Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Lompat ke isi
WikipediaEnsiklopedia Bebas
Pencarian

Akar bilangan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dariAkar ke-n)
Halaman ini berisi artikel tentang penarikan akar bilangan. Untuk akar-akar persamaan, lihatAkar fungsi.
Representasi grafis dari fungsiakar kuadraty=x{\displaystyle y={\sqrt {x}}}
Dalamkotak log-log akar ke-n{\displaystyle n} menjadigaris lurus.

Dalammatematika,akar pangkat n daribilanganx adalah suatu bilangan yang apabiladipangkatkann hasilnya sama denganx; yaitu suatu bilanganr sedemikian sehinggarn=x{\textstyle r^{n}=x} terpenuhi.

Dengan lambang, akar pangkatn darix sama denganr dapat ditulis sebagaixn=r.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=r.}Dalam hal ini,   {\displaystyle {\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}} disebutlambang akar,n disebutpangkat akar danx disebutradikan.

Pangkat akar merupakanbilangan bulat positif. Akar pangkat 2 biasa disebutakar kuadrat atauakar saja, dan angka pangkat tidak ditulis pada lambang akarx{\displaystyle {\sqrt {x}}}.

Radikan, yakni yang diakarkan, biasanya merupakan suatu bilangan, baikbilangan riil ataubilangan kompleks, maupun sesuatu yang dapat dianggap sebagai bilangan, sepertimatriks.

Sebagai contoh, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 32 = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3)2 = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagaibilangan kompleks memilikin akar ke-n yang berbeda, termasukreal (paling banyak dua). Akar ke-n dari 0 adalah nol untuk semuabilangan bulat positifn, setelah0n = 0. Khususnya, jikan genap danx adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketikan > 2)bilangan kompleks non-real; jikan genap danx adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-n yang merupakan real. Jikan ganjil danx real, satu akarn adalah real dan bertanda sama sebagaix, sedangkan akar lainnya (n – 1) bukanlah real. Akhirnya, jikax bukanlah real, maka tidak ada akar ke-n yang merupakan real.

dengan menunjukkan akar kuadrat positif darix jikax adalah positif; untuk akar tinggi,xn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} menunjukkan akar ke-n yang sebenarnya jikan adalah ganjil, dan akar pangkat n positif jikan adalah genap danx adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu.

Ketika kompleks akar ke-n dipertimbangkan, sering kali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebutakar utama, sebagainilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n utama darix sebagai akar ke-n, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untukx real dan negatif), yang memilikibagian imajiner positif. Ini membuat akar ke-n sebagaifungsi real dan positif untukx real dan positif, dan adalahkontinu diseluruhbidang kompleks, kecuali untuk nilaix real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-n utama yang bukan asli. Misalnya,−8{\displaystyle -8} memiliki tigaakar pangkat tiga,−2{\displaystyle -2},1+i3{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}} dan1−i3.{\displaystyle 1-i{\sqrt {3}}.} Akar pangkat tiga sebenarnya adalah−2{\displaystyle -2} dan akar pangkat tiga utama adalah1+i3.{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagaisurd[1] atau "radikal".[2] Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebutekspresi radikal, dan jika tidak mengandungfungsi transendental ataubilangan transendental disebutekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus darieksponensial, dimanaeksponen adalahpecahan:

xn=x1/n.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}
Operasi aritmetika
Penambahan (+)
suku+sukuyang ditambah+penambahtinambah+penambah}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{suku}}\,+\,{\text{suku}}\\\scriptstyle {\text{yang ditambah}}\,+\,{\text{penambah}}\\\scriptstyle {\text{tinambah}}\,+\,{\text{penambah}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}jumlah{\displaystyle \scriptstyle {\text{jumlah}}}
Pengurangan (−)
suku−sukukinurang−pengurang}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{suku}}\,-\,{\text{suku}}\\\scriptstyle {\text{kinurang}}\,-\,{\text{pengurang}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}selisihbeda{\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{selisih}}\\\scriptstyle {\text{beda}}\end{matrix}}}
Perkalian (×)
faktor×faktorpengali×kinali}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{faktor}}\,\times \,{\text{faktor}}\\\scriptstyle {\text{pengali}}\,\times \,{\text{kinali}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}hasil kalidarab{\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hasil kali}}\\\scriptstyle {\text{darab}}\end{matrix}}}
Pembagian (÷), (/)
dividenpembagi pembilangpenyebut}={\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividen}}}{\scriptstyle {\text{pembagi}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{pembilang}}}{\scriptstyle {\text{penyebut}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}hasil bagipecahanrasio{\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hasil bagi}}\\\scriptstyle {\text{pecahan}}\\\scriptstyle {\text{rasio}}\end{matrix}}}
Eksponensiasi (^)
bilangan pokokeksponen={\displaystyle \scriptstyle {\text{bilangan pokok}}^{\text{eksponen}}\,=\,}pangkat{\displaystyle \scriptstyle {\text{pangkat}}}
Penarikan akar (√)
radikanpangkat={\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{pangkat}}]{\scriptstyle {\text{radikan}}}}\,=\,}akar{\displaystyle \scriptstyle {\text{akar}}}
Logaritma (log)
bilangan pokoklog⁡(antilogaritma)={\displaystyle \scriptstyle ^{\text{bilangan pokok}}\!\log({\text{antilogaritma}})\,=\,}logaritma{\displaystyle \scriptstyle {\text{logaritma}}}

Akar digunakan untuk menentukanradius konvergensi darideret pangkat denganuji akar. Akar ke-n dari 1 disebutakar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, sepertiteori bilangan,teori persamaan, dantransformasi Fourier.

Definisi dan notasi

[sunting |sunting sumber]
Empat akar ke-4 dari −1,
bukan dari nilai real
Tiga akar ke-3 dari −1,
salah satunya adalah real negatif

Sebarang bilanganr{\textstyle r} yang apabila dipangkatkann{\textstyle n} (n{\textstyle n} bilangan bulat besar dari 1) bernilai sama denganx{\textstyle x}, ditulisrn=x{\displaystyle r^{n}=x}, disebutakar pangkatn{\textstyle {\boldsymbol {n}}} darix{\textstyle x}, dan dilambangkan sebagair=xn{\textstyle r={\sqrt[{n}]{x}}}[3]

Setiapbilangan riil positifx memiliki akar pangkat n positif tunggal, yang disebutakar pangkat n utama, yang ditulis sebagaixn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}. Untukn sama dengan 2 ini disebut akar kuadrat utama dann yang dihilangkan. Akar ke-n juga dapat direpresentasikan menggunakaneksponensial sebagaix1/n.

Untuk nilai genapn, bilangan positif juga memiliki akar pangkat n negatif, sedangkan bilangan negatif tidak memiliki akar pangkat n real. Untuk nilai ganjiln, setiap bilangan negatifx memiliki akar pangkat n negatif real. Misalnya, 2 memiliki akar ke-5 real,−25=−1.148698354…{\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots } tetapi -2 tidak memiliki akar ke-6 real.

Setiap bilangan bukan nolx, real ataukompleks, memilikin akar pangkat n bilangan kompleks yang berbeda. Dalam kasusx real, hitungan ini mencakup akar pangkat n real. Satu-satunya akar kompleks dari 0 adalah 0.

Akar ke-n dari hampir semua bilangan (semua bilangan bulat kecuali pangkat ke-n, dan semua rasional kecuali hasil bagi dua pangkat ke-n) adalahirasional. Misalnya,

2=1.414213562…{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }

Semua akar bilangan bulat ke-n adalahbilangan aljabar.

Istilahsurd ditelusuri kembali keal-Khwārizmī (c. 825), yang menyebutbilangan rasional dan irasional sebagaiterdengar dantidak terdengar, masing-masing. Hal ini kemudian menyebabkan kata Arab "أصم" (asamm, yang berarti "tuli" atau "bisu") untukbilangan irasional diterjemahkan ke dalambahasa Latin sebagai "surdus" (artinya "tuli" atau "bisu").Gerard dari Cremona (c. 1150),Fibonacci (1202), dan kemudianRobert Recorde (1551) semuanya menggunakan istilah tersebut untuk merujuk padaakar irasional tak-terselesaikan, yaitu, ekspresi bentukin,{\displaystyle {\sqrt[{n}]{i}},} dimanan{\displaystyle n} dani{\displaystyle i} adalah bilangan bulat dan seluruh ekspresi menunjukkan bilangan irasional.[4]Bilangan irasional kuadrat yaitu bilangan irasional dalam bentuki,{\displaystyle {\sqrt {i}},} juga dikenal sebagai "surd kuadrat".

Akar kuadrat

[sunting |sunting sumber]
Grafiky=±x{\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}.
Artikel utama:Akar kuadrat

Akar kuadrat dari bilanganx adalah bilanganr yang ketikakuadrat sebagaix:

r2=x.{\displaystyle r^{2}=x.}

Setiap bilangan real positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan satu negatif. Misalnya, dua akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Akar kuadrat positif juga dikenal sebagaiakar kuadrat utama, dan dilambangkan dengan tanda radikal:

25=5.{\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}

Karena kuadrat dari setiap bilangan real adalah nonnegatif, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Namun, untuk setiap bilangan real negatif terdapat dua akar kuadratimajiner. Misalnya, akar kuadrat dari −25 adalah 5i dan 5i, dimanai menyatakan bilangan yang kuadratnya−1.

Akar pangkat tiga

[sunting |sunting sumber]
Grafiky=x3{\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}.
Artikel utama:Akar pangkat tiga

Sebuahakar pangkat tiga dari bilanganx adalah bilanganr yangkubusnya adalahx:

r3=x.{\displaystyle r^{3}=x.}

Setiap bilangan realx memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulisx3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}. Misalnya,

83=2{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2} dan−83=−2.{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.}

Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tigakompleks tambahan.

Dasar-dasar matematika

[sunting |sunting sumber]

Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagaiteoretis mengacu pada tubuh yang diaturbilangan realℝ, sehingga sampai batas tertentu padamatematika didatik. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikeladjungsi.[5]

Koneksi dengan potensi

[sunting |sunting sumber]

Akar kuadrat dengan eksponen akarn{\displaystyle n} dan eksponen dengan eksponenn{\displaystyle n} saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan reala≥0{\displaystyle a\geq 0} dan untuk semua bilangan aslin≥1{\displaystyle n\geq 1}:

(an)n=a{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}

Akar kuadrat dengan eksponen akarn{\displaystyle n} melakukan seperti eksponen dengan eksponen1n{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}. Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:

(a1n)n=ann=a1=a{\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}

Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akarn juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:[6]

an=a1n{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}

Akar unik dari bilangan positif

[sunting |sunting sumber]

Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar1{\displaystyle {\sqrt[{}]{\color {white}1}}} pada dasarnya untuk solusi positif.[7][8] Misalnya,persamaanx2=4{\displaystyle x^{2}=4} memiliki dua solusix=+2{\displaystyle x=+2} danx=−2{\displaystyle x=-2}. Namun, istilah42{\displaystyle {\sqrt[{2}]{4}}} memiliki nilai +2 danyang bukan nilai −2. Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap

x2n2n=|x|.{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}

Akar bilangan negatif

[sunting |sunting sumber]

Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu

(−2)3=−8,{\displaystyle (-2)^{3}=-8\,,}

dan−2{\displaystyle -2} adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga−8{\displaystyle -8}. Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.

Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:

−a2n+1=−a2n+1{\displaystyle {\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}}.
Definisi ini tidak sesuai dengan beberapa sifat akar yang digunakan untuk radikan positif. Contohnya adalah
−2=−83≠(−8)26=646=+2.{\displaystyle -2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}
Definisi ini juga tidak melakukan persamaanak=a1k=exp⁡(1kln⁡(a)){\displaystyle {\sqrt[{k}]{a}}=a^{\frac {1}{k}}=\exp \left({\tfrac {1}{k}}\ln(a)\right)}, karena logaritma (secara alamiah) dari bilangan negatif yang tidak didefinisikan (maka,a{\displaystyle a} tetaplah negatif).

Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan realx{\displaystyle x}, jadix2=−1{\displaystyle x^{2}=-1} tidak dapat menemukan akarx=−12{\displaystyle x={\sqrt[{2}]{-1}}} yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalanbilangan kompleks;[9] namun, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar,lihat dibawah.

Akar irasional dari bilangan bulat

[sunting |sunting sumber]

Jikan{\displaystyle n} adalah bilangan bulat tidak negatif dank{\displaystyle k} adalah bilangan bulat positif, jadink{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}} adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikanfaktorisasi prima:

Jikan≦1{\displaystyle n\leqq 1}, makank=n{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}=n}, yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktorn=p1e1⋯prer{\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\dotsm p_{r}^{e_{r}}} dengan urutan bilangan prima yang berbedap1,…,pr{\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}} dan bilangan bulat positife1,…,er{\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{r}}. Apakah semuaej{\displaystyle e_{j}} untuk1≦j≦r{\displaystyle 1\leqq j\leqq r} habis dibagik{\displaystyle k}, jadink=p1e1/k⋯prer/k{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}=p_{1}^{e_{1}/k}\dotsm p_{r}^{e_{r}/k}} adalah bilangan bulat.

Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satuj{\displaystyle j} dengan1≦j≦r{\displaystyle 1\leqq j\leqq r}, sehinggaej{\displaystyle e_{j}} tidak habis dibagik{\displaystyle k}, makank{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}} adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalambukti irasional akar 2 dalam Euklides, yang pada dasarnya adalah kasus khususn=k=2{\displaystyle n=k=2} dari pembuktian ini.

Misalkannk{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}} adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan aslia{\displaystyle a} danb{\displaystyle b}:

nk=ab{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}={\frac {a}{b}}}.

Dengan menaikkan persamaan ke kuasa

n=akbk{\displaystyle n={\frac {a^{k}}{b^{k}}}}

dan mengikuti

nbk=ak{\displaystyle nb^{k}=a^{k}}.

Faktorisasi primapj{\displaystyle p_{j}} muncul padaak{\displaystyle a^{k}} ataubk{\displaystyle b^{k}},k{\displaystyle k} lebih digunakan daripadaa{\displaystyle a} ataub{\displaystyle b}, setidaknya dalam perkalian yang dibagi dengank{\displaystyle k}, dimana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Padan{\displaystyle n} disesuaikan dengan prasyarat pada perkalianej{\displaystyle e_{j}} yang tidak habis dibagik{\displaystyle k}. Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagik{\displaystyle k}, tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu,nk{\displaystyle {\sqrt[{k}]{n}}} adalah irasional.

Hukum Akar

[sunting |sunting sumber]

Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untukkuasa.

Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positifa{\displaystyle a} danb{\displaystyle b} dann,m,k∈N{\displaystyle n,m,k\in \mathbb {N} }:

Dengan bilangan negatifa{\displaystyle a} danb{\displaystyle b}, hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jikam{\displaystyle m} dann{\displaystyle n} adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya,nilai utama) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satuakar satuan.

Barisan

[sunting |sunting sumber]

Limit barisan berikut ini berlaku:

Ini mengikuti dari pertidaksamaann<(1+2n2)n{\displaystyle n<\left(1+{\sqrt[{2}]{\tfrac {2}{n}}}\right)^{n}}, yang ditunjukkan dengan bantuanteorema binomial.
seperti dilihat dari representasi eksponensial darinn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{n}}}.

Fungsi akar

[sunting |sunting sumber]

Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk

f:R0+→R0+,x↦xn{\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}} ataux↦xmn{\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x^{m}}}}

yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalahfungsi kuasa, yang berlakuxmn=xmn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{\frac {m}{n}}}.

Identitas dan sifat

[sunting |sunting sumber]

Mengekspresikan derajat akar pangkat n dalam bentuk eksponen, seperti dalamx1/n{\displaystyle x^{1/n}}, mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jikaa{\displaystyle a} adalahbilangan real non-negatif,

amn=(am)1/n=am/n=(a1/n)m=(an)m.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}

Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar pangkat n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatifa{\displaystyle a} danb{\displaystyle b} langsung dalam bilangan real:

abn=anbnabn=anbn{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}

Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar pangkat n dari negatif ataubilangan kompleks. Misalnya:

−1×−1≠−1×−1=1,{\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }, namun, lebih tepatnya adalah−1×−1=i×i=i2=−1.{\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}

Karena kaidahan×bn=abn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}} hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.

Bentuk sederhana dari ekspresi radikal

[sunting |sunting sumber]

Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalambentuk sederhana jika[10]

  1. Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
  2. Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
  3. Tidak ada radikal dalam penyebutnya.

Misalnya, untuk menulis ekspresi akar325{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}} dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:

325=16×25=425{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\times 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}}

Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:

425=425{\displaystyle 4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}

Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:

425=425⋅55=4105=4510{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}

Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi.[11][12] Misalnya menggunakanfaktorisasi jumlah dua kubus:

1a3+b3=a23−ab3+b23(a3+b3)(a23−ab3+b23)=a23−ab3+b23a+b.{\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}

Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkanradikal tersarang bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:

3+22=1+2{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}}

Di atas dapat diturunkan melalui:

3+22=1+22+2=12+22+22=(1+2)2=1+2{\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}

Misalkanr=p/q{\displaystyle r=p/q}, denganp danq berkoprima dan bilangan bulat positif. Makarn=pn/qn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}} adalah rasionaljika dan hanya jika keduanyapn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}} danqn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}} adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baikp danq adalah kuasa ke-n dari beberapa bilangan bulat.

Deret tak hingga

[sunting |sunting sumber]

Radikal atau akar yang diwakili olehderet tak hingga:

(1+x)st=∑n=0∞∏k=0n−1(s−kt)n!tnxn{\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}

dengan|x|<1{\displaystyle |x|<1}. Ekspresi ini diturunkan darideret binomial.

Menghitung akar utama

[sunting |sunting sumber]

Menggunakan metode Newton

[sunting |sunting sumber]

Akar ke-n dari bilanganA dihitung denganmetode Newton. Mulailah dengan tebakan awalx0 dan kemudian ulangi menggunakanrelasi perulangan

xk+1=n−1nxk+Anxkn−1{\displaystyle x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}x_{k}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}

until the desired precision is reached. Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkann = 5,A = 34 danx0 = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:
x0 = 2
x1 = 2.025
x2 = 2.024397817
x3 = 2.024397458
x4 = 2.024397458
Perkiraanx4 adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.

Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagaipecahan kontinu umum untuk akar pangkat n. Misalnya,

zn=xn+yn=x+ynxn−1+(n−1)y2x+(n+1)y3nxn−1+(2n−1)y2x+(2n+1)y5nxn−1+(3n−1)y2x+⋱.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}

Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10)

[sunting |sunting sumber]
Segitiga Pascal menunjukkanP(4,1)=4{\displaystyle P(4,1)=4}.

Membangunperhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat, dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana,x(20p+x)≤c{\displaystyle x(20p+x)\leq c}, ataux2+20xp≤c{\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}, mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar pangkat n suatu bilanganP(n,i){\displaystyle P(n,i)} didefinisikan sebagai nilai elemeni{\displaystyle i} pada barisn{\displaystyle n} dari Segitiga Pascal sehinggaP(4,1)=4{\displaystyle P(4,1)=4} dapat ditulis ulang ekspresi sebagai∑i=0n−110iP(n,i)pixn−i{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}. Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi iniy{\displaystyle y}. Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.

Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritmapembagian panjang, dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.

Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:

  1. Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan10n{\displaystyle 10^{n}} dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadinilai saatc.
  2. Temukanp danx, sebagai berikut:
  3. Kurangiy{\displaystyle y} daric{\displaystyle c} untuk membentuk sisa baru.
  4. Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.

Contoh

[sunting |sunting sumber]

Temukan akar kuadrat dari 152,2756.

  1  2. 3  4  /     \/  01 52.27 56
         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1 01                     y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2 00 44                  y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3 07 29               y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4 98 56            y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856               00 00          Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34

Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.

   1   6.  1   2   43  /  \/  004 192.000 000 000
      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1 001                        y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6 003 096                    y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1 077 281                y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2 015 571 928        y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4                               Presisi yang diinginkan tercapai:                               Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12

Perhitungan logaritma

[sunting |sunting sumber]

Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakanlogaritma. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikanr sebagai akar pangkat n, yaiturn=x,{\displaystyle r^{n}=x,} denganx positif dan oleh karena itu akar utamanyar juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi (basis logaritma akan dilakukan) untuk mendapatkan

nlogb⁡r=logb⁡xoleh karena itulogb⁡r=logb⁡xn.{\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{oleh karena itu}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}

Akarr dengan mengambilantilog:

r=b1nlogb⁡x.{\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}

(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasab dengan hasil pembagian, bukanb dikalikan dengan hasil pembagian.)

Untuk kasus dimanax negatif dann ganjil, ada satu akar realr yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan|r|n=|x|,{\displaystyle |r|^{n}=|x|,} kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |r|, dan menggunakanr = −|r|.

Konstrukbilitas geometris

[sunting |sunting sumber]

Matematikawan Yunani kuno tahu bagaimanamenggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garissatuan panjang diberikan. Pada tahun 1837Pierre Wantzel membuktikan bahwa akar pangkat n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jikan bukanlah kuasa 2.[13]

Akar kompleks

[sunting |sunting sumber]

Setiapbilangan kompleks selain 0 memilikin akar pangkat n yang berbeda.

Akar kuadrat

[sunting |sunting sumber]
Akar kuadrat darii

Dua akar kuadrat dari bilangan kompleks tetap negatif satu sama lain. Misalnya, akar kuadrat dari−4 adalah2i dan−2i, dan akar kuadrat darii adalah

12(1+i)dan−12(1+i).{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{dan}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}

Apabila kita menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, maka akar kuadrat memperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari jari-jari dan membagi dua sudut:

reiθ=±r⋅eiθ/2.{\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}

Akarutama dari bilangan kompleks dapat dipilih dengan berbagai cara, misalnya

reiθ=r⋅eiθ/2{\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}

yang memperkenalkancabang potong pafamedan kompleks sepanjangsumbu real positif dengan kondisi0 ≤ θ < 2π, atau sepanjang sumbu real negatif dengan−π < θ ≤ π.

Dengan menggunakan cabang pertama(terakhir) potong akar kuadrat utamaz{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}} memetakanz{\displaystyle \scriptstyle z} ke setengah medan dengan bagian imajiner (real) non-negatif. Cabang potong terakhir diandaikan dalamperangkat lunak matematika sepertiMatlab atauScilab.

Akar satuan

[sunting |sunting sumber]
Tiga akar ke-3 dari 1
Artikel utama:Akar satuan

Bilangan 1 memilikin akarn yang berbeda pada medan kompleks, yaitu

1,ω,ω2,…,ωn−1,{\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}

dimana

ω=e2πin=cos⁡(2πn)+isin⁡(2πn){\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}

Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitarlingkaran satuan pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari2π/n{\displaystyle 2\pi /n}. Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari satuan adalah 1,i{\displaystyle i}, −1, dan−i{\displaystyle -i}.

Akar ke-n

[sunting |sunting sumber]
Wakilan geometris dari akar ke-2 hingga ke-6 bilangan kompleksz, dalam bentuk polarreiφ  dimanar = |z | danφ = argz. Ifz adalah real,φ = 0 atauπ. Akar utama ditampilkan dalam warna hitam.

Setiap bilangan kompleks memilikin akar pangkat n yang berbeda pada medan kompleks. Maka, ini adalah

η,ηω,ηω2,…,ηωn−1,{\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}

dimanaη adalah akar tunggal ke-n, dan 1, ω, ω2, ... ωn−1 adalah akar akar satuan ke-n. Misalnya, empat akar keempat yang berbeda dari 2 adalah

24,i24,−24,dan−i24.{\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{dan}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}

Dalam bentuk polar, akar pangkat n tunggal dapat ditemukan dengan rumus

reiθn=rn⋅eiθ/n.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}

Disinir adalah magnitudo (modulus, juga disebutnilai absolut) dari bilangan yang akarnya akan diambil; jika bilangan tersebut dapat ditulis sebagaia+bi makar=a2+b2{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}. Juga,θ{\displaystyle \theta } adalah sudut yang dibentuk sebagai salah satu poros pada titik asal berlawanan arah jarum jam dari sumbu horizontal positif ke sinar dari titik asal ke bilangan; yang memiliki sifatcos⁡θ=a/r,{\displaystyle \cos \theta =a/r,},sin⁡θ=b/r,{\displaystyle \sin \theta =b/r,}, dantan⁡θ=b/a.{\displaystyle \tan \theta =b/a.}

Dengan demikian, menemukan akar pangkat n pada medan kompleks dibagi menjadi dua langkah. Pertama, besar semua akar pangkat n adalah akar pangkat n dari besaran bilangan asli. Kedua, sudut antara sumbu horizontal positif dan sinar dari titik asal ke salah satu akar pangkat n adalahθ/n{\displaystyle \theta /n}, dimanaθ{\displaystyle \theta } adalah sudut yang didefinisikan dengan cara yang sama untuk bilangan akar yang akan diambil. Selanjutnya, semuan dari akar pangkat n berada pada sudut yang sama jarak satu sama lain.

Jikan adalah genap, akar pangkat n adalah bilangan kompleks, dimana terdapat bilangan genap, datanglah berpasanganaditif invers, sehingga jika suatu bilanganr1 adalah salah satu akar pangkat n makar2 = –r1 adalah lainnya. Ini karena menaikkan koefisien yang terakhir -1 ke kuasa ke-n untuk genapn menghasilkan 1: yaitu, (–r1)n = (–1)n ×r1n =r1n.

Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikanfungsi kontinu untuk seluruh medan kompleks, tetapi memilikicabang potong pada titik dimanaθ /n adalah takkontinu.

Menyelesaikan polinomial

[sunting |sunting sumber]
Lihat pula:Algoritma pencarian akar

Salah satukonjektur bahwa semuapersamaan polinomial sebagaipenyelesaian aljabar (yaitu, bahwa semua akar daripolinomial dinyatakan dalam jumlah hingga radikal danoperasi dasar). Namun, sementara ini berlaku untuk polinomial derajat ketiga (kubik) dan polinomial derajat keempat (kuartik),Teorema Abel–Ruffini (1824) menunjukkan bahwa ini tidak benar secara umum ketika derajatnya 5 atau lebih besar. Misalnya, solusi persamaan

x5=x+1{\displaystyle x^{5}=x+1}

tidak dinyatakan dalam bentuk radikal. (cf.persamaan kuintik)

Bukti irasionalitas untuk kuasa ke-n taksempurnax

[sunting |sunting sumber]

Asumsikan bahwaxn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} adalah rasional. Artinya, mereduksi menjadi pecahanab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}, dimanaa danb adalah bilangan bulat tanpa faktor persekutuan.

Ini berarti bahwax=anbn{\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}.

Karenax adalah bilangan bulat,an{\displaystyle a^{n}} danbn{\displaystyle b^{n}} harus memiliki faktor persekutuan jikab≠1{\displaystyle b\neq 1}. Ini berarti jikab≠1{\displaystyle b\neq 1},anbn{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}} tidak dalam bentuk sederhana. Jadib harus sama dengan 1.

Karena1n=1{\displaystyle 1^{n}=1} dann1=n{\displaystyle {\frac {n}{1}}=n},anbn=an{\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}.

Ini berartix=an{\displaystyle x=a^{n}} dan dengan demikian,xn=a{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}. Maka, ini menyatakan bahwaxn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} adalah bilangan bulat. Karenax bukanlah kuasa ke-n sempurna, kemungkinan tidak. Jadixn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} adalah irasional.

Sejarah

[sunting |sunting sumber]
Artikel utama:Akar kuadrat § Sejarah, danAkar kubus § Sejarah

Istilah kuno untuk operasi pengambilan akarn adalahradikasi.[14]

Lihat pula

[sunting |sunting sumber]

Referensi

[sunting |sunting sumber]
  1. ^Bansal, R.K. (2006).New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. hlm. 25.ISBN 978-81-318-0013-3. 
  2. ^Silver, Howard A. (1986).Algebra and trigonometryPerlu mendaftar (gratis). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.ISBN 978-0-13-021270-2. 
  3. ^Koesmartono; Rawuh (1973).Matematika Pendahuluan. Bandung: Penerbit ITB. Parameter|url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
  4. ^"Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Mathematics Pages by Jeff Miller. Diakses tanggal2008-11-30. 
  5. ^Untuk kesulitan dengan keunikan hukum lihatakar bilangan kompleks.
  6. ^Kesalahan pengutipan: Tag<ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamaMathematik_2008/1
  7. ^DIN 1302:1999Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  8. ^EN ISO 80000-2:2020Größen und Einheiten – Bagian 2:Mathematik
  9. ^T. Arens, F. Hettlich et al.:Mathematik. 2008, S. 122.
  10. ^McKeague, Charles P. (2011).Elementary algebra. hlm. 470.ISBN 978-0-8400-6421-9. 
  11. ^B.F. Caviness, R.J. Fateman,"Simplification of Radical Expressions",Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, hal. 329.
  12. ^Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals",Journal of Symbolic Computation1:189–210 (1985)DOI:10.1016/S0747-7171(85)80014-6.
  13. ^Wantzel,M. L. (1837),"Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas",Journal de Mathématiques Pures et Appliquées,1 (2): 366–372 .
  14. ^"Arti Radikasi".www.lektur.id.com. 

Pranala luar

[sunting |sunting sumber]
Lihat entrisurda di kamus bebas Wikikamus.
Lihat entriradikal di kamus bebas Wikikamus.

Templat:Hiperorperasi

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Akar_bilangan&oldid=24908691"
Kategori:
Kategori tersembunyi:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp