Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Diagram komutatif

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Diagram komutatif dariLemma Snake

Dalam matematika, khususnya dalam bidangaljabar danteori kategori, suatu diagram dikatakan sebagaidiagram komutatif jika untuk suatu objekA{\displaystyle A} danB{\displaystyle B}, setiap lintasan yang berawal diA{\displaystyle A} dan berakhir diB{\displaystyle B} sama.[1] Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studiteori kategori untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma[2]

Definisi

[sunting |sunting sumber]

Suatu diagram komutatif terdiri atas:

  • Objek
  • Morfisma (atau panah)
  • Lintasan atau komposisi morfisma

Dalam berbagai referensi aljabar, umum digunakan notasi berikut untuk panah:

Morfisma atau panah dalam diagram komutatif juga dapat didefinisikan antar panah, seperti yang umum dilakukan dalamteori kategori

Istilah

[sunting |sunting sumber]

Dalam buku-buku matematika, umumnya digunakan ungkapan "diagram berikut komutatif"

Contoh

[sunting |sunting sumber]

Dalamteori grup, misalkanG,H{\displaystyle G,H} suatu grup dengan operasi∘G{\displaystyle \circ _{G}}dan∘H{\displaystyle \circ _{H}} sertaf:G→H{\displaystyle f:G\rightarrow H} suatu pemetaan antara himpunan untuk grupG{\displaystyle G} danH{\displaystyle H}. Andaikanf{\displaystyle f} adalah suatuhomomorfisma grup, diagram berikut komutatif:[3]

dengan pemetaanf×f{\displaystyle f\times f} didefinisikan secara per-komponen sebagai

f×f:(a,b)↦(f(a),f(b)){\displaystyle f\times f:(a,b)\mapsto (f(a),f(b))}

untuk sebaranga,b∈G{\displaystyle a,b\in G}. Dengan kata lain, jika diagram tersebut komutatif berlakuf(a∘Gb)=f(a)∘Hf(b){\displaystyle f(a\circ _{G}b)=f(a)\circ _{H}f(b)}, yang mana sesuai dengan definisi homomorfisma grup pada umumnya.

Contoh lainnya adalah padaLemma Snake. Pada suatukategori abel dengan diagram komutatif

yang memilikibarisan eksak di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak

ker⁡a ⟶ ker⁡b ⟶ ker⁡c ⟶d coker⁡a ⟶ coker⁡b ⟶ coker⁡c{\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}

sehingga diagram berikut komutatif:

Diagram Sebagai Fungtor

[sunting |sunting sumber]

MisalkanI,C{\displaystyle {\mathcal {I}},{\mathcal {C}}} suatu kategori danF:I→C{\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}} suatufungtor dari kategoriI{\displaystyle {\mathcal {I}}} ke kategoriC{\displaystyle {\mathcal {C}}}. Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtorF{\displaystyle F} dan kategoriI{\displaystyle {\mathcal {I}}} disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Leinster, Tom (2016).Basic Category Theory.ISBN 978-1-107-04424-1.  Versi daring tersedia di arXiv pada arXiv:1612.09375v1
  2. ^Smith, Peter (2016).Category Theory A Gentle Introduction.  Versi daring tersedia disini
  3. ^Aluffi, Paolo (2009).Algebra: Chapter 0.ISBN 978-0-8218-4781-7. 

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]
Fondasi
Aljabar
Analisis
Diskret
Geometri
Komputasi
Teori bilangan
Topologi
Terapan
Divisi
Topik terkait
Pengawasan otoritasSunting ini di Wikidata
Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagram_komutatif&oldid=18619260"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp