Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Elips

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Elips dan sifat-sifat matematisnya
Irisan kerucut dalam suatu bidang datar dapat membentuk elips
Elips (merah) diperoleh sebagai persimpangan kerucut dengan bidang miring.
Elips: notasi
Elips: contoh dengan eksentrisitas yang meningkat

Dalammatematika, sebuahelips atauoval yang beraturan adalah gambar yang menyerupailingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dariirisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagailokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebutfokus).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yaknibulat lonjong (ataulonjong saja), bulat bujur, danbulat panjang.

Definisi sebagai lokus poin

[sunting |sunting sumber]
Elips: definisi dengan jumlah jarak ke fokus
Elips: definisi berdasarkan fokus dan directrix melingkar

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:

Diberi dua poin tetapF1,F2{\displaystyle F_{1},F_{2}} disebut fokus dan jarak2a{\displaystyle 2a} yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poinP{\displaystyle P} sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak|PF1|, |PF2|{\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|} adalah sama dengan2a{\displaystyle 2a}:E={P∈R2∣|PF2|+|PF1|=2a} .{\displaystyle E=\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\}\ .}

Titik tengahC{\displaystyle C} dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips padatitik- titik simpulV1,V2{\displaystyle V_{1},V_{2}}, yang memiliki jaraka{\displaystyle a} ke pusat. Jarakc{\displaystyle c} dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagie=ca{\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}} adalah eksentrisitas .

KasusF1=F2{\displaystyle F_{1}=F_{2}} dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):

Jikac2{\displaystyle c_{2}} adalah lingkaran dengan titik tengah2a{\displaystyle 2a}, maka jarak suatu titikP{\displaystyle P} ke lingkaranc2{\displaystyle c_{2}} sama dengan jarak ke fokusF1{\displaystyle F_{1}}:
|PF1|=|Pc2|.{\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}

c2{\displaystyle c_{2}} disebut directrix melingkar (terkait dengan fokusF2{\displaystyle F_{2}}) of the ellipse.[1][2] Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Sistem Koordinat Kartesius

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Koordinat Kartesius pada Elips

Persamaan standar

[sunting |sunting sumber]

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya

F1=(c,0), F2=(−c,0){\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)},

simpulnya adalahV1=(a,0), V2=(−a,0){\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}.

Untuk titik arbitrer(x,y){\displaystyle (x,y)} jarak ke fokus(c,0){\displaystyle (c,0)} adalah(x−c)2+y2{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}} dan ke fokus lainnya(x+c)2+y2{\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}. Karena itu intinya(x,y){\displaystyle (x,\,y)} is on the ellipse whenever:

(x−c)2+y2+(x+c)2+y2=2a .{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}

Menghapusradikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakanb2=a2−c2{\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}} menghasilkan persamaan standar elips:

x2a2+y2b2=1,{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}

atau, memecahkany:

y=±baa2−x2=±(a2−x2)(1−e2).{\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}

Keliling lebar dan tinggia,b{\displaystyle a,\;b} disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawahV3=(0,b),V4=(0,−b){\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

Sumbu semi mayor dan semi minor

[sunting |sunting sumber]

Sepanjang artikel inia{\displaystyle a} Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitua≥b>0 .{\displaystyle a\geq b>0\ .} Secara umum persamaan elips kanonikx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} mungkina<b{\displaystyle a<b} (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadib{\displaystyle b}. Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

Eksentritas linear

[sunting |sunting sumber]

Ini adalah jarak dari pusat ke fokus:c=a2−b2{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

e=ca=1−(ba)2{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}},

Rektum semi-lektur

[sunting |sunting sumber]

Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latusℓ{\displaystyle \ell } Perhitungan menunjukkan:

ℓ=b2a=a(1−e2).{\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}[3]

Garis singgung

[sunting |sunting sumber]

Garis arbitrerg{\displaystyle g} memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik(x1,y1){\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} dari elipsx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} memiliki persamaan koordinat:

x1a2x+y1b2y=1.{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

x→=(x1y1)+s(−y1a2   x1b2) {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}\;\!-y_{1}a^{2}\\\;\ \ \ x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}\ } with s∈R .{\displaystyle \ s\in \mathbb {R} \ .}

Bukti: Biarkan(x1,y1){\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} be a point on an ellipse andx→=(x1y1)+s(uv){\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}} menjadi persamaan garis apa pung{\displaystyle g} mengandung(x1,y1){\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}. Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormatix12a2+y12b2=1{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1} yields:

(x1+su)2a2+(y1+sv)2b2=1 ⟹2s(x1ua2+y1vb2)+s2(u2a2+v2b2)=0 .{\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}

Elips bergeser

[sunting |sunting sumber]

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat(x∘,y∘){\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}, persamaannya adalah

(x−x∘)2a2+(y−y∘)2b2=1 .{\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elips

[sunting |sunting sumber]

Luas elips adalahL=πab{\displaystyle L=\pi ab}

Keliling elips

[sunting |sunting sumber]

Keliling elips adalah

Keliling I
K≈2πa2+b22{\displaystyle K\approx 2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}
Keliling II (model Ramanujan)
K≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)]=π[3(a+b)−10ab+3(a2+b2)]{\displaystyle K\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}}\right]}

dan

K≈π(a+b)(1+3h10+4−3h){\displaystyle K\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)} di manah=(a−b)2(a+b)2{\displaystyle h={\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}}}
Keliling III (model integral)
K=2πa[1−∑n=1∞((2n−1)!!(2n)!!)2e2n2n−1]{\displaystyle K=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]}

dan

K=π(a+b)[1+∑n=1∞((2n−1)!!2nn!)2hn(2n−1)2]{\displaystyle K=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right]}

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. ↑Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012),New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, hlm. 251,ISBN 978-0-88385-354-2
  2. ↑Istilah Jerman untuk lingkaran ini adalah Leitkreis yang dapat diterjemahkan sebagai "Lingkaran Direktur", tetapi istilah itu memiliki arti yang berbeda dalam literatur bahasa Inggris (lihatDirector circle).
  3. ↑(Protter& Morrey 1970, hlm. 304,APP-28)

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]
Wikimedia Commons memiliki media mengenaiEllipses.
Elemen geometri menurut dimensi
Besaran geometri menurut dimensi
Istilah dasar lain
Bangun 2 dimensi
Bangun 3 dimensi
Bentuk
Garis Lurus/Linear ·Parabola/Kuadrat ·Lingkaran ·Elips ·Hiperbola
Persamaan
Internasional
Nasional
Lain-lain
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Elips&oldid=28003067"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp