Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ugrás a tartalomhoz
Wikipédia
Keresés

Természetes számok

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2024. október 31.2 változtatás vár ellenőrzésre.

Pontosságellenőrzött

Természetes számoknak nevezik

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatban.

A természetes számokhalmazát amatematikában egy tipográfiailag kiemeltfélkövérN{\displaystyle \mathbf {N} } vagy „blackboard bold” (kontúros)N{\displaystyle \mathbb {N} } (Unicode: U+2115) betűvel jelölik (a latinnaturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazánakmegszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

A természetes számok az összeadásra és a szorzásra kommutatív félgyűrűt alkotnak.

Történelmi vonatkozások

[szerkesztés]

A „természetes” elnevezés eredete

[szerkesztés]

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a19. század végén alakult ki.R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).[5]Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében[6] (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.[7] XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?

[szerkesztés]

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

„természetes számok: pozitív egész számok;”[8]
„A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.”[9]
„Tegyük fel, hogyA⊂N{\displaystyle A\subset \mathbb {N} }, és
i)1∈N{\displaystyle 1\in \mathbb {N} },
ii) mindenn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } esetében(n+1)⊂A{\displaystyle (n+1)\subset A}.
EkkorA=N{\displaystyle A=\mathbb {N} }.
...
... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
N∗:=N∪{0}{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}:=\mathbb {N} \cup \{0\}}   jelölést.”[10]

A19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeketN0{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}, a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedigN1{\displaystyle \mathbb {N} _{1}} vagyN+{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} szimbólummal jelölik[forrás?]; azN{\displaystyle \mathbb {N} } jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. AzN∗{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogyG. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól,Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említettN0 ésN1 jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.[11]

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika

[szerkesztés]
Bővebben:Peano-aritmetika

Mindenmatematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt azaxiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mintelsőrendű elmélet aPeano-aritmetika, jelben:PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

APAalapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyetnullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel (egybemenetű névfunktor), melyetrákövetkezés vagyszukceszor operátornak mondunk (szemléletesenn' azn számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz azösszeadás és a⋅{\displaystyle \cdot } függvényjel, ami aszorzás.

APAaxiómái a következők (azn,m,k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n'≠{\displaystyle \neq } 0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m'⇒{\displaystyle \Rightarrow } n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n⋅{\displaystyle \cdot } 0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n⋅{\displaystyle \cdot } m' = (n⋅{\displaystyle \cdot } m) + n
("elődisztributivitás")
(P7) ( F(0) & (F(n)⇒{\displaystyle \Rightarrow } F( n' ) ) )⇒{\displaystyle \Rightarrow } F(n)
(ateljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

0≠1{\displaystyle 0\neq 1}

A természetes számok a halmazelméletben

[szerkesztés]

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0, ', +,⋅{\displaystyle \cdot }) rendezett 5-öst, aholN halmaz, 0 ∈ N, ' :N→{\displaystyle \rightarrow } N függvény, +:N×{\displaystyle \times } N→{\displaystyle \rightarrow } N, és⋅{\displaystyle \cdot }:N×{\displaystyle \times } N→{\displaystyle \rightarrow } N pedig művelet, melyekre teljesülnek aPA rendszer axiómái.

Standard modell

[szerkesztés]

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},…}{\displaystyle \{\emptyset ,\;\{\emptyset \},\;\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\;\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\ldots \}}

halmaz. Itt rendre

0:=∅{\displaystyle 0:=\emptyset }
1:={∅}={0}{\displaystyle 1:=\{\emptyset \}=\{0\}}
2:={∅,{∅}}={0,1}{\displaystyle 2:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}}
3:={∅,{∅},{∅,{∅}}}={0,1,2}{\displaystyle 3:=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}=\{0,1,2\}}
…{\displaystyle \ldots \,}

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen),számosságát az

ℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}

(alef null – ittℵ{\displaystyle \aleph } a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mintrendszámra gondolunk rá, akkor az

ω{\displaystyle \omega \,}

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel)jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságok

[szerkesztés]

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatívfélcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúráta természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúráta természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

Axiomatizálás

[szerkesztés]

Először Richard Dedekind definiálta axiómákkal a természetes számokat 1888-ban implicit módon.[12] Ettől függetlenül Giuseppe Peano 1889-ben egyszerűbb és formálisan precíz axiómarendszert adott meg.[13][14] Ezeket a Peano-axiómákat elterjedten használják. Mivel az eredetihez másodfokú predikátumlogika szükséges, azért használják ennek gyengébb változatát, a Peano-aritmetikát.[15] Más, hasonló axiómarendszerek a Robinson-aritmetika és a primitív rekurzív aritmetika.

A természetes számok definiálhatók a Peano-axiomákkal. Ekkor a természetes számok halmaza az, ami eleget tesz a Peano-axiómáknak. Végtelen sok halmaz van, ami megfelel ezeknek a kritériumoknak, de ezek csak a jelölésben különböznek, a viselkedésük ugyanaz. A matematikában ezt izomorfiának nevezik. Ezt az eredménytDedekind-féle egyértelműségi tételnek nevezik. Emiatt lehetséges a természetes számokról beszélni.

Neumann János modellje

[szerkesztés]

Neumann Jánosnak sikerült a természetes számokat halmazokkal ábrázolnia, azaz megalkotta a természetes számok halmazelméleti modelljét:

0:= ∅1:=0′={0}={∅}2:=1′={0,1}={∅,{∅}}3:=2′={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}⋮(n+1):=n′={0,1,…,n}=n∪{n}{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0&:=&&&&\quad \ \emptyset \\1&:=0'&&=\{0\}&&=\{\emptyset \}\\2&:=1'&&=\{0,1\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\\3&:=2'&&=\{0,1,2\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\\&\vdots &&&&\\(n+1)&:=n'&&=\{0,1,\ldots ,n\}&&=n\cup \{n\}\end{alignedat}}}

A kiindulási elem a „0“ a∅{\displaystyle \emptyset } üres halmaz. Az „1“ az az egyelemű halmaz, aminek egyetlen eleme a nulla. Ez különbözik az üres halmaztól, mivel annak nulla eleme van.

A rákövetkezési reláció azt a halmazt adja, ami tartalmazza az adott halmaz összes elemét, és a halmazt is. Más szavakkal, az adott halmaz és az azt egyelemű halmazként tartalmazó halmaz uniója. Ez utóbbi diszjunkt az adott halmaztól, így minden halmaz különbözik az előzőtől, tehát a rákövetkező reláció injektív.

Az egyes természetes számok létezését már a gyenge halmazelméleti axiómák biztosítják. A természetes számokN{\displaystyle \mathbb {N} } vagyN0{\displaystyle \mathbb {N} _{0}} halmazának létezéséhez a Zermelo-Fraenkel-axiómarendszerben egy külön axiómának, a végtelenségi axióma biztosítja.

A konstrukció további folytatása, illetve további megelőző számok nélküli számok definiálása a rendszámokat hozza létre.

A valós számok részhalmaza

[szerkesztés]

A természetes számok definiálhatók induktívan, a valós számok közül kiválasztva.[16]

A valós számok egyM{\displaystyle M} részhalmaza induktív, ha teljesíti a következőket:

  1. 0 elemeM{\displaystyle M}-nek
  2. Hax{\displaystyle x} eleme azM{\displaystyle M} halmaznak, akkorx+1{\displaystyle x+1} is eleme azM{\displaystyle M} halmaznak.

EkkorN0{\displaystyle \mathbb {N} _{0}} azR{\displaystyle \mathbb {R} } induktív halmazainak metszete.

További információk

[szerkesztés]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. ↑Hajnal Imre:Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1987
  2. ↑Szász Gábor:Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 21. o.
  3. ↑Négyjegyű függvénytáblázatok – Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések, Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997,ISBN 963-18-7970-4
  4. ↑Matematikai kislexikon, Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1972
  5. ↑Richard Dedekind:A folytonosság és az irracionális számok (angol nyelven, W. W. Beman ford.); 15. old.
  6. ↑Grosschmid Lajos:A négyzetes binóm-kongruencziák gyökeiről. Mathematikai és Physikai Lapok XX. (1911). Kiadja a Mathematikai és Physikai Társulat. Teljes cikk 4.-72. old., hivatkozások: 53. és 61. o.
  7. ↑Dirichlet, P. G. L. -Dedekind, R.:Vorlesungen über Zahlentheorie. Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1894.
  8. ↑Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)
  9. ↑Obádovics József Gyula:Matematika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal
  10. ↑Kósa András:Ismerkedés a matematikai analízissel (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal
  11. ↑Kennedy, Hubert C.:Peano's Concept of Number[halott link]. Hist. Mat. I./4. (1974. nov.). 387-408. o. Hiv. beill.: 2013-07-02.
  12. ↑Dedekind:Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1888.
  13. ↑Peano:Arithmetices principia nova methodo exposita. Turin 1889.
  14. ↑Zur Unabhängigkeit von Dedekind siehe: Hubert Kennedy:The origins of modern Axiomatics. In:American Mathematical monthly. 79 (1972), S. 133–136. Auch in: Kennedy:Giuseppe Peano. San Francisco 2002, S. 35 f.
  15. ↑Rautenberg (2007), Kap. 11.
  16. ↑Martin Barner, Friedrich Flohr:Analysis I. Walter de Gruyter, Berlin 2000,ISBN 978-3110167795, S. 21–23.

Források

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]
  • Ez a szócikk részben vagy egészben aNatürliche Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Természetes_számok&oldid=27558589”
Kategória:
Rejtett kategóriák:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp