A mai matematikai analízis kezdetei a tudományos forradalom időszakára, a 17. századra datálhatóak.[2] Ugyanakkor sok alapelv visszakövethető egészen korai matematikusokhoz. A korai felhasználásra és eredményekre példa a korai görög matematika: a végtelen mértani sorok márZénon egyik paradoxonában is feltűnnek.[3] Későbbi görög matematikusok, mintEudoxosz ésArkhimédész az ún. kimerítéses eljárásaikban ezeket az eljárásokat konkrétan felhasználták, például hogy kiszámítsák testek felületét és térfogatát.[4] Ázsiában kínai matematikusok a kimerítési eljárást alkalmazták, hogy meghatározzák a kör területét (i. e. 3. század).[5]Cu Csung-cse az 5. században olyan módszert alkalmaztott a gömb térfogatának meghatározásához, amely később a Cavalieri-elv néven vált ismertté.[6]Indiában, a12. századbanBhaskara példákat adott aderivált kiszámítására, és kimondta a maRolle-tétel néven ismert állítást.[7]
A 14. századbanSzangamagrámi Mádhava kifejlesztette a végtelen sorba fejtés technikáját és ahatványsorokat, valamint bizonyosszögfüggvényekre vonatkozóan alkalmazta aTaylor-sorokat.[8] Ezzel párhuzamosan azt is meghatározta, hogy mekkora a hiba nagyságrendje, ha a sorba fejtést csak egy bizonyos pontig végezzük el. Követői egészen a 16. századig dolgoztak munkája továbbfejlesztésén.
A mai modern analízis alapjait a 17. századi Európában rakták le.[2]Newton ésLeibniz egymástól függetlenül kifejlesztették azinfinitezimálisokra épülő analízist, ami később – egészen a 18. századig – olyan ágakként fejlődött tovább, mint a variációanalízis, adifferenciálegyenletek és aFourier-analízis.
A 18. századbanEuler bevezette a ma használatosfüggvény fogalmát.[9] Ezután a valós függvények analízise elkezdett különválni az analízis más részeitől. Ennek első lépése, hogyBolzano 1816-ban megalkotta a ma is használatosfolytonosság definícióját.[10] Ugyanakkor Bolzano munkája egészen az 1870-es évekig széles körben ismeretlen maradt. 1821-benCauchy megkezdte az analízis szigorú formalizálását azzal, hogy első lépésként elutasította az úgynevezettalgebra általánossága elvét, amelyet korábban elterjedten alkalmaztak az analízisben, például Euler is. Ehelyett Cauchy formalizálta az analízist, geometriai elvekre és infinitezimálisokra építve azt. Így az őfolytonosság definíciója azt követelte meg, hogy egyx infinitezimális változásáhozy-nak is infinitezimális változása tartozzék. Bevezette aCauchy-sorozatokat is, és elkezdte kidolgozni a formális definíciókra épülőkomplex analízist.Poisson, Liouville,Fourier és mások pedig a parciális differenciálegyenleteket tanulmányozták. Ezen és más matematikusok, mintWeierstrass együttműködése vezetett ahatárérték ma használt (ε, δ)-ás definíciójához, vagyis a mai modern analízis alapjához.
A 19. század közepénRiemann bevezette a sajátintegrálelméletét. A század vége felé Weierstrass, aki úgy gondolta, hogy a geometriai bizonyítások nem kielégítőek – vagy egyenesen félrevezetőek –, bevezette ahatárérték (ε, δ)-ás definícióját. Ezután a figyelem középpontjába avalós számok teljessége került.Dedekind a valós számokat Dedekind-vágással (Dedekind-szelet) vezette be, amely definíciójából következően teljes. Ezzel egy időben megindult a valós Riemann-integrálható függvények tulajdonságainak vizsgálata aszakadások tekintetében.
Az extrém és a szélső esetek is tárgyalásra kerültek, mint például az olyan függvények, amelyek mindenhol folytonosak, de sehol sem differenciálhatók; sehol nem folytonos függvények, térkitöltő görbék. Ezzel kapcsolatbanJordan bevezette a saját mértékét,Cantor pedig kifejlesztette anaiv halmazelméletet. A 20. század elején az analízist a halmazelmélet segítségével formalizálták.Lebesgue "rendet tett" amértékek tekintetében, mígHilbert az integrálegyenletek megoldásához bevezette aHilbert-tereket. 1920-ban pedigBanach megalkotta afunkcionálanalízist.
A metrikus tér olyan halmaz, amelyen értelmezett egy távolságfüggvény (metrika), amely kielégít bizonyos kritériumokat.
Az analízis kifejlesztésének nagy része különféle metrikus terekben zajlott pl.: a valós számegyenesen, a komplex számsíkon, euklidészi terekben, és más vektorterekben.
Matematikailag a metrikus tér egy rendezett pár ahol egy halmaz és a halmazon értelmezettmetrika, ami egy kétváltozós nemnegatív valós értékű függvény, vagyis:
A valós analízis a matematikai analízis azon ága amely valós függvények (valós értékű, valós argumentumú függvények) vizsgálatával foglalkozik.[11][12] Különösen ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja ideértve sorozatok konvergenciáját, határértékét folytonosságát, és egyéb tulajdonságokat.
Ez a szakasz egyelőre üres vagyerősen hiányos. Segíts te is a kibővítésében!
A funkcionálanalízis alapja a vektorterek megjelenésével jelent meg, pl.: belső szorzat, norma, topológia és a lineáris operátorok.[14][15] A funkcionálanalízis történetileg a függvényterek vizsgálatából alakult ki, ill. fontos szerepe volt a Fourier-transzformáció vizsgálatának is.
Ez a szakasz egyelőre üres vagyerősen hiányos. Segíts te is a kibővítésében!
A mérték egy függvény amely halmazokhoz rendel számokat úgy, hogy a szám összefüggésben áll valamilyen módon a halmaz "nagyságával".[16] Vagyis a mérték olyan fogalmak általánosításának feleltethető meg mint a hosszúság, terület, és térfogat. Egy különösen fontos példa aLebesgue-mérték.
A hozzárendelt számnak nemnegatív valós számnak kell lennie vagy +∞-nek. Az üres halmaz mértéke kötelezően 0., és teljesülnie kell aσ-additivitásnak. Az úgynevezett nem mérhető halmazok létezése az euklideszi térben ekvivalens azaxiomatikus halmazelmélet (ZF) kiválasztási axiómájával.
A klasszikus mechanika nagy része a relativitáselmélet, és a kvantummechanika is az analízisre épül, pontosabban a differenciálegyenletekre. Differenciálegyenlet például Newton második törvénye és a Schrödinger-egyenlet.
A funkcionálanalízis szintén fontos eleme a kvantummechanikának.
Ez a szócikk részben vagy egészben aMathematical analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
↑Stillwell. Infinite Series,, 170. o. (2004) „Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series1⁄2 +1⁄22 +1⁄23 +1⁄24 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 +1⁄4 +1⁄42 +1⁄43 + ... =4⁄3. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series”
↑Dunham, William.Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 17. o. (1999)
↑*Cooke, Roger. Beyond the Calculus,The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience,379. o. (1997).ISBN 0-471-18082-3 „Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)”
↑Rudin, Walter.Principles of Mathematical Analysis, 3rd, Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics, McGraw–Hill.ISBN 978-0-07-054235-8
Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Lavrent'ev, M. A. (eds.). 1984.Mathematics, its Content, Methods, and Meaning. 2nd ed. Translated by S. H. Gould, K. A. Hirsch and T. Bartha; translation edited by S. H. Gould. MIT Press; published in cooperation with the American Mathematical Society.
Apostol, Tom M. 1974.Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison–Wesley.ISBN 978-0-201-00288-1.
Binmore, K.G. 1980–1981.The foundations of analysis: a straightforward introduction. 2 volumes. Cambridge University Press.
Johnsonbaugh, Richard, & W. E. Pfaffenberger. 1981.Foundations of mathematical analysis. New York: M. Dekker.
