas integrasi, atau pada titik-titik interior.

Integral lipat

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Integral lipat
Integral lipat dua yang menghitung volume dibawah permukaanz=f(x,y){\displaystyle z=f(x,y)}

Sama seperti integral tentu dari fungsi positif satu-variabel merepresentasikan luas daerah di antara grafik fungsi dan sumbu-x,integral lipat dari fungsi positif dua-variabel merepresentasikan volume daerah di antara permukaan fungsi dan bidang dari domainya.[32] Sebagai contoh, untuk sebuah fungsif{\displaystyle f} bernilai riil dengan dua variabel,x{\displaystyle x} dany,{\displaystyle y,} integral fungsi tersebut atas persegi panjangR{\displaystyle R} yang dihasilkan dariperkalian Kartesius kedua selang integrasinya,R=[a,b]×[c,d],{\displaystyle R=[a,b]\times [c,d],} dapat dituliskan sebagai∫Rf(x,y)dA{\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}

dengan diferensialdA{\displaystyle dA} menandakan integrasi dilakukan terhadap luas. Integral lipat-dua ini dapat didefinisikan menggunakanjumlah Riemann, dan merepresentasikan volume (bertanda) dibawah grafikz=f(x,y){\displaystyle z=f(x,\,y)} atas domainR.{\displaystyle R.}[33] Dalam kondisi yang cocok (misal, jikaf{\displaystyle f}kontinu),teorema Fubini menyatakan bahwa integral ini dapat dituliskan sebagai integral berulang[34]∫ab[∫cdf(x,y)dy]dx.{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}Bentuk tersebut menyederhanakan masalah menghitung integral lipat-dua menjadi menghitung integral satu-dimensi (sebanyak dua kali). Oleh karena itu, notasi lain dari integrasi atasR{\displaystyle R} menggunakan simbol integral ganda:[33]∬Rf(x,y)dA.{\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}Integrasi atas domain yang lebih umum dapat dilakukan. Integral dari sebuah fungsif,{\displaystyle f,} menurut terhadap volume, atas daerah dimensi-nD⊆Rn{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} dapat dituliskan:∫Df(x)dnx =∫DfdV.{\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}

Integral garis dan integral permukaan

[sunting |sunting sumber]
Integral garis menjumlahkan elemen-elemen (panah berwarna hijau) sepanjang kurva (berwarna biru).

Konsep dari integral dapat diperluas ke domain integrasi yang lebih umum, seperti pada kurva yang berkelok dan permukaan di ruang dimensi tinggi. Integral semacam itu masing-masing dikenal sebagai integral garis dan integral permukaan. Keduanya memiliki penerapan yang penting dalam fisika, contohnya ketika berurusan denganmedan vektor.

Integral garis adalah integral dengan fungsi integran dievaluasi sepanjang sebuahkurva.[35] Ada banyak jenis integral garis; pada kasus kurva tertutup, integral ini juga disebut denganintegral kontur.

Fungsi yang diintegrasi dapat berupamedan skalar ataumedan vektor. Nilai dari integral garis adalah jumlah dari nilai-nilai medan di setiap titik pada kurva, dikalikan bobot yang didapatkan dari fungsi pada kurva (umumnyapanjang busur, sedangkan untuk medan vektor:perkalian skalar medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva).[36] Pembobotan ini membedakan integral garis dari integral-integral sederhana yang tedefinisi pada selang. Banyak rumus dalam fisika memiliki bentuk kontinu yang alami ketika dinyatakan sebagai integral garis. Sebagai contoh,usaha setara dengan perkaliangayaF{\displaystyle \mathbf {F} } dengan besar perpindahans,{\displaystyle \mathbf {s} ,} yang dalam bentuk vektor dituliskan sebagai:[37]W=F⋅s.{\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}Untuk suatu objek yang bergerak sepanjang lintasanC{\displaystyle C} di dalam medan vektorF,{\displaystyle \mathbf {F} ,} misalnyamedan listrik ataumedan gravitasi, total usaha yang dikerjakn oleh medan pada objek didapatkan dengan menjumlahkan usaha diferensial ketika memindahkan objek daris{\displaystyle \mathbf {s} } kes+ds.{\displaystyle \mathbf {s} +d\mathbf {s} .} Hal ini memberikan integral garis[38]W=∫CF⋅ds.{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}

Definisi dari integral permukaan didasarkan pada proses memotong permukaan menjadi elemen-elemen permukaan yang lebih kecil.

Integral permukaan memperumumintegral lipat ke integrasi atas permukaan (yang mungkin berupa himpunan yang melengkung di suaturuang). Fungsi integran dapat berupamedan skalar ataumedan vektor. Nilai dari integral permukaan adalah hasil penjumlahan nilai-nilai medan pada semua titik di permukaan. Penjumlahan ini dapat dilakukan dengan memotong permukaan menjadi elemen-elemen permukaan, yang selanjutnya menghasilkan partisi untuk jumlah Riemann.[39]

Asurface integral generalizes double integrals to integration over asurface (which may be a curved set inspace); it can be thought of as thedouble integral analog of theline integral. The function to be integrated may be ascalar field or avector field. The value of the surface integral is the sum of the field at all points on the surface. This can be achieved by splitting the surface into surface elements, which provide the partitioning for Riemann sums.

Sebagai contoh dari penerapan integral permukaan, pertimbangkan sebuah medan vektorv{\displaystyle \mathbf {v} } pada permukaanS;{\displaystyle S;} maksudnya, untuk setiap titikp{\displaystyle p} diS,{\displaystyle S,}v(p){\displaystyle \mathbf {v} (p)} berupa vektor. Bayangkan suatufluida mengalir melaluiS,{\displaystyle S,} sedemikian sehinggav(p){\displaystyle \mathbf {v} (p)} menyatakan kecepatan fluida di titikp.{\displaystyle p.}Fluks didefinisikan sebagai banyaknya fluida yang mengalir melaluiS{\displaystyle S} per satuan waktu. Untuk menentukan nilai fluks, kita perlu menghitung hasilperkalian titikv{\displaystyle \mathbf {v} } denganvektor normal permukaanS{\displaystyle S} pada setiap titik, yang selanjutnya menghasilkan bentuk integral atas permukaan:[40]∫Sv⋅dS.{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}Fluks dalam contoh di atas dapat berupa fluida fisik seperti air dan udara, tetapi juga bisa berupa fluks elektrik atau magnetik. Integral permukaan banyak diterapkan dalam fisika, khususnyateori klasikelektromagnetik.

Sejarah

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Sejarah kalkulus
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dariIntegral di en.wikipedia.org.Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong padaProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)

Integrasi pra-kalkulus

[sunting |sunting sumber]

Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalahmetode penghabis dariYunani kuno astronomEudoksos (ca. 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan olehArchimedes pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitungluas lingkaran,luas permukaan danvolumebola, luaselips, luas di bawahparabola, volume segmen revolusiparaboloid, volume segmenhiperboloid revolusi, dan luasspiral.[41]

Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M olehLiu Hui, yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak TionghoaZu Chongzhi danZu Geng untuk mencari volume bola (Shea 2007;Katz 2004, hlm. 125–126).

DiTimur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagaiAlhazen (ca 965 AD) menurunkan rumus untuk jumlahpangkat empat s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral danparaboloid.[42]

Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karyaCavalieri denganmetode Indivisibles miliknya, dan karyaFermat, mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral darixn dengan derajat nilain = 9 dalamrumus kuadrat Cavalieri. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 olehBarrow danTorricelli, yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dariteorema fundamental kalkulus.John Wallis menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilaix menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.

Leibniz dan Newton

[sunting |sunting sumber]

Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dariteorema dasar kalkulus olehLeibniz danNewton. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modernkalkulus, yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.

Formalisasi

[sunting |sunting sumber]

Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajatrigor.Bishop Berkeley secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "hantu dari jumlah yang telah pergi". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembanganlimit. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, olehRiemann. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteksanalisis Fourier yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, danLebesgue merumuskandefinisi integral yang berbeda, didirikan diteori ukuran (subbidang darianalisis nyata). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagaibagian standar dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistembilangan hiperreal.

Notasi sejarah

[sunting |sunting sumber]

Notasi untuk integral tak tentu diperkenalkan olehGottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675 (Burton 1988, p. 359;Leibniz 1899, p. 154). Dia mengadaptasisimbol integral,∫, dari lambang berbentukſ, singkatan darisumma (ditulis sebagaiſumma; dariBahasa Latin "sum" atau "total"). Notasi modern untuk integral pasti, dengan batas di atas dan di bawah integral, pertama kali digunakan olehJoseph FourierMémoires dari Akademi Prancis sekitar tahun 1819–2020, dicetak ulang dalam bukunya tahun 1822 (Cajori 1929, pp. 249–250;Fourier 1822, §231).

Isaac Newton menggunakan batang vertikal kecil di atas variabel untuk menunjukkan integrasi, atau menempatkan variabel di dalam kotak. Bilah vertikal mudah dikacaukan pada nilai.x ataux′, yang digunakan untuk menunjukkan diferensiasi, dan notasi kotak sulit untuk direproduksi oleh printer, jadi notasi tersebut tidak digunakan secara luas.

Penggunaan pertama dari istilah tersebut

[sunting |sunting sumber]

Istilah ini pertama kali dicetak dalambahasa Latin pada tahun 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur" (Bernoulli, Opera 1744, Vol. 1, hal. 423).[43]

Istilah ini digunakan dalam paragraf yang mudah dipahami dariGuillaume de l'Hôpital pada tahun 1696:[44]

Dans tout cela il n'y a encore que la premiere partie du calcul de M. Leibniz, laquelle consiste à descendre des grandeurs entiéres à leur différences infiniment petites, et à comparer entr'eux ces infiniment petits de quelque genre qu'ils soient: c'est ce qu'on appel calcul différentiel. Pour l'autre partie, qu'on appelle Calcul intégral, et qui consiste à remonter de ces infiniment petits aux grandeurs ou aux touts dont ils sont les différences, c'est-à-dire à en trouver les sommes, j'avois aussi dessein de le donner. Mais M. Leibniz m'ayant écrit qu'il y travailloit dans un Traité qu'il intitule De Scientia infiniti, je n'ay eu garde de prive le public d'un si bel Ouvrage qui doit renfermer tout ce qu'il y a de plus curieux pour la Méthode inverse des Tangentes...

"Dalam semua itu, hanya ada bagian pertama dari kalkulus M. Leibniz, yang terdiri dari turun dari besaran integral ke perbedaan kecil tak terhingga, dan dalam membandingkan antara satu sama lain yang sangat kecil tak terhingga dari jenis yang mungkin: inilah yang disebutkalkulus diferensial. Adapun bagian lain, yang disebut kalkulus integral, dan itu terdiri dari kembali ke atas dari yang sangat kecil ke kuantitas, atau bagian penuh dari perbedaan mereka, yaitu untuk menemukan jumlah mereka, saya juga berniat untuk mengungkapkannya. Tetapi mengingat M. Leibniz menulis kepada saya bahwa dia sedang mengerjakannya di sebuah buku yang dia sebut De Scientia infiniti, Saya berhati-hati untuk tidak menghilangkan publik dari karya yang begitu indah yang karena mengandung semua yang paling aneh dalam metode kebalikan darigaris singgung..."

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Catatan kaki

[sunting |sunting sumber]
  1. ↑Kalkulus integral adalah salah satu cabang matematika yang terkenal sehingga memiliki banyak sumber bacaan dan referensi. LihatApostol 1967 danAnton, Bivens& Davis 2016, sebagai contoh.
  2. ↑Apostol 1967, hlm. 69.

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. 12Apostol 1967, hlm. 74.
  2. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 259.
  3. ↑(Inggris)Weisstein, Eric W."Riemann Sum".MathWorld.
  4. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 286−287.
  5. ↑Krantz 1991, hlm. 173.
  6. ↑Rudin 1987, hlm. 5.
  7. ↑Siegmund-Schultze 2008, hlm. 796.
  8. ↑Folland 1999, hlm. 57–58.
  9. ↑Bourbaki 2004, hlm. IV.43.
  10. ↑Lieb& Loss 2001, hlm. 14.
  11. ↑Folland 1999, hlm. 53.
  12. 12Rudin 1987, hlm. 25.
  13. 12Apostol 1967, hlm. 80.
  14. ↑Rudin 1987, hlm. 54.
  15. ↑Apostol 1967, hlm. 81.
  16. 12Rudin 1987, hlm. 63.
  17. ↑Apostol 1967, hlm. 202.
  18. ↑Apostol 1967, hlm. 205.
  19. ↑Montesinos, Zizler& Zizler 2015, hlm. 355.
  20. ↑Rich, Scheibe& Abbasi 2018.
  21. ↑Dahlquist& Björck 2008, hlm. 519–520.
  22. ↑Dahlquist& Björck 2008, hlm. 522–524.
  23. ↑Kahaner, Moler& Nash 1989, hlm. 144.
  24. ↑Kahaner, Moler& Nash 1989, hlm. 147.
  25. ↑Kahaner, Moler& Nash 1989, hlm. 139–140.
  26. ↑Feller 1966, hlm. 1.
  27. ↑Feller 1966, hlm. 3.
  28. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 306.
  29. ↑Apostol 1967, hlm. 116.
  30. ↑Apostol 1967, hlm. 416.
  31. ↑Apostol 1967, hlm. 418.
  32. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 895.
  33. 12Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 896.
  34. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 897.
  35. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 980.
  36. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 981.
  37. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 697.
  38. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 991.
  39. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 1014.
  40. ↑Anton, Bivens& Davis 2016, hlm. 1024.
  41. ↑Heath, Thomas Little (1897).Karya Archimedes. Inggris: Cambridge University Publications.
  42. ↑Katz, V.J. 1995. "Ide Kalkulus dalam Islam dan India."Majalah Matematika (Asosiasi Matematika Amerika), 68(3):163–174.
  43. ↑Roero, C.S. (2005), "Gottfried Wilhelm Leibniz, tiga makalah pertama tentang kalkulus (1684, 1686, 1693)",Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 (dalam bahasa Inggris), Elsevier, hlm. 46–58,doi:10.1016/b978-044450871-3/50085-1,ISBN 978-0-444-50871-3
  44. ↑L'Hospital, Guillaume-François-Antoine de (1661-1704) Auteur du texte (1696).Analyse des infiniment petits, pour l'intelligence des lignes courbes (dalam bahasa Bahasa Inggris). Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link) Pemeliharaan CS1: Nama numerik: authors list (link)

Bacaan lebih lanjut

[sunting |sunting sumber]
  • Kurnianingsih, Sri (2007).Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga.ISBN 979-734-504-1.(Indonesia)
  • Kurnianingsih, Sri (2007).Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga.ISBN 979-734-567-X.(Indonesia)

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]
Nasional
Lain-lain
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral&oldid=28589441"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp