Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dariGeometry di en.wikipedia.org.Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong padaProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula:panduan penerjemahan artikel)
Geometri adalah cabangmatematika yang bersangkutan dengan pertanyaanbentuk. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebutahli geometri. Geometri muncul secara independen di sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentangpanjang,luas, danvolume, dengan unsur-unsur dari ilmu matematika formal yang muncul di Barat sediniThales (abad 6 SM). Pada abad ke-3 SM geometri dimasukkan ke dalam bentuk aksiomatik olehEuclid, yang dibantu oleh geometri Euclid, menjadi standar selama berabad-abad.Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan isi, dalam banyak cara mengantisipasikalkulus integral yang modern. Bidangastronomi, terutama memetakan posisi bintang dan planet pada falak dan menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit, menjabat sebagai sumber penting masalah geometrik selama satu berikutnya dan setengah milenium. Kedua geometri danastronomi dianggap di dunia klasik untuk menjadi bagian dariQuadrivium tersebut, subset dari tujuh seni liberal dianggap penting untuk warga negara bebas untuk menguasai.
Pengenalankoordinat olehRené Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandai tahap baru untuk geometri, karena tokoh geometris, sepertikurva pesawat, sekarang bisa diwakili analitis, yakni dengan fungsi dan persamaan. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya kalkulus pada abad ke-17. Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekadar sifat metrik angka: perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dengan Euler danGauss dan menyebabkan penciptaan topologi dan geometri diferensial.
Dalam waktu Euclid tidak ada perbedaan yang jelas antara ruang fisik dan ruang geometris. Sejak penemuan abad ke-19 geometri non-Euclid, konsep ruang telah mengalami transformasi radikal, dan muncul pertanyaan: mana ruang geometris paling sesuai dengan ruang fisik? Dengan meningkatnya matematika formal dalam abad ke-20, juga 'ruang' (dan 'titik', 'garis', 'bidang') kehilangan isi intuitif, jadi hari ini kita harus membedakan antara ruang fisik, ruang geometris (di mana ' ruang ',' titik 'dll masih memiliki arti intuitif mereka) dan ruang abstrak. Geometri kontemporer menganggap manifold, ruang yang jauh lebih abstrak dari ruang Euclid yang kita kenal, yang mereka hanya sekitar menyerupai pada skala kecil. Ruang ini mungkin diberkahi dengan struktur tambahan, yang memungkinkan seseorang untuk berbicara tentang panjang. Geometri modern memiliki ikatan yang kuat dengan beberapa fisika, dicontohkan oleh hubungan antara geometri pseudo-Riemann dan relativitas umum. Salah satu teori fisika termuda, teori string, juga sangat geometris dalam rasa.
Sedangkan sifat visual geometri awalnya membuatnya lebih mudah diakses daripada bagian lain dari matematika, seperti aljabar atau teori bilangan, bahasa geometrik juga digunakan dalam konteks yang jauh dari tradisional, asal Euclidean nya (misalnya, dalam geometri fraktal dan geometri aljabar).
Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan olehPlato dalam dialogTimaeus (360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen:tanah,air,udara danapi. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi materialpadat,cair,gas danplasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron,kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron di mana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemenapi,tanah,udara danair. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan namaPlatonic Solid.Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaituether.
Salah satuEropa danArab yang berlatih geometri pada abad ke-15Gambar depan versi bahasa Inggris pertama Sir Henry Billingsley dari EuclidElemen, 1570
Permulaan geometri paling awal yang tercatat dapat ditelusuri keMesopotamia kuno danMesir pada milenium ke-2 SM.[1][2] Geometri pada awalnya adalah kumpulan prinsip yang ditemukan secara empiris mengenai panjang, sudut, luas, dan volume, yang dikembangkan untuk memenuhi beberapa kebutuhan praktis dalamsurvei, dankonstruksi. Teks geometri paling awal yang diketahui adalahMesirPapirus Rhind (2000–1800 SM) danPapirus Moskow (sekitar 1890 SM),Tablet tanah liat Babilonia sepertiPlimpton 322 (1900 SM). Contohnya, Papirus Moskow memberikan rumus untuk menghitung volume piramida terpotong, ataufrustum.[3] Tablet tanah liat (350-50 SM) menunjukkan bahwa astronom Babilonia menerapkan prosedurtrapesium untuk menghitung posisi Jupiter dangerakan dalam kecepatan waktu. Prosedur geometris tersebut mengantisipasiKalkulator Oxford, termasukteorema kecepatan rata-rata, pada abad ke 14.[4] Di selatan Mesir,Nubia kuno membangun sistem geometri termasuk versi awaljam matahari.[5][6]
Pada abad ke 7 SM,Yunani ahli matematikaThales of Miletus menggunakan geometri untuk menyelesaikan masalah seperti menghitung tinggi piramida dan jarak kapal. Hal tersebut dikreditkan dengan penggunaan pertama dari penalaran deduktif yang diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dariTeorema Thales.[7] Pythagoras mendirikanSekolah Pythagoras, yang dikreditkan dengan bukti pertama dariTeorema Pythagoras,[8] Padahal pernyataan teorema tersebut memiliki sejarah yang panjang.[9][10]Eudoxus (408–355 SM) mengembangkanmetode, yang memungkinkan perhitungan luas dan volume gambar lengkung,[11] serta teori rasio yang menghindari masalahbesaran yang tidak dapat dibandingkan, yang memungkinkan geometer berikutnya untuk membuat kemajuan yang signifikan. Sekitar 300 SM, geometri direvolusi oleh Euclid, yangElemen, secara luas dianggap sebagai buku teks paling sukses dan berpengaruh sepanjang masa,[12] diperkenalkanketelitian matematika melaluimetode aksiomatik dan merupakan contoh paling awal dari format yang masih digunakan dalam matematika saat ini, bahwa definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Meskipun sebagian besar konten Elemen sudah diketahui, Euclid mengatur menjadi satu kerangka kerja logis yang koheran.[13]Element diketahui oleh semua orang terpelajar di Barat hingga pertengahan abad ke 20 dan isinya masih diajarkan di kelas geometri hingga saat ini..[14]Archimedes (c. 287–212 SM) dariSyracuse menggunakanmetode tersebut untuk menghitungluas di bawah busur dariparabola denganpenjumlahan dari tak terhingga pada deret, dan memberikan perkiraan yang sangat akurat dariPi.[15] Dia juga mempelajarispiral yang menyandang namanya dan memperoleh rumus untukvolume daripermukaan revolusi.
Wanita mengajar geometri. Ilustrasi di awal terjemahan abad pertengahanEuklides Element, (c. 1310).
Geometri aljabar merupakan cabangmatematika yang mempelajari akar dari suatusuku banyak. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat darialjabar abstrak seperti aljabar komutatif danteori kategori. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.[16]
Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik sepertigaris,parabola,elips, kurva eliptik dan lain-lain.
Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks,topologi,teori bilangan,teori kategori, dan lain-lain.
Persegi adalah bangun datardua dimensi yang dibentuk oleh empat buahrusuk yang sama panjang dan memiliki empat buahsudut yang kesemuanya adalahsudut siku-siku. Bangun ini disebut juga sebagaibujur sangkar.
Persegi panjang adalah bangun datardua dimensi yang dibentuk oleh dua pasangsisi yang masing-masing sama panjang dansejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buahsudut yang kesemuanya adalahsudut siku-siku.
Sebuahsegitiga adalahpoligon dengan tigaujung dan tiga simpul. Ini adalah salah satubentuk dasar dalam geometri. Segitiga dengan simpul A, B, dan C dilambangkan.
Dalamgeometri Euclidean, setiap tiga titik, ketika non-collinear, menentukan segitiga unik dan sekaligus, sebuahbidang unik (yaituruang Euclidean dua dimensi). Dengan kata lain, hanya ada satu bidang yang mengandung segitiga itu, dan setiap segitiga terkandung dalam beberapa bidang. Jika seluruh geometri hanyabidang Euclidean, hanya ada satu bidang dan semua segitiga terkandung di dalamnya; namun, dalam ruang Euclidean berdimensi lebih tinggi, ini tidak lagi benar.
Trapesium adalah bangun datardua dimensi yang dibentuk oleh empat buahrusuk yang dua di antaranya salingsejajar namun tidak sama panjang.Trapesium termasuk jenisbangun datarsegi empat yang mempunyai ciri khusus.
Jajar genjang ataujajaran genjang (bahasa Inggris:parallelogram) adalah bangun datardua dimensi yang dibentuk oleh dua pasangrusuk yang masing-masing sama panjang dansejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasangsudut yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. Jajar genjang termasuk turunan segiempat yang mempunyai ciri khusus. Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebutbelah ketupat.
Lingkaran adalahbentuk yang terdiri dari semua titik dalambidang yang berjarak tertentu dari titik tertentu, pusat; ekuivalennya adalah kurva yang dilacak oleh titik yang bergerak dalam bidang sehingga jaraknya dari titik tertentu adalahkonstan. Jarak antara titik mana pun dari lingkaran dan pusat disebut jari-jari. Artikel ini adalah tentang lingkaran dalam geometri Euclidean, dan, khususnya, bidang Euclidean, kecuali jika dinyatakan sebaliknya.
Secara khusus, sebuah lingkaran adalahkurva tertutup sederhana yang membagi pesawat menjadi dua wilayah: interior dan eksterior. Dalam penggunaan sehari-hari, istilah "lingkaran" dapat digunakan secara bergantian untuk merujuk pada batas gambar, atau keseluruhan gambar termasuk bagian dalamnya; dalam penggunaan teknis yang ketat, lingkaran hanyalah batas dan seluruh gambar disebutcakram.
Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai jenis elips khusus di mana dua fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0, atau bentuk dua dimensi yang melingkupi area per satuan perimeter kuadrat, menggunakan kalkulus variasi.
Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.Elips: notasiElips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat
Elips atauoval yang beraturan adalah gambar yang menyerupailingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dariirisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagailokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebutfokus).
Dalam bahasa Indonesia, elips atau oval yang beraturan juga sering dikenal istilah sepadan, yaknibulat lonjong (ataulonjong[18] saja), bulat bujur[19], danbulat panjang.[19]
Euclid mengambil pendekatan abstrak untuk geometri diElements,[23] salah satu buku paling berpengaruh yang pernah ditulis.[24] Euklides memperkenalkanaksioma, ataupostulat tertentu, yang mengekspresikan sifat utama atau bukti dengan sendirinya dari titik, garis, dan bidang.[25] Untuk melanjutkan untuk secara ketat menyimpulkan properti lain dengan penalaran matematika. Ciri khas pendekatan geometri Euclid adalah ketelitiannya, dan kemudian dikenal sebagai geometriaksiomatik atausintetik.[26] Pada awal abad ke-19, penemuangeometri non-Euclidean olehNikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856),János Bolyai (1802–1860),Carl Friedrich Gauss (1777–1855) dan yang lainnya[27] menyebabkan kebangkitan minat dalam disiplin tersebut pada abad ke-20,David Hilbert (1862–1943) menggunakan penalaran aksiomatik dalam upaya untuk memberikan dasar geometri modern.[28]
Titik yang dianggap sebagai objek fundamental dalam geometri Euclidean. Mereka telah didefinisikan dalam berbagai cara, termasuk definisi Euclid sebagai 'yang tidak memiliki bagian'[29] dan melalui penggunaan aljabar atau set bersarang.[30] Banyak bidang geometri, seperti geometri analitik, geometri diferensial, dan topologi, semua objek dianggap dibangun dari titik. Namun demikian, ada beberapa studi geometri tanpa mengacu pada titik.[31]
Euclid mendeskripsikan sebuah garis sebagai "panjang tanpa lebar" yang "terletak sama terhadap titik-titik pada dirinya sendiri".[29] Dalam matematika modern, mengingat banyaknya geometri, konsep garis terkait erat dengan cara menggambarkan geometri. Misalnya, dalamgeometri analitik, garis pada bidang sering didefinisikan sebagai himpunan titik yang koordinatnya memenuhipersamaan linier tertentu,[32] tetapi dalam pengaturan yang lebih abstrak, sepertigeometri kejadian, garis mungkin merupakan objek independen, berbeda dari kumpulan titik yang terletak di atasnya.[33] Dalam geometri diferensial,geodesik adalah generalisasi gagasan garis menjadiruang melengkung.[34]
Bidang adalah permukaan datar dua dimensi yang memanjang jauh tak terhingga.[29] Bidang digunakan di setiap bidang geometri. Contohnya, bidang dapat dipelajari sebagaipermukaan topologi tanpa mengacu pada jarak atau sudut;[35] dapat dipelajari sebagairuang affine, di mana collinearity dan rasio dapat dipelajari tetapi bukan jarak;[36] itu dapat dipelajari sebagaibidang kompleks menggunakan teknikanalisis kompleks;[37] dan seterusnya.
Euclid mendefinisikan bidangsudut sebagai kemiringan satu sama lain, dalam bidang, dari dua garis yang saling bertemu, dan tidak terletak lurus satu sama lain.[29] Dalam istilah modern, sudut adalah sosok yang dibentuk oleh duasinar, disebutsisi dari sudut, berbagi titik akhir yang sama, disebutsimpul dari sudut.[38]
Sudut tajam (a), tumpul (b), dan lurus (c). Sudut lancip dan tumpul juga dikenal sebagai sudut miring.
Kurva adalah objek 1 dimensi yang bisa lurus (seperti garis) atau tidak; kurva dalam ruang 2 dimensi disebutkurva bidang dan kurva dalam ruang 3 dimensi disebut.[42]
Dalam topologi, kurva didefinisikan dari fungsi pada interval bilangan real ke ruang lain.[35] Dalam geometri diferensial, definisi yang sama digunakan, tetapi fungsi penentu harus dapat terdiferensiasi[43] Studi geometri aljabarkurva aljabar, yang didefinisikan sebagaivarietas aljabar daridimensi satu.[44]
Bola adalah permukaan yang dapat didefinisikan secara parametrik (denganx =r sinθ cosφ,y =r sinθ sinφ,z =r cosθ) atau secara implisit (byx2 +y2 +z2 −r2 = 0.)
Luas dan volume dapat didefinisikan sebagai besaran fundamental yang terpisah dari panjang, atau dapat dijelaskan dan dihitung dalam istilah panjang dalam bidang atau ruang 3 dimensi.[47] Matematikawan telah menemukan banyakrumus untuk luas danrumus untuk volume dari berbagai objek geometri. Dalamkalkulus, luas dan volume dapat didefinisikan dalamintegral s, sepertiintegral Riemann[49] atauIntegral Lebesgue.[50]-->
Kesesuaian dankesamaan adalah konsep yang mendeskripsikan jika dua bentuk memiliki karakteristik yang serupa.[54] Dalam geometri Euclidean, kesamaan digunakan untuk mendeskripsikan objek yang memiliki bentuk yang sama, sedangkan congruence digunakan untuk mendeskripsikan objek yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama.[55]<!-;Hilbert, in his work on creating a more rigorous foundation for geometry, treated congruence as an undefined term whose properties are defined byaxioms.-->
Kesamaan dan kesamaan digeneralisasikan dalamgeometri transformasi, yang mempelajari properti objek geometris yang dipertahankan oleh berbagai jenis transformasi.[56]-->
Geometer klasik memberikan perhatian khusus untuk membangun objek geometris yang telah dijelaskan dengan cara lain. Secara klasik, satu-satunya instrumen yang diperbolehkan dalam konstruksi geometris adalahkompas danpenggaris lurus. Selain itu, setiap konstruksi harus diselesaikan dalam jumlah langkah yang terbatas. Namun, beberapa masalah ternyata sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan cara ini sendiri, dan konstruksi cerdik menggunakan parabola dan kurva lainnya, serta perangkat mekanis.
Dimana geometri tradisional mengizinkan dimensi 1 (agaris), 2 (abidang) dan 3 (dunia ambien kita dipahami sebagairuang tiga dimensi)), matematikawan dan fisikawan telah menggunakandimensi yang lebih tinggi selama hampir dua abad.[57] Salah satu contoh penggunaan matematika untuk dimensi yang lebih tinggi adalahruang konfigurasi dari sistem fisik, yang memiliki dimensi yang sama denganderajat bebas. Misalnya, konfigurasi sekrup dapat digambarkan dengan lima koordinat.[58]
Khususnya, geometri diferensial penting bagifisika matematika karena postulasirelativitas umumAlbert Einstein bahwaalam semesta adalahlengkung.[72] Geometri diferensial dapat berupaintrinsik (artinya ruang yang dianggapnya adalahlipatan halus yang struktur geometrisnya diatur olehmetrik Riemannian, yang menentukan bagaimana jarak diukur di dekat setiap titik) atauekstrinsik (di mana objek yang diteliti adalah bagian dari beberapa ruang Euclide datar ambien).[73]
Geometri Euklides bukanlah satu-satunya bentuk geometri historis yang dipelajari.Geometri bola telah lama digunakan oleh astronom, astrolog, dan navigator.[74]
Immanuel Kant berpendapat bahwa hanya ada satu,mutlak, geometri, yang diketahui benara priori oleh fakultas pikiran batin: Geometri Euklides adalahsintetik a priori.[75] Pandangan ini pada awalnya agak ditantang oleh para pemikir sepertiSaccheri, kemudian akhirnya dibatalkan oleh penemuan revolusionergeometri non-Euklides dalam karya-karya Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss (yang tidak pernah menerbitkan teorinya).[76] They demonstrated that ordinaryEuclidean space is only one possibility for development of geometry. A broad vision of the subject of geometry was then expressed byRiemann in his 1867 inauguration lectureÜber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the hypotheses on which geometry is based),[77] hanya setelah kematiannya. Ide baru Riemann tentang ruang terbukti penting dalamteori relativitas umumAlbert Einstein.Geometri Riemannian, yang mempertimbangkan ruang yang sangat umum di mana pengertian panjang didefinisikan, adalah andalan geometri modern.[78]
Bou Inania Madrasa, Fes, Maroko, ubin mosaik zellige membentuk tessellations geometris yang rumit
Matematika dan seni terkait dalam berbagai cara. Contohnya, teoriperspektif menunjukkan bahwa geometri lebih dari sekadar properti metrik dari sebuah figur.: perspektif adalah asal mulageometri proyektif.[79]
Seniman telah lama menggunakan konsepproporsi dalam desain.Vitruvius mengembangkan teori rumit tentangproporsi ideal untuk sosok manusia.[80] Konsep tersebut telah digunakan dan diadaptasi oleh seniman dariMichelangelo hingga seniman komik modern.[81]
Rasio emas adalah proporsi tertentu yang memiliki peran kontroversial dalam seni. Sering diklaim sebagai rasio panjang yang paling estetis, sering dikatakan sebagai rasio panjang karya seni terkenal, meskipun contoh yang paling dapat diandalkan dan tidak ambigu dibuat dengan sengaja oleh seniman yang mengetahui legenda tersebut.[82]
Ubin, atau tessellations, telah digunakan dalam seni sepanjang sejarah.Seni Islam sering menggunakan tessellation, seperti halnya seniEscher.[83] Karya Escher juga memanfaatkangeometri hiperbolik.
Cézanne mengajukan teori bahwa semua gambar dapat dibangun daribola,kerucut, dantabung. Ini masih digunakan dalam teori seni hari ini, meskipun daftar pasti bentuk bervariasi dari penulis ke penulis.[84][85]
Geometri memiliki banyak aplikasi dalam arsitektur. Faktanya, telah dikatakan bahwa geometri merupakan inti dari desain arsitektur.[86][87] Aplikasi geometri pada arsitektur mencakup penggunaangeometri proyektif untuk membuatperspektif paksa,[88] penggunaanbagian berbentuk kerucut dalam membangun kubah dan benda serupa,[64] penggunaantessellations,[64] dan penggunaan simetri.[64]
Bidangastronomi, terutama yang berkaitan dengan pemetaan posisibintang danplanet padabola langit dan menjelaskan hubungan antara pergerakan benda-benda langit, telah menjadi sumber penting masalah geometris sepanjang sejarah.[89]
Kalkulus sangat dipengaruhi oleh geometri.[93] Misalnya, pengenalankoordinat olehRené Descartes dan perkembangan bersamaanaljabar menandai tahapan baru untuk geometri, karena figur geometris sepertikurva bidang dari sekarang dapat direpresentasikansecara analitis dalam bentuk fungsi dan persamaan. Ini memainkan peran kunci dalam munculnyakalkulus sangat kecil pada abad ke-17. Geometri analitik terus menjadi andalan dalam kurikulum pra-kalkulus dan kalkulus.[94][95]
^J. Friberg, "Metode dan tradisi matematika Babilonia. Plimpton 322, Pythagoras tiga kali lipat, dan persamaan parameter segitiga Babilonia",Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277–318.
^Depuydt, Leo (1 Januari 1998). "Gnomons di Meroë dan Trigonometri Awal".The Journal of Egyptian Archaeology.84: 171–180.doi:10.2307/3822211.JSTOR3822211.
^Slayman, Andrew (27 Mei 1998)."Neolithic Skywatchers".Archaeology Magazine Archive. Diarsipkan dariversi asli tanggal 5 Juni 2011. Diakses tanggal17 April 2011.Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Kesalahan pengutipan: Tag<ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamaBoyer 1991 loc=Ionia dan Pythagoras p. 43
^Eves, Howard, Pengantar Sejarah Matematika, Saunders, 1990,ISBN0-03-029558-0.
^Kurt Von Fritz (1945). "Penemuan Ketidakbandingan oleh Hippasus dari Metapontum".The Annals of Mathematics.
^James R. Choike (1980). "Pentagram dan Penemuan Bilangan Irasional".The Two-Year College Mathematics Journal.
^(Boyer 1991, "Zaman Plato dan Aristoteles" p. 92)
^Howard Eves,Pengantar Sejarah Matematika, Saunders, 1990,ISBN0-03-029558-0 p. 141: "Tidak ada karya, kecualiBible, yang telah digunakan secara lebih luas...."
^abcdeElemen Euclid - Semua tiga belas buku dalam satu volume, Berdasarkan terjemahan Heath, Green Lion PressISBN1-888009-18-7.
^Clark, Bowman L. (Jan 1985). "Individu dan Titik geometri".Notre Dame Journal of Formal Logic.26 (1): 61–75.doi:10.1305/ndjfl/1093870761.
^Gerla, G. (1995)."Pointless Geometries"(PDF). Dalam Buekenhout, F.; Kantor, W.Buku Pegangan geometri insiden: bangunan dan fondasi. North-Holland. hlm. 1015–1031. Diarsipkan dariversi asli(PDF) tanggal 17 July 2011.Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
^Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals."ISBN978-0321570567.
^Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Bentuk Ruang Dalam: Teori String dan Geometri Dimensi Tersembunyi Alam Semesta. Buku Dasar.ISBN978-0-465-02023-2.
^Russell M. Cummings; Scott A. Morton; William H. Mason; David R. McDaniel (27 April 2015).Aerodinamika Komputasi Terapan. Cambridge University Press. hlm. 449.ISBN978-1-107-05374-8.Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-01. Diakses tanggal2020-08-25.
^Nihat Ay; Jürgen Jost; Hông Vân Lê; Lorenz Schwachhöfer (25 August 2017).Geometri Informasi. Springer. hlm. 185.ISBN978-3-319-56478-4.Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-01. Diakses tanggal2020-08-25.
^Kline (1972) "Pemikiran matematis dari zaman kuno hingga modern", Oxford University Press, p. 1032. Kant tidak menolak 'kemungkinan' logis (analitik a priori) dari geometri non-Euklides, lihatJeremy Gray, "Ide Ruang Euclidean, Non-Euklides, dan Relativistik", Oxford, 1989; p. 85. Beberapa menyiratkan bahwa, dalam terang ini, Kant sebenarnya telahmeramalkan perkembangan geometri non-Euklides, lih. Leonard Nelson, "Filsafat dan Aksioma," Socratic Method and Critical Philosophy, Dover, 1965, p. 164.
^Robin M. Green; Robin Michael Green (31 October 1985).Astronomi Bulat. Cambridge University Press. hlm. 1.ISBN978-0-521-31779-5.Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-01. Diakses tanggal2020-08-25.
^Jon Rogawski; Colin Adams (30 January 2015).Kalkulus. W. H. Freeman.ISBN978-1-4641-7499-5.Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-03-01. Diakses tanggal2020-08-25.
Hayashi, Takao (2003). "Indian Mathematics". Dalam Grattan-Guinness, Ivor.Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences.1. Baltimore, MD: TheJohns Hopkins University Press. hlm. 118–130.ISBN978-0-8018-7396-6.
Hayashi, Takao (2005). "Indian Mathematics". Dalam Flood, Gavin.The Blackwell Companion to Hinduism. Oxford:Basil Blackwell. hlm. 360–375.ISBN978-1-4051-3251-0.
Nikolai I. Lobachevsky (2010).Pangeometry. Heritage of European Mathematics Series.4. translator and editor: A. Papadopoulos. European Mathematical Society.
.jpg)
