Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Homomorfisme

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalamaljabar abstrak,homomorfisme ataukehomomorfan (bahasa Inggris:Homomorphism) adalah struktur peta yang menghubungkan duastruktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari ranah homomorfisme ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

Definisi

[sunting |sunting sumber]

Homomorfisme adalah peta antara duastruktur aljabar dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankanoperasi dari struktur. Artinya adalahpetaf:A→B{\displaystyle f:A\to B} antara duahimpunanA{\displaystyle A},B{\displaystyle B} dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika⋅{\displaystyle \cdot } adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadioperasi biner), setelah itu

f(x⋅y)=f(x)⋅f(y){\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}

untuk setiap pasanganx{\displaystyle x},y{\displaystyle y} elemenA{\displaystyle A}.[note 1] Sering dikatakan bahwaf{\displaystyle f} mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

Secara formal, petaf:A→B{\displaystyle f:A\to B} mempertahankan operasiμ{\displaystyle \mu } dariaritik, ditentukan padaA{\displaystyle A} danB{\displaystyle B} jika

f(μA(a1,…,ak))=μB(f(a1),…,f(ak)),{\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}

untuk elemena1,...,ak{\displaystyle a_{1},...,a_{k}} padaA{\displaystyle A}.

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputiOperasi 0-ari, yaitu konstanta. Secara khusus, ketikaelemen identitas diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya,bilangan real membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian.Fungsi eksponensial

x↦ex{\displaystyle x\mapsto e^{x}}

memadai

ex+y=exey,{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}

dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karenafungsi invers,logaritma natural, memenuhi

ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y),{\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}

dan juga grup homomorfisme.

Contoh

[sunting |sunting sumber]
Monoid homomorfismef{\displaystyle f} dari monoid(N, +, 0) ke monoid(N, ×, 1), didefinisikan darif(x)=2x{\displaystyle f(x)=2^{x}}. Ini adalahinjeksi, tetapi bukankonjektur.

Bilangan real adalahgelanggang, yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2matriks juga merupakan cincin, terhadappenambahan matriks danperkalian matriks. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:

f(r)=(r00r){\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}

di manar adalah bilangan real, makaf{\displaystyle f} adalah homomorfisme gelanggang, karenaf{\displaystyle f} mempertahankan kedua penjumlahan:

f(r+s)=(r+s00r+s)=(r00r)+(s00s)=f(r)+f(s){\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}

dan perkalian:

f(rs)=(rs00rs)=(r00r)(s00s)=f(r)f(s).{\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}

Untuk contoh lain, bukan-nolbilangan kompleks membentukkelompok terhadap operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memilikiinvers perkalian, yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsif{\displaystyle f} dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan

f(z)=|z|{\displaystyle f(z)=|z|}.

Artinya,f{\displaystyle f} adalahnilai mutlak (atau modulus) dari bilangan kompleksz{\displaystyle z}. Makaf{\displaystyle f} adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:

f(z1z2)=|z1z2|=|z1||z2|=f(z1)f(z2){\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2})}.

Perhatikan bahwaf tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:

|z1+z2|≠|z1|+|z2|{\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|}.

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfismemonoidf{\displaystyle f} dari monoid(N,+,0){\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)} ke monoid(N,×,1){\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}. Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi olehf{\displaystyle f} berjumlahf(x+y)=f(x)×f(y){\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)} danf(0)=1{\displaystyle f(0)=1}.

Sebuahkomposisi aljabarA{\displaystyle A} di atas bidangF{\displaystyle F} memilikibentuk kuadrat, yang disebutnorma,N:A→F{\displaystyle N:A\to F}, yang merupakan homomorfisme grup darigrup perkalian dariA{\displaystyle A} ke grup perkalian dariF{\displaystyle F}.

Homomorfisme khusus

[sunting |sunting sumber]

Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untukmorfisme umum.

Isomorfisme

[sunting |sunting sumber]

Sebuahisomorfisme antarastruktur aljabar dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfismebijektif.[1]:134[2]:28

Dalam konteks yang lebih umum dariteori kategori, isomorfisme didefinisikan sebagaimorfisme, yang memilikiinvers yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika

f:A→B{\displaystyle f:A\to B}

adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme

g:B→A{\displaystyle g:B\to A}

such that

f∘g=IdB{\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}} dang∘f=IdA{\displaystyle \qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}}.

JikaA{\displaystyle A} danB{\displaystyle B} memiliki himpunan yang mendasari, danf:A→B{\displaystyle f:A\to B} memiliki inversg{\displaystyle g}, makaf{\displaystyle f} adalah bijektif. Faktanya,f{\displaystyle f} adalahinjeksi, sepertif(x)=f(y){\displaystyle f(x)=f(y)} menyiratkanx=g(f(x))=g(f(y))=y{\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}, danf{\displaystyle f} adalahdugaan, karena, untukx{\displaystyle x} mana pun diB{\displaystyle B}, salah satunya memilikix=f(g(x)){\displaystyle x=f(g(x))}, danx{\displaystyle x} adalah gambar dari elemenA{\displaystyle A}.

Sebaliknya jikaf:A→B{\displaystyle f:A\to B} adalah homomorfisme bijektif antara struktur aljabar, misalkang:B→A{\displaystyle g:B\to A} jadilah peta sedemikian rupa sehinggag(y){\displaystyle g(y)} adalah elemen unikx{\displaystyle x} dariA{\displaystyle A} sedemikian rupa sehinggaf(x)=y{\displaystyle f(x)=y}. Salah satunya memilikif∘g=IdB{\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}} dang∘f=IdA{\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}}, dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwag{\displaystyle g} adalah homomorfisme. Jika∗{\displaystyle *} adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasanganx{\displaystyle x},y{\displaystyle y} elemenB{\displaystyle B}, salah satunya memiliki

g(x∗By)=g(f(g(x))∗Bf(g(y)))=g(f(g(x)∗Ag(y)))=g(x)∗Ag(y),{\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}

dang{\displaystyle g} karenanya serasi dengan∗.{\displaystyle *.} Karena buktinya serupa untukariti mana pun, ini menunjukkan bahwag{\displaystyle g} adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur takaljabar. Misalnya, untukruang topologi, morfisme adalahpeta kontinu, dan kebalikan dari peta kontinu bijektif tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebuthomeomorphism ataupeta bikontinu, dengan demikian merupakan peta kontinu bijektif, yang kebalikannya juga kontinu.

Keendomorfan

[sunting |sunting sumber]

Sebuahkeendomorfan adalah homomorfisme yangranah sama dengankodomain, atau, lebih umum lagi,morfisme yang sumbernya sama dengan target.[1]:135

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek darikategori membentukmonoid terhadap komposisi.

Keendomorfan dariruang vektor ataumodul membentukgelanggang. Dalam kasus ruang vektor ataumodul gratis berhinggadimensi, pilihanbasis menginduksikeisomorfan gelanggang antara gelanggang keendomorfan dan gelanggangmatriks persegi dengan dimensi yang sama.

|}

Kernel

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Kernel (aljabar)

Homomorfismef:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} mendefinisikan sebuahhubungan kesetaraan∼{\displaystyle \sim } padaX{\displaystyle X} padaa∼b{\displaystyle a\sim b} jika dan hanya jikaf(a)=f(b){\displaystyle f(a)=f(b)}. Relasi∼{\displaystyle \sim } disebutkernel darif{\displaystyle f}. Ini adalahhubungan kongruensi diX{\displaystyle X}.Himpunan hasilX/∼{\displaystyle X/{\sim }} kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama sepertiX{\displaystyle X}, secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh[x]∗[y]=[x∗y]{\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}, untuk setiap operasi∗{\displaystyle \ast } dariX{\displaystyle X}. Dalam hal ini, gambarX{\displaystyle X} diY{\displaystyle Y} terhadap homomorfismef{\displaystyle f} harusisomorfik menjadiX/∼{\displaystyle X/\!\sim }; fakta ini adalah salah satuteorema isomorfisme.

Ketika struktur aljabar adalahgrup untuk beberapa operasi,hubungan kesetaraanK{\displaystyle K} darielemen identitas operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan denganX/K{\displaystyle X/K} (biasanya dibaca sebagai "X{\displaystyle X}modK{\displaystyle K}"). Juga dalam kasus ini, ini adalahK{\displaystyle K}, bukan∼{\displaystyle \sim }, yang disebutkernel darif{\displaystyle f}. Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasusgrup abelian,ruang vektor danmodul, tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, sepertisubgrup normal untuk kernelhomomorfisme grup danideal untuk kernelhomomorfisme gelanggang (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalahideal dua sisi).

Struktur relasional

[sunting |sunting sumber]

Dalamteori model, pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. MisalkanL{\displaystyle L} menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan strukturA{\displaystyle A},B{\displaystyle B} menjadi dua struktur-L{\displaystyle L}. Kemudianhomomorfisme dariA{\displaystyle A} keB{\displaystyle B} adalah pemetaanh{\displaystyle h} dari ranahA{\displaystyle A} ke ranahB{\displaystyle B} sedemikian rupa sehingga

Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuahhomomorfisme graf. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.[3]

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Catatan

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Seperti yang sering terjadi, tetapi tidak selalu, simbol yang sama untuk operasiA{\displaystyle A} danB{\displaystyle B} digunakan di sini.

Kutipan

[sunting |sunting sumber]
  1. ^abBirkhoff, Garrett (1967) [1940],Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications,25 (edisi ke-3rd), Providence, R.I.:American Mathematical Society,ISBN 978-0-8218-1025-5,MR 0598630 
  2. ^Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012).A Course in Universal Algebra(PDF).ISBN 978-0-9880552-0-9. 
  3. ^Section 17.4, inGunther Schmidt, 2010.Relational Mathematics. Cambridge University Press,ISBN978-0-521-76268-7

Referensi

[sunting |sunting sumber]
Umum
Perpustakaan nasional
Lain-lain
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme&oldid=22244781"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp