Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ugrás a tartalomhoz
Wikipédia
Keresés

Sík (geometria)

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2024. november 20.

Pontosságellenőrzött

A 3koordinátasík

Asík ageometriában, azon belül tipikusan a kétdimenzióssíkgeometriában és a háromdimenzióstérgeometriában fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum.Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza.

Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.

Definíciója

[szerkesztés]

Euklidész azElemekben (azegyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja:Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot:Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

[szerkesztés]

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

  • Kétdimenziós objektum,[1] azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
  • Három nem kollineáris[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
  • Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Önálló objektum

[szerkesztés]
A legkisebb projektív sík (hét pont, hét egyenes)
A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)

Klasszikus síkfogalom

[szerkesztés]

A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát aHilbert-féle axiómarendszer írja le.

Descartes óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival,R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}-tel. Más szóval,R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.

Projektív sík

[szerkesztés]

Aprojektív sík megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük.

Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják leR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.

Általánosítások

[szerkesztés]

Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel.

A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőlegesK{\displaystyle K}testet használunk. Így jutunk aK2{\displaystyle K^{2}} kétdimenziós vektorterekhez, melyekaffin síkokat írnak le. AK3{\displaystyle K^{3}} affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel.

HaK=C{\displaystyle K=\mathbb {C} }, akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. HaK{\displaystyle K} véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha példáulK=F2{\displaystyle K=\mathbb {F} _{2}}, akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk.

Topológiai értelemben a sík csakK=R{\displaystyle K=\mathbb {R} } esetén felület. AK=C{\displaystyle K=\mathbb {C} } esetben komplex felület.

Sík megadása az analitikus geometriában

[szerkesztés]
A sík egyenlete
A sík paraméteres egyenlete
Két metsző sík

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki.

Legyen(x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} a sík egy pontja és egy(a,b,c){\displaystyle (a,b,c)}normálvektor.[3] Ekkor a sík egyenlete:

ax+by+cz=d{\displaystyle ax+by+cz=d}

ahol adkonstans a következőképpen adódik:

d=ax0+by0+cz0{\displaystyle d=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}}

A sík egyenlete askaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

⟨(x,y,z),(a,b,c)⟩=d{\displaystyle \langle {\mathbf {(} x,y,z)},{\mathbf {(} a,b,c)}\rangle =d}

A tengelymetszeti egyenlet alakja:

xx0+yy0+zz0=1{\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1}

ahol(x0,0,0){\displaystyle (x_{0},0,0)},(0,y0,0){\displaystyle (0,y_{0},0)} és(0,0,z0){\displaystyle (0,0,z_{0})} a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term.

A sík paraméteres egyenlete:

x→=p→+su→+tv→{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}}    s,t∈R{\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }

alakú, aholp→{\displaystyle {\vec {p}}} támaszvektor,u→{\displaystyle {\vec {u}}} ésv→{\displaystyle {\vec {v}}} irányvektorok. Ap→{\displaystyle {\vec {p}}} pont a sík tetszőleges pontja,u→{\displaystyle {\vec {u}}} ésv→{\displaystyle {\vec {v}}} párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordináta-rendszert feszítenek ki, amiben(s,t){\displaystyle (s,t)} a sík pontjainak koordinátái.

A sík hárompontos egyenlete

x→=p→+s(q→−p→)+t(r→−p→){\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+s({\vec {q}}-{\vec {p}})+t({\vec {r}}-{\vec {p}})}    s,t∈R{\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }

alakú, aholp→{\displaystyle {\vec {p}}},q→{\displaystyle {\vec {q}}} ésr→{\displaystyle {\vec {r}}} a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen.

A sík normálegyenlete

(x→−p→)⋅n→=0{\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0}

alakú, aholp→{\displaystyle {\vec {p}}} a sík támaszvektora, ésn→{\displaystyle {\vec {n}}} normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogyn→=u→×v→{\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}.

A sík Hesse-féle normálegyenlete

x→⋅n→0=d{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}

alakú, aholn→0{\displaystyle {\vec {n}}_{0}} egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, ésd{\displaystyle d} a sík távolsága az origótól.

Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság azRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}n{\displaystyle n}-dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszeren−2{\displaystyle n-2} egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.

Metszéspontok háromdimenziós térben

[szerkesztés]
Egyenes és sík metszete

Egyenes és sík metszete

[szerkesztés]

A térben az egyeneseket rendszerint(x(t),y(t),z(t)){\displaystyle (x(t),y(t),z(t))} paraméterábrázolással, a síkokatax+by+cz=d{\displaystyle ax+by+cz=d} egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az

ax(t)+by(t)+cz(t)=d ,{\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}

lineáris egyenlet a metszéspontt0{\displaystyle t_{0}} paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek mindent∈R{\displaystyle t\in \mathbb {R} } megoldása, akkor az egyenes a síkban van.[4]

Három sík metszéspontja

[szerkesztés]

Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni.

Legyenek a síkokεi: n→i⋅x→=di, i=1,2,3{\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}! Han→1,n→2,n→3{\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}} normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont

p→0=d1(n→2×n→3)+d2(n→3×n→1)+d3(n→1×n→2)n→1⋅(n→2×n→3) .{\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}

A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogyn→i⋅p→0=di, i=1,2,3,{\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,} és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.[4]

Pont és sík távolsága

[szerkesztés]

Ap0→=(x0,y0,z0){\displaystyle {\vec {p_{0}}}=(x_{0},y_{0},z_{0})} pont és azax+by+cz+d=0{\displaystyle ax+by+cz+d=0} egyenletű sík távolsága:

|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2{\displaystyle {\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}

Ha a sík adott ap1→=(x1,y1,z1){\displaystyle {\vec {p_{1}}}=(x_{1},y_{1},z_{1})},p2→=(x2,y2,z2){\displaystyle {\vec {p_{2}}}=(x_{2},y_{2},z_{2})},p3→=(x3,y3,z3){\displaystyle {\vec {p_{3}}}=(x_{3},y_{3},z_{3})} pontokkal, akkor a távolság számítható a

(p2→−p1→)×(p3→−p1→)|(p2→−p1→)×(p3→−p1→)|⋅(p0→−p1→){\displaystyle {\frac {({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})}{\left|({\vec {p_{2}}}-{\vec {p_{1}}})\times ({\vec {p_{3}}}-{\vec {p_{1}}})\right|}}\cdot ({\vec {p_{0}}}-{\vec {p_{1}}})}

képlettel, ahol×{\displaystyle \times } jelöli a vektoriális szorzatot,⋅{\displaystyle \cdot } a skaláris szorzatot, és||{\displaystyle \left|\quad \right|} egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az

a=y1z2−y2z1+y2z3−y3z2+y3z1−y1z3{\displaystyle a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}+y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}+y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}}
b=z1x2−z2x1+z2x3−z3x2+z3x1−z1x3{\displaystyle b=z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{3}x_{1}-z_{1}x_{3}}
c=x1y2−x2y1+x2y3−x3y2+x3y1−x1y3{\displaystyle c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}}
d=x1y2z3−x1y3z2+x2y3z1−x2y1z3+x3y1z2−x3y2z1{\displaystyle d=x_{1}y_{2}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{2}+x_{2}y_{3}z_{1}-x_{2}y_{1}z_{3}+x_{3}y_{1}z_{2}-x_{3}y_{2}z_{1}}

helyettesítést.[5]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. ↑Azn-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenzióshipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenleteax+by+c=0{\displaystyle ax+by+c=0} alakú!
  2. ↑Nem egy egyenesre illeszkedő.
  3. ↑Olyanvektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaza2+b2+c2=1{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}. Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. ↑abCDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
  5. ↑Wolfram MathWorld:Point-Plane Distance

Források

[szerkesztés]
  • Steffen Goebbels, Stefan Ritter.Mathematik verstehen und anwenden. Springer (2011) 
  • Lothar Papula.Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer (2009) 
  • Thomas Westermann.Mathematik für Ingenieure. Springer (2008) 

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben azEbene (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben azEbenengleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Sík_(geometria)&oldid=27612889”
Kategóriák:
Rejtett kategóriák:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp