Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ugrás a tartalomhoz
Wikipédia
Keresés

Pell-egyenlet

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2023. június 26.

Pontosságellenőrzött

APell-egyenlet(John Pell után) az egyik legegyszerűbbdiofantoszi egyenlet:x2-dy2=1, ahold>1 olyan egész szám, amely nem négyzetszám, és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusúd értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

A Pell-egyenletek megoldása

[szerkesztés]

Ha az egészd>1 szám nem négyzetszám, akkord{\displaystyle {\sqrt {d}}} irracionális, ígyDirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyanx/y racionális szám, hogy

|xy−d|<1y2.{\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}-{\sqrt {d}}\right|<{\frac {1}{y^{2}}}.}

HaK a2d+1{\displaystyle 2{\sqrt {d}}+1} után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

|x2−dy2y2|=|xy−d||xy+d|<Ky2,{\displaystyle \left|{\frac {x^{2}-dy^{2}}{y^{2}}}\right|=\left|{\frac {x}{y}}-{\sqrt {d}}\right|\left|{\frac {x}{y}}+{\sqrt {d}}\right|<{\frac {K}{y^{2}}},}

azaz|x2−dy2|{\displaystyle |x^{2}-dy^{2}|} értéke mindig legfeljebbK. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjukL-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszorx maradéka ugyanazL-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanazy maradékaL-lel osztva. Kapunk tehát két különböző(x,y) és(X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

x2−dy2=X2−dY2=L{\displaystyle x^{2}-dy^{2}=X^{2}-dY^{2}=L}

másrésztx≡X modL ésy≡Y modL.Ekkor

L2=(x2−dy2)(X2−dY2)=(xX+dyY)2−d(yX+Yx)2=(xX−dyY)2−d(yX−Yx)2{\displaystyle L^{2}=(x^{2}-dy^{2})(X^{2}-dY^{2})=(xX+dyY)^{2}-d(yX+Yx)^{2}=(xX-dyY)^{2}-d(yX-Yx)^{2}}

és itt az utóbbi jobb oldali számok közülxX-dyY ésyX-Yx oszthatókL-lel (xX-dyY ≡ x^2-dy^2 mod L és yX-Yx ≡ xy-xy mod L), azazLu ésLv alakúak. Így végigosztva L^2-tel:u2−dv2=1{\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1} adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehátv=0 lehetőségét. Valóban, ekkoryX-Yx=0, azazx/y=X/Y teljesülne.

Az összes megoldás

[szerkesztés]

Ha(x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})} azx2−dy2=1{\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1} egyenlet legkisebb pozitív megoldása, akkor a többit axn+ynd=(x1+y1d)n{\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{n}} képlettel kaphatjuk meg.

A legkisebb megoldás

[szerkesztés]

A számelmélet egyik fontos problémája, hogy mekkora egy Pell-egyenlet legkisebb megoldása.Hua Lo Keng azx2−dy2=4{\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4} egyenlet (d nem négyzetszám,d≡0,1(mod4){\displaystyle d\equiv 0,1{\pmod {4}}}) legkisebb megoldására azO(edlog⁡d){\displaystyle O(e^{{\sqrt {d}}\log d})} becslést adta.

Források

[szerkesztés]
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Pell-egyenlet&oldid=26240897”
Kategóriák:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp