Movatterモバイル変換

Faktorisasi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Faktorisasi dalammatematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatubilangan,polinomial, ataumatriks) menjadi suatuproduk objek lain, ataufaktor, yang ketikadikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya. Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadibilangan prima sebagai 3 × 5, dan polinomialx² − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2). Dalam segala kasus, diperoleh suatu produk dari objek yang lebih sederhana.

Tujuan faktorisasi biasanya untuk mereduksi sesuatu menjadi "blok pembangun dasar" (“basic building blocks”), seperti bilangan-bilangan prima, atau polinomial menjadipolinomial tak tereduksi. Faktorisasi integers diatur olehteorema dasar aritmetika danfaktorisasi polinomial diatur olehteorema dasar aljabar.Rumus-rumus Vièta mengkaitkankoefisien-koefisien suatu polinomial pada akar-akarnya.

Lawan dari faktorisasi polinomial adalahekspansi, yaitu perkalian bersama semua faktor polinomial menjadi suatu polinomial “terekspansi”, ditulis sebagai jumlah dari elemen-elemen.

Faktorisasi juga dapat merujuk ke dekomposisi objek matematika lain ke hasil perkalian objek-objek yang lebih kecil atau sederhana. Sebagai contoh, setiap fungsi dapat difaktorkan menjadi komposisifungsi surjektif danfungsi injektif.Matriks memiliki banyak jenisfaktorisasi. Sebagai contoh, setiap matriks memiliki hasilfaktorisasi LUP yang unik, denganmatriks segitiga bawah $L {\displaystyle L}$ dengan entri padadiagonal utama bernilai 1, matriks segitiga atas $U {\displaystyle U}$ , danmatriks permutasi $P {\displaystyle P}$ ; ketiga matriks ini didapatkan dari formulasieliminasi Gaussian.

Bilangan bulat

[sunting |sunting sumber]

Berdasarkanteorema dasar aritmetika, setiapbilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai faktorisasibilangan prima secara unik (sampai pada orde dari faktornya).

Ekspresi

[sunting |sunting sumber]

Manipulasiekspresi adalah dasar darialjabar. Ada beberapa alasan yang membuat faktorisasi adalah salah satu metode penting dalam manipulasi aljabar. Jika kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk terfaktorkan $E\cdot F=0$ , maka menyelesaikan permasalahan [umumnya] menjadi lebih mudah karena kita dapat menyelesaikan permasalahan yang lebih sederhana $E=0$ dan $F=0$ . Ketika sebuah ekspresi dapat difaktorkan, faktor-faktor tersebut umumnya lebih sederhana, dan dapat memberikan wawasan dari masalah tersebut. Sebagai contoh,

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

yang secara total memiliki 16 perkalian, 4 pengurangan, dan 3 penjumlahan, dapat difaktorkan menjadi ekspresi yang lebih sederhana

$(x-a)(x-b)(x-c)$

yang memiliki 2 perkalian dan 3 pengurangan. Lebih lanjut, bentuk hasil faktorisasi langsung memberikan fakta $x=a,\,b,\,c$ adalah akar dari polinomial tersebut.

Matriks

[sunting |sunting sumber]

Gelanggang matriks bersifat tidak komutatif dan tidak memiliki faktorisasi yang unik: ada banyak cara menulis sebuah matriks sebagai hasil perkalian matriks-matriks. Karenanya, permasalahan faktorisasi matriks berisi bagaimana mencari faktor yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Sebagai contoh,faktorisasi LU memfaktorkan matriks menjadi hasilperkalian matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Karena hal tersebut tidak selalu berhasil, umumnya orang menggunakanfaktorisasi LUP denganmatriks permutasi sebagai faktor ketiganya.

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Bilangan prima
Faktorisasi monoid
Faktorisasi prima
Melengkapi kuadrat
Metode faktorisasi Euler
Metode faktorisasi Fermat
Partisi (teori bilangan) – cara menulis bilangan sebagai sebuah jumlah bilangan-bilangan bulat.
Partisi perkalian
Sintesis program
Tabel faktorisasi bilangan bulat Gauss

Referensi

[sunting |sunting sumber]

Pustaka

[sunting |sunting sumber]

Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912],The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
Dickson, Leonard Eugene (1922),First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
Fite, William Benjamin (1921),College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
Klein, Felix (1925),Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
Selby, Samuel M.,CRC Standard Mathematical Tables (edisi ke-18th), The Chemical Rubber Co.

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]

Lihat entrifaktorisasi di kamus bebas Wikikamus.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994],"Factorization of polynomials",Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,ISBN 978-1-55608-010-4
One hundred million numbers factored on html pages.Diarsipkan 2011-01-18 diWayback Machine.
WIMS Factoris Diarsipkan 2021-09-20 diWayback Machine., sebuah peralatan faktorisasi luring.
Wolfram Alpha bisa melakukan faktorisasi Diarsipkan 2019-03-28 diWayback Machine..

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Faktorisasi&oldid=26502066"

Kategori:

Kategori tersembunyi:

Templat webarchive tautan wayback

[8]ページ先頭