Movatterモバイル変換


[0]ホーム

URL:


Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Identitas Brahmagupta–Fibonacci

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalamaljabar,identitas Brahmagupta–Fibonacci[1][2] mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalahketertutupan di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan

(a2+b2)(c2+d2)=(acbd)2+(ad+bc)2(1)=(ac+bd)2+(adbc)2.(2){\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}

Sebagai contoh,

(12+42)(22+72)=262+152=302+12.{\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}

Identitas ini dikenal juga sebagaiidentitas Diophantus,[3][4] yang pertama kali dibuktikan olehDiophantus dari Alexandria. Ini adalah kasus khusus dariidentitas empat kuadrat Euler dan jugaidentitas Lagrange.

Brahmagupta membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum (identitas Brahmagupta), ekuivalen dengan

(a2+nb2)(c2+nd2)=(acnbd)2+n(ad+bc)2(3)=(ac+nbd)2+n(adbc)2.(4){\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}

Ini menunjukkan bahwa untuk sebarang konstanA{\displaystyle A}, himpunan dari semua bilangan berbentukx2+Ay2{\displaystyle x^{2}+Ay^{2}} adalah ketertutupan di bawah perkalian.

Identitas ini berlaku untuk semuabilangan bulat, serta semuabilangan rasional; lebih umumnya, bilangan tersebut adalah benar dalam sebaranggelanggang komutatif. Keempat bentuk identitas tersebut dapat diverifikasikan denganperluasan pada setiap sisi persamaan. Selain itu, persamaan (2) dapat diperoleh dari persamaan (1), atau persamaan (1) dari persamaan (2), dengan mengubahb{\displaystyle b} menjadib{\displaystyle -b}, dan begitpula untuk persamaan (3) dan persamaan (4).

Sejarah

[sunting |sunting sumber]

Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karyaDiophantus,Arithmetica (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali olehBrahmagupta, seorangmatematikawan danastronom berkebangsaan India, yang memperumumkannya keidentitas Brahmagupta, dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini,persamaan Pell. Karya miliknya,Brahmasphutasiddhanta, diterjemahkan dari bahasaSansekerta ke bahasaArab olehMohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan keLatin pada tahun 1126.[5] Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 olehFibonacci dalam bukunya yang berjudulThe Book of Squares, dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.

Identitas terkait

[sunting |sunting sumber]

Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip denganidentitas empat kuadrat Euler yang terkait dengankuaternion, danidentitas delapan kuadrat Degen yang diperoleh darioktonion yang memiliki hubungan denganperiodisitas Bott. Adapulaidentitas enam belas kuadrat Pfister, meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.

Identitas ini sangat terkait denganklasifikasi Hurwitz darialjabar komposisi.

Perkalian bilangan kompleks

[sunting |sunting sumber]

Jikaa{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c}, dand{\displaystyle d} adalahbilangan real, maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak daribilangan kompleks:

|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|.{\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}

Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut: dengan memperluas sisi kanan dan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka sifat perkalian ekuivalen dengan

|a+bi|2|c+di|2=|(acbd)+i(ad+bc)|2,{\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}

Berdasarkan definisi nilai absolut, persamaan ini menjadi ekuivalen dengan

(a2+b2)(c2+d2)=(acbd)2+(ad+bc)2.{\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}

Jika variabela{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c}, dand{\displaystyle d} adalahbilangan rasional, maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwanorma dalamlapanganQ(i){\displaystyle \mathbb {Q} (i)} adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan

N(a+bi)=a2+b2,{\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}

dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.

Aplikasi pada persamaan Pell

[sunting |sunting sumber]

Dalam konteks aslinya, Brahmagupta mengaplikasikan penemuan identitas ini pada solusipersamaan Pellx2Ay2=1{\displaystyle x^{2}-Ay^{2}=1}. Ketika menggunakan identitas dalam bentuk yang lebih umum

(x12Ay12)(x22Ay22)=(x1x2+Ay1y2)2A(x1y2+x2y1)2,{\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}

Brahmagupta mampu "menyusun" rangkap tiga(x1,y1,k1){\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})} dan(x2,y2,k2){\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})} untuk solusi darix2Ay2=k{\displaystyle x^{2}-Ay^{2}=k}, sehingga menghasilkan rangkap tiga baru

(x1x2+Ay1y2,x1y2+x2y1,k1k2).{\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}

Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untukx2Ay2=1{\displaystyle x^{2}-Ay^{2}=1} yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang sering kali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengank1k2{\displaystyle k_{1}k_{2}}. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan olehBhaskara II pada 1150, yaitumetode chakravala (siklus) yang juga didasarkan pada identitas ini.[6]

Menulis bilangan bulat sebagai jumlah dari dua kuadrat

[sunting |sunting sumber]

Ketika digunakan bersama dengan salah satu dariteorema Fermat, identitas Brahmagupta–Fibonacci membuktikan bahwa hasil kali dari bilangan kuadrat dan sebarang bilangan prima dalam bentuk4n+1{\displaystyle 4n+1} sama dengan jumlah dari dua bilangan kuadrat.

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Catatan

[sunting |sunting sumber]
  1. ^"Brahmagupta-Fibonacci Identity".
  2. ^Marc Chamberland:Single Digits: In Praise of Small Numbers. Pers Universitas Princeton, 2015,ISBN9781400865697, hal. 60
  3. ^Stillwell 2002, hlm. 76
  4. ^Daniel Shanks, Solved and unsolved problems in number theory, hlm. 209, American Mathematical Society, American Mathematical Society, Edisi ke-4 (1993).
  5. ^Joseph 2000, hlm. 306
  6. ^Stillwell 2002, hlm. 72–76

Referensi

[sunting |sunting sumber]

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Identitas_Brahmagupta–Fibonacci&oldid=27515936"
Kategori:
Kategori tersembunyi:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp