Dalamaljabar,identitas Brahmagupta–Fibonacci[1][2] mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalahketertutupan di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan
Sebagai contoh,
Identitas ini dikenal juga sebagaiidentitas Diophantus,[3][4] yang pertama kali dibuktikan olehDiophantus dari Alexandria. Ini adalah kasus khusus dariidentitas empat kuadrat Euler dan jugaidentitas Lagrange.
Brahmagupta membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum (identitas Brahmagupta), ekuivalen dengan
Ini menunjukkan bahwa untuk sebarang konstan, himpunan dari semua bilangan berbentuk adalah ketertutupan di bawah perkalian.
Identitas ini berlaku untuk semuabilangan bulat, serta semuabilangan rasional; lebih umumnya, bilangan tersebut adalah benar dalam sebaranggelanggang komutatif. Keempat bentuk identitas tersebut dapat diverifikasikan denganperluasan pada setiap sisi persamaan. Selain itu, persamaan (2) dapat diperoleh dari persamaan (1), atau persamaan (1) dari persamaan (2), dengan mengubah menjadi, dan begitpula untuk persamaan (3) dan persamaan (4).
Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karyaDiophantus,Arithmetica (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali olehBrahmagupta, seorangmatematikawan danastronom berkebangsaan India, yang memperumumkannya keidentitas Brahmagupta, dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini,persamaan Pell. Karya miliknya,Brahmasphutasiddhanta, diterjemahkan dari bahasaSansekerta ke bahasaArab olehMohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan keLatin pada tahun 1126.[5] Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 olehFibonacci dalam bukunya yang berjudulThe Book of Squares, dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.
Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip denganidentitas empat kuadrat Euler yang terkait dengankuaternion, danidentitas delapan kuadrat Degen yang diperoleh darioktonion yang memiliki hubungan denganperiodisitas Bott. Adapulaidentitas enam belas kuadrat Pfister, meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.
Identitas ini sangat terkait denganklasifikasi Hurwitz darialjabar komposisi.
Jika,,, dan adalahbilangan real, maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak daribilangan kompleks:
Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut: dengan memperluas sisi kanan dan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka sifat perkalian ekuivalen dengan
Berdasarkan definisi nilai absolut, persamaan ini menjadi ekuivalen dengan
Jika variabel,,, dan adalahbilangan rasional, maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwanorma dalamlapangan adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan
dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.
Dalam konteks aslinya, Brahmagupta mengaplikasikan penemuan identitas ini pada solusipersamaan Pell. Ketika menggunakan identitas dalam bentuk yang lebih umum
Brahmagupta mampu "menyusun" rangkap tiga dan untuk solusi dari, sehingga menghasilkan rangkap tiga baru
Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang sering kali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengan. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan olehBhaskara II pada 1150, yaitumetode chakravala (siklus) yang juga didasarkan pada identitas ini.[6]
Ketika digunakan bersama dengan salah satu dariteorema Fermat, identitas Brahmagupta–Fibonacci membuktikan bahwa hasil kali dari bilangan kuadrat dan sebarang bilangan prima dalam bentuk sama dengan jumlah dari dua bilangan kuadrat.