Movatterモバイル変換

[0]ホーム

Ugrás a tartalomhoz

Zérusosztó

Hivatkozások szerkesztése

Ellenőrzött

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2021. szeptember 24.

Pontosság

ellenőrzött

Azabsztrakt algebrában egyzéruselemes grupoid valamely nemnulla $a {\displaystyle a}$ elemétbal oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla $b {\displaystyle b}$ eleme, hogy $ab=0$ teljesül.

Hasonlóan, egyzéruselemes grupoid valamely nemnulla $b {\displaystyle b}$ elemétjobb oldali zérusosztónak nevezzük, ha van az adott struktúrának olyan nemnulla $a {\displaystyle a}$ eleme, hogy $ab=0$ teljesül.

Azt mondjuk, hogy az $(A,\cdot )$ grupoid nemnulla $a\in A$ elemezérusosztó (vagy más névennullosztó), ha egyidejűleg bal oldali zérusosztó és jobb oldali zérusosztó, azaz valamely nemnulla $b,c\in A$ elemekre $b\cdot a=0$ és $a\cdot c=0$ teljesül.

Kommutatív struktúrákban a bal oldali zérusosztók és a jobb oldali zérusosztók megegyeznek, azaz minden bal oldali zérusosztózérusosztó.

Az $(A,\cdot )$ grupoidzérusosztómentes (nullosztómentes), ha nincs zérusosztója, azaz ha $a,b\neq 0$ , akkor $ab\neq 0$ .

Példák

[szerkesztés]

Azegész számok $\mathbb {Z}$ gyűrűjében nincsenek zérusosztók, azaz zérusosztómentes, de a $\mathbb {Z} ^{2}$ gyűrűben (ahol az összeadást és a szorzást komponensenként végrehajtott összeadásként, illetve szorzásként definiáljuk) a (0,1) × (1,0) = (0,0), tehát (0,1) és (1,0) zérusosztók.
A 2x2-esmátrixok gyűrűjében az

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}

elem zérusosztó, mert

{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}

illetve ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

A $\mathbb {Z} _{6}$ gyűrűben 2·3 = 0.

Viszont általában mindenferdetest mentes a zérusosztóktól.

Tulajdonságok

[szerkesztés]

A bal oldali zérusosztóknak és a jobb oldali zérusosztóknak sohasem létezik az inverze, mert haa elem inverze létezik ésab = 0, akkor 0 =a^‒10 =a^‒1ab =b.

Gyűrűkben minden az egységelemtől különböző nemnullaidempotens elem zérusosztó, mivela² =a következménye, hogya(a ‒ 1) = (a ‒ 1)a = 0 is teljesül. A gyűrűk nemzérusnilpotens elemei szintén zérusosztók.

A zérusosztóknak fontos szerepe van az egyenletek megoldhatóságában:ab=ac-ból akkor következikb=c, haa nem (bal oldali) nullosztó.

A zérusosztómentes gyűrűkben minden elem additívrendje megegyezik, ezt a közös rendet a gyűrűkarakterisztikájának hívjuk. Azegységelemes,kommutatív, zérusosztómentes gyűrűketintegritástartományoknak nevezzük.