Այս երեք երկրաչափական պատկերների ընդհանուր մակերեսը կազմում է մոտավորապես 15.59 վանդակ։ Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում էերկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տրված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելուկոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։
Մակերեսը միավորքառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ2 է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։
Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։
Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։
Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։
Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.
Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է; Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի; Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են; Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։
Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։
Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝
1մ2 =100սմ2 =1000000մմ2 =10-6 կմ2 Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ2
1ար=100 քառակուսի մետր Չնայած նրան, որար ը դուրս է եկել գործածությունից,հեկտար ը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝
1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ2 ) Հողի չափման մյուս տարածված միավորն էակր ը՝
1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։ Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։
Պատկերը Բանաձևը Փոփոխականները Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն 1 4 3 s 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!} s {\displaystyle s} Եռանկյունի s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!} s {\displaystyle s} կիսապարագիծն է,a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} 1 2 a b sin ( C ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} C {\displaystyle C} անկյունը ։1 2 b h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!} b {\displaystyle b} h {\displaystyle h} Շեղանկյունի 1 2 a b {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} Զուգահեռագիծ b h {\displaystyle bh\,\!} b {\displaystyle b} h {\displaystyle h} Սեղան 1 2 ( a + b ) h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} h {\displaystyle h} Շրջան π r 2 կամ π d 2 4 {\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{կամ}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!} r {\displaystyle r} d {\displaystyle d} Շրջանի սեկտոր θ 2 r 2 կամ L ⋅ r 2 {\displaystyle {\frac {\theta }{2}}r^{2}\ {\text{կամ}}\ {\frac {L\cdot r}{2}}\,\!} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } ռադիաններով ,L {\displaystyle L} Էլիպս π a b {\displaystyle \pi ab\,\!} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
S = π r 2 . {\displaystyle \mathrm {S} =\pi r^{2}.\,} S = π d 2 4 {\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,} S = a 2 . {\displaystyle \mathrm {S} =a^{2}.\,}
S = 1 2 b h {\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh} S △ A B C = 1 2 b h b {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}} , քանի որ h b = a sin γ {\displaystyle \ h_{b}=a\sin \gamma } S △ A B C = 1 2 a b sin γ {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } S △ A B C = 1 2 r ( a + b + c ) = p r {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr} S △ A B C = a b c 4 R {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}} S △ A B C = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = 1 4 ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}} Հերոնի բանաձև S △ A B C = a 2 sin β sin γ 2 sin α {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}} S △ A B C = 2 R 2 sin α sin β sin γ {\displaystyle S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }} S △ A B C = 1 2 | x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 | = | x A ( y B − y C ) + x B ( y C − y A ) + x C ( y A − y B ) | 2 = {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=} = | ( x B − x A ) ( y C − y A ) − ( x C − x A ) ( y B − y A ) | 2 {\displaystyle ={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}} S △ A B C = a b 2 = r 2 + 2 r R {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR} S △ A B C = c 2 2 ( c t g α + c t g β ) {\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}} Որտեղ
h b {\displaystyle \ h_{b}} b {\displaystyle \ b} p = a + b + c 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} r {\displaystyle \ r} R {\displaystyle \ R} ( x A , y A ) ; ( x B , y B ) ; ( x C , y C ) {\displaystyle \ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} m {\displaystyle m} h {\displaystyle h}
S = ( a + b ) 2 h = m h {\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h=\displaystyle mh}
սեղանի մակերեսըa {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d}
S = a + b 4 | a − b | ( a + c + d − b ) ( a + d − b − c ) ( a + c − b − d ) ( b + c + d − a ) . {\displaystyle S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}
հավասարակողմ սեղանի մակերեսըr {\displaystyle r} α {\displaystyle \alpha }
S = 4 r 2 sin α {\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}
մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա
S = 8 r 2 {\displaystyle S=\displaystyle 8r^{2}}
