Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ugrás a tartalomhoz
Wikipédia
Keresés

Pitagoraszi számhármasok

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2022. december 19.

Pontosságellenőrzött

Apitagoraszi számhármasok az egész oldalhosszúságú derékszögű háromszögek oldalhosszaiból álló számhármasok. APitagorasz-tétel értelmében az(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} pozitív egészekből álló hármas pitagoraszi számhármas, ha megoldásai azx2+y2=z2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}diofantoszi egyenletnek.

Példák

[szerkesztés]
Bővebben:Pitagoraszi számhármasok listája

A legkisebb számokból álló pitagoraszi számhármas a(3,4,5){\displaystyle (3,4,5)}, hiszen32+42=52{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}. Ebből azonnal kapható végtelen sok pitagoraszi számhármas, ugyanis bármelyd∈Z+{\displaystyle d\in \mathbb {Z} ^{+}} esetén(3d,4d,5d){\displaystyle (3d,4d,5d)} is az.

Pitagoraszi számhármasok előállítása

[szerkesztés]

Meg fogjuk mutatni, hogy azx2+y2=z2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} diofantoszi egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

x=2dst,y=d(s2−t2),z=d(s2+t2){\displaystyle x=2dst,\quad y=d(s^{2}-t^{2}),\quad z=d(s^{2}+t^{2})}

vagy ebbőlx ésy felcserélésével, ahold,s,t pozitív egész számok,s>t,s ést különböző paritásúak és relatív prímek.

Például, had=1,s=2,t=1, akkor a fenti példából ismertx=4,y=3,z=5 hármast kapjuk.

Bizonyítás

[szerkesztés]

Az ilyen alakú hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

(2dst)2+d2(s2−t2)2=4d2s2t2+d2(s4−2s2t2+t4)=d2s4+2d2s2t2+d2t4=d2(s2+t2)2.{\displaystyle \left(2dst\right)^{2}+d^{2}(s^{2}-t^{2})^{2}=4d^{2}s^{2}t^{2}+d^{2}(s^{4}-2s^{2}t^{2}+t^{4})=d^{2}s^{4}+2d^{2}s^{2}t^{2}+d^{2}t^{4}=d^{2}(s^{2}+t^{2})^{2}.}

A másik irányhoz tegyük fel, hogy azx, y, z számokrax2+y2=z2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} teljesül. Leosztva a számokd legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkorx, y ész közül bármely kettő is relatív prím. Speciálisan nem lehetx ésy egyszerre páros. De nem lehetnek egyszerre páratlanok sem, mert amúgyx2+y2{\displaystyle x^{2}+y^{2}} 2 maradékot adna 4-gyel osztva, ezért nem lehet négyzetszám.

Tehátx ésy közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjukx páros ésy páratlan. Az egyenlet szerintz is páratlan. Ekkor:

x2=z2−y2=(z+y)(z−y).{\displaystyle x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z+y)(z-y).}

A jobb oldal mindkét tényezője páros:z+y=2a{\displaystyle z+y=2a},z−y=2b{\displaystyle z-y=2b} (a,b pozitív egészek). Itta ésb relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztanáy=a−b,z=a+b{\displaystyle y=a-b,z=a+b}-t is. Mivelx2=4ab{\displaystyle x^{2}=4ab}, azazab négyzetszám,a ésb maguk is négyzetszámok:a=s2{\displaystyle a=s^{2}},b=t2{\displaystyle b=t^{2}} (s,t pozitív egészek és relatív prímek). Ezzel meg is van a kívánt előállítás:x2=4s2t2{\displaystyle x^{2}=4s^{2}t^{2}} miattx=2st{\displaystyle x=2st},y=a−b=s2−t2{\displaystyle y=a-b=s^{2}-t^{2}},z=a+b=s2+t2{\displaystyle z=a+b=s^{2}+t^{2}}. Mively pozitív és páratlan, ezérts>t is teljesül, valamints ést különböző paritású.

Források

[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Pitagoraszi_számhármasok&oldid=25618085”
Kategóriák:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp