Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ugrás a tartalomhoz
Wikipédia
Keresés

Kategória (matematika)

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2025. december 30.

Pontosságellenőrzött

Egykategória (amatematikában) lényegében azonosaxiómáknak eleget tévőmatematikai struktúrák és az azok között ható művelettartó leképezések gyűjteménye. Valójában a kategória fogalma annyira általános és alapvető, hogy egyáltalán nem kell hasonló struktúrák és függvények összességeként gondolni rá. A XX. század közepén igazolták, hogy akategóriaelmélet segítségével a matematika egységes egészként láttatható csakúgy, mint korábban keletkezett riválisa, a halmazelmélet által. A kategóriaelméleten alapuló szemlélet lassan vezető szerepet kezd betölteni mind a matematikában, mind amatematikafilozófiában (strukturalizmus).

A kategória fogalma

[szerkesztés]

Egy kategória alapfogalmai azobjektumok, melyekre a kategória „elemeiként” gondolhatunk, amorfizmusok (vagynyilak), melyek az elemeket kötik össze és a morfizmusok közötti függvénykompozíció-szerű művelet. Haf nyíl aC kategóriában, akkoregyértelmű módon létezik azf nyíl kezdőpontja: egyA objektumC-ben, és végpontja: egyB objektumC-ben. Mindezt így jelöljük:

f:A⟶B{\displaystyle f:A\longrightarrow B}

Ha A, B és C objektumok és f: A→{\displaystyle \rightarrow } B, g: B→{\displaystyle \rightarrow } C nyilak, akkor

g∘f{\displaystyle g\circ f\,}

egy A-ból kiinduló, C-be érkező nyíl, melyet f és g egyértelműen meghatároz.Mindezen alapfogalmakra a következő kategóriaaxiómák teljesülnek:

ASSZOCIATIVITÁS – Ha A, B, C és D tetszőleges objektumok aC kategóriában és f: A→{\displaystyle \rightarrow } B, g: B→{\displaystyle \rightarrow } C és h : C→{\displaystyle \rightarrow } D nyilak, akkor
(h∘g)∘f=h∘(g∘f){\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}
EGYSÉGELEM – Minden X objektumhoz létezik olyan idX : X→{\displaystyle \rightarrow } X nyíl, hogy tetszőleges A, B objektumra és f : A→{\displaystyle \rightarrow } B nyílra fennáll az
idB∘f=f=f∘idA{\displaystyle id_{B}\circ f=f=f\circ id_{A}}

egyenlőség.

Belátható, hogy ekkor az A objektumhoz a fenti módon tartozó idA nyíl egyértelműen létezik.

Példák

[szerkesztés]

Aszerint, hogy egy kategória objektumainak összességehalmazt alkot vagy valódiosztályt, beszélhetünk nagy és kis kategóriákról. A kategóriák jellemzően nagy („abszolút végtelen”) terjedelmű matematikai összességek, mindazonáltal léteznek halmazméretűek is.

  • Az összes halmazok osztálya az összes halmazelméleti függvénnyel, mint morfizmusokkal ellátva alkotja aSet kategóriát, a halmazok kategóriáját.
  • Az összescsoportok osztálya a csoport-homomorfizmusokkal, mint morfizmusokal ellátva alkotja a csoportokGrp kategóriáját.
  • Az összestestek a testhomomorfizmusokkal szintén kategóriát alkotnak.
  • Az összes Ttest felettivektorterek alkotják aVectT kategóriát.
  • Az összes topológiák a folytonos függvényekkel aTop kategóriát alkotják.

Ezek mindegyike nagy kategória. Most lássunk néhány kis kategóriát.

  • EgyG irányítottgráf, a gráf csúcsaival, mint objektumokkal és a gráf éleivel, mint morfizmusokkal kategóriát alkot. A morfizmus-kompozíció itt az irányított élek (nyílfolytonos) egymás után fűzése (konkatenációja).
  • MindenMmonoid származtat egy kategóriát. Választunk tetszőlegesen egy {s} egyelemű halmazt („szingleton”), ez lesz az objektumok halmaza. A nyilak a monoid elemei, az f: A→{\displaystyle \rightarrow } B reláció az összes (x,s,s) hármasok halmaza, melyben x a monoid elemeit, s pedig a szingleton elemét jelenti (tehát minden x ∈ M esetén x: s→{\displaystyle \rightarrow } s teljesül), a kompozíció pedig a monoid művelete. Világos, hogy ez a konstrukció kategóriát alkot, mert a monoid *:M × M→{\displaystyle \rightarrow } M műveletére pont az asszociativitás ( x*(y*z)=(x*y)*z ) és az egységelemesség ( e*x = x = x*e ) a megkötés.
  • HaP egy előrendezett struktúra, azaz egy halmaz a felette lévő ≤relációval, mely reflexív és tranzitív, akkorP kategóriát alkot. Az objektumok a struktúra alaphalmazának elemei, a nyilak azon (x,y) párok, melyekre x≤y, a kompozíció értéke pedig a tranzitivitást felhasználva x≤y és y≤z esetén az (x,z) pár.

Diagramok

[szerkesztés]

A kategóriaelmélet irányított gráfokkal történő reprezentációja szemléletessé és ábrázolhatóvá teszi az elmélet formuláit. Egy kategóriaelméleti kijelentés az esetek többségében kifejezhető objektumokból kiinduló nyilak segítségével (ezért is nevezik a morfizmusokat még nyilaknak is). A kijelentéseket leggyakrabban azzal rövidíthetjük le, ha egy diagramról azt állítjuk, hogykommutatív. Ez azutak felcserélhetőségét jelenti, vagyis azt, hogy két pont között bármely (nyílfolytonos) morfizmussorozaton végighaladva ugyanazt az „eredő” morfizmust kapjuk. Például a kategóriaelmélet két axiómája a következőkkel ekvivalensek.Egyrészt tetszőleges f, g és h nyilak illetve A, B, C, D objektumok esetén az asszociativitási diagram kommutatív, másrészt tetszőleges A és B objektum esetén egyértelműen léteznek az idA és idB nyilak, melyekkel tetszőleges f nyíl esetén az egységelemesség diagram kommutatív.

Elsőrendű elmélet és modellek

[szerkesztés]

Nyelv

[szerkesztés]

Egy kategória általános belső tulajdonságait leíró formális axiomatikus rendszer egy kétszortú (a változóknak kétféle értéket megengedő) elsőrendű elmélet. Az elmélet nyelvében a változókobjektumokat ésmorfizmusokat is jelenthetnek, de egyszerre egy formulában ugyanaz a változó soha. Ha egy változóra mint objektumra gondolunk, akkor aA,B, ... (esetleg indexel ellátott) betűkkel jelöljük, ha morfizmus, akkor azf,g,h, ... betűkkel. A nyelvben szerepel a háromváltozósArr relációjel, melyetArr(f,A,B) helyett inkább az f: A→{\displaystyle \rightarrow } B jelsorral jelölünk és f helyén csak morfizmus, az A és B helyén csak objektum állhat.

f: A→{\displaystyle \rightarrow } B szándékolt jelentése: „az f morfizmus kiindulási objektuma A, az érkezési objektuma B”.

A nyelv további speciális szimbóluma aKomp kétváltozós logikai függvényjel, melyetKomp(f,g) helyett inkább f o g alakban írunk és csak morfizmus szerepelhet az f és g változó helyén, továbbá maga f o g is morfizmus szortba tartozó kifejezés (term).

f o g szándékolt jelentése: „ az a morfizmus, mely a g és az f ilyen sorrendű egymás után kapcsolásával keletkezik”.

Elmélet

[szerkesztés]

A kategóriaelmélet (CAT) elsőrendű elmélete a következő formulák univerzális lezártjainak összességét jelenti:

(f: A→{\displaystyle \rightarrow } B ∧ f: C→{\displaystyle \rightarrow } D) ⇒ (A = C ∧ B = D)
(f o g) o h = f o (g o h)
(∃ i)(∃ j)( i:A→{\displaystyle \rightarrow } A ∧ j:B→{\displaystyle \rightarrow } B ∧ (∀ f)( f: A→{\displaystyle \rightarrow } B ⇒ ( j o f = f ∧ f = f o i ) ) )

Interpretáció

[szerkesztés]

El kell kissé rugaszkodnunk az interpretáció szokásos,ZFC-beli értelmezésétől, hiszen egy kategória objektumainak összessége általában valódi osztály, melyet inkább azNBG-tud kezelni.

Osztályok (Obj, Mor, Arr, Komp) „négyese”a kategóriaelmélet egy interpretációja (vagy egyszerűenkategória), ha Obj tetszőleges nemüres osztály, Mor tetszőleges, nemüres osztály, Arr rendezett hármasok olyan osztálya, melynek első eleme Mor beli, a többi Obj beli, Komp pedig Mor × Mor -on értelmezett, Mor-ba képező funktor (azaz osztály-leképezés).

HaC kategória, akkor Ob(C)-vel jelölik az összes objektumainak osztályát, Mor(C)-vel vagy Hom(C)-vel az összes nyilainak osztályát. Ha A és B aC kategória két objektuma, akkor az összes A-ból B-be menő nyíl osztályát HomC(A,B) vagy MorC(A,B) jelöli. Aszerint, hogy az adott interpretáció (az adott kategória) mennyire fér el a csak halmazokat felvonultatóZFC halmazelmélet keretei között és milyen mértékben kellNBG speciális nyelvi tulajdonságaira hagyatkozni aC kategória háromféle lehet.

  • Ckicsi vagyszűk, ha az objektumok összessége halmaz (tehát nem valódi osztály). Ha emellettC – ahogy gyakran –konkrét kategória, azaz objektumai halmazok és morfizmusai halmazelméleti függvények, akkor minden A és B objektumra a MorC(A,B) osztály is halmaz, tehát osztályok szerepeltetése nélkül formalizálható.
  • Clokálisan kicsi vagylokálisan szűk, ha bármely két A és B objektumára MorC(A,B) halmaz (tehát nem valódi osztály). Akonkrét kategóriák megint ilyenek.
  • Egy kategórianagy vagytág, ha objektumainak összessége valódi osztály.

Modell

[szerkesztés]

Az (Ip, e) pár modellje a kategóriaelméletnek, ha Ip interpretációja a kategóriaelméletnek és e olyan hozzárendelés, mely minden morfizmusváltozóhoz egy Mor beli és minden objektumváltozóhoz egy Obj beli elemet rendel, továbbá ez az értékelés kielégíti a kategóriaelmélet fent említett axiómáit.

A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Kategória_(matematika)&oldid=28653302”
Kategória:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp