* Penampilan dan gol di klub senior hanya dihitung dari liga domestik dan akurat per 22.00, 14 Januari 2025 (UTC) ‡ Penampilan dan gol di tim nasional akurat per 21.50, 13 Oktober 2024 (UTC)
Lahir diWythenshawe, Palmer adalah penggemarManchester City yang akhirnya bergabung dengan klub tersebut di level U-8 dan berkembang di berbagai kelompok usia Akademi sebelum menjadi kapten U-18 selama musim 2019–2020.[3]
Pada 30 September 2020, Palmer tampil perdana untuk tim utama City dalam kemenangan tandang 3–0 atasBurnley di putaran keempatPiala EFL.[4] Pada 21 September 2021, Palmer mencetak gol pertamanya untuk tim senior dalam kemenangan kandang 6–1 atas timLiga SatuWycombe Wanderers di Piala EFL.[5] Pada 16 Oktober, Palmer tampil di Liga Utama Inggris saat melawan Burnley, dan pada malam harinya ia kembali bermain dan mencetak trigol untuk tim Man City U-23.[6] Pada 19 Oktober, Palmer mencetak gol pertamanya diLiga Champions UEFA dalam kemenangan tandang 5–1 atasClub Brugge.[7]
Palmer adalah pemain menyerang serbaguna, digambarkan oleh klubnya sebagai pemain yang dapat "beroperasi dengan mahir baik sebagai gelandang serang ataupun striker".[11]