Nem tévesztendő össze a következővel:Kanonizáció (egyértelműsítő lap).

Amatematika és aszámítástudomány területén valamelykifejezéskanonikus alakja,kanonikus formája, illetvenormál- vagystandard alakja alatt az a szabványos mód értendő, ahogy azt az objektumotmatematikai kifejezésként leírjuk. A „kanonikus” és „normál” alakok közti különbségtétel az egyes tudományterületeken más és más lehet. A legtöbb területen a kanonikus alak egyfajtaunikális, egyedi reprezentációja az adott objektumnak, míg a normál alak meghatározza a formai követelményeket, de nem követeli meg az unikalitást.

Például egy pozitív egész számtízes számrendszerbeli kanonikus alakja számjegyek véges sorozata, mely nem kezdődik nullával.

Általánosabban olyan objektumosztályra, aminekvivalenciarelációt definiálunk, minden egyes osztályból egy specifikus objektum kiválasztásával határozható meg akanonikus alak. Például amátrixokJordan-féle normálformája amátrixok hasonlósága szerinti kanonikus alak, a mátrix lépcsős alakja(wd) pedig akkor kanonikus alak, ha ekvivalensnek tekintjük a mátrixot egyinvertálható mátrixszal való balszorzatával.

A számítástudományban, főként annak a szimbolikus számításokkal foglalkozó területén általában ugyanazt az objektumot számos különböző módon ki lehet fejezni. Ebben a kontextusban egy reprezentációkanonikus alakja olyan ábrázolás, ahol minden objektum egyedi reprezentációval rendelkezik. Így két objektum azonossága könnyen vizsgálható kanonikus alakjaik egyezésének vizsgálatával. A kanonikus alakok azonban gyakran önkényes választásoktól függenek (pl. a változók sorrendjétől), ami nehézséget okoz különböző számításokban szereplő objektumok egyenlőségének tesztelésében. Ezért a számítógépes algebrában használatos a gyengébb, „normál alak”. Anormál alak olyan reprezentáció, melyben a nulla egyedi módon jeleníthető meg. Ez megengedi az egyenlőség tesztelését két objektum különbsége normálalakjának tesztelésével.

A számítástudományban a többfajta módon reprezentálható adatok unikális, kanonikus alakba való átalakításátkanonikalizációnak nevezik.^[1]

Tegyük fel, hogy létezik objektumok egyS halmaza, egy rajtuk értelmezettekvivalenciarelációval. AzS-ben lévő elemek akkor tekinthetők úgy, hogykanonikus alakban vannak, ha minden szóba jövő elem pontosan egy kanonikus alakban lévő elemmel ekvivalens. Másképpen, azS-ben lévő kanonikus alakok az ekvivalenciaosztályoknak feleltethetők meg. Két elem ekvivalenciájának ellenőrzéséhez elegendő kanonikus alakjaik egyenlőségét vizsgálni. A kanonikus alak így meghatároz egyosztályozási tételt és ennél tovább is megy, nemcsak minden osztályt besorol, hanem hozzájuk rendel egy megkülönböztetett (kanonikus) reprezentációt is.

A gyakorlatban nyilván szeretnénk, ha a kanonikus alakok felismerhetőek lennének. Egy praktikus, algoritmikus kérdés is felmerül: hogyan lehet átalakítani azS-ben lévős objektumot kanonikuss* alakba? A kanonikus alakok általában arra jók, hogy az ekvivalenciaosztályokkal való műveletvégzést hatékonyabbá tegyék. Például amoduláris aritmetika területén egy maradékosztály kanonikus alakja általában a legkisebb nemnegatív egész szám. A maradékosztályokon végzett műveletek ezekkel a kanonikus alakokkal történnek, majd az eredményt újból redukálják a legkisebb nemnegatív maradékra.Az egyediség követelményét néha kevésbé szigorúan értelmezik, megengedve, hogy az alakok valamilyen finomabb ekvivalenciareláció szerint legyenek csak egyediek, például megengedhetjük a kifejezés tagjainak átrendezését (ha nincs valamilyen természetes sorba rendezési lehetőség közöttük).

Egy kanonikus alak lehet egyszerűen egy kényelmes konvenció, vagy egy mély tétel eredménye.

Például apolinomokat hagyományosan kitevő szerinti csökkenő sorrendben szokás felírni: szokásosabb azx² +x + 30 alak, mint azx + 30 +x², bár mindkettő ugyanazt a polinomot határozza meg. Ezzel ellentétben a mátrixokJordan-féle normálformáját nem csak megszokás, hanem egy mély elméleti tétel alapozza meg.

Megjegyzés: ebben a szakaszban a valamely E ekvivalenciareláció „erejéig” kifejezés azt jelenti, hogy a kanonikus alak nem teljesen unikális, de ha egy objektumnak lét különböző kanonikus alakja lehet, azok E-ekvivalensek.

Objektumok	A ekvivalensB-vel, ha:	Normálalak	Jegyzet
Normális mátrixokkomplex számok fölött	${\displaystyle A=U^{\ast }BU}$ valamelyUunitér mátrixra	Diagonális mátrixok (átrendezés erejéig)	Ez aspektráltétel.
Mátrixok komplex számok fölött	${\displaystyle A=UB{V}^{\ast }}$ valamelyU ésVunitér mátrixokra	Diagonálmátrixok pozitív valós értékekkel (csökkenő sorrendben)	Szinguláris érték szerinti felbontás (SVD)
Mátrixokalgebrailag zárt test fölött	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$ valamelyPinvertálható mátrixra	Jordan-féle normálforma (a blokkok átrendezésének erejéig)
Mátrixokalgebrailag zárt test fölött	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$ valamelyPinvertálható mátrixra	Weyr-féle kanonikus forma (a blokkok átrendezésének erejéig)
Mátrixok test fölött	${\displaystyle A=P^{-1}BP}$ valamelyPinvertálható mátrixra	Frobenius-normálforma
Mátrixokfőideálgyűrű fölött	${\displaystyle A=P^{-1}BQ}$ valamelyP ésQinvertálható mátrixokra	Smith-normálforma	Az ekvivalencia szerint megengedjük az invertálható elemi sor- és oszloptranszformációkat
K test fölötti véges dimenziós vektorterek	A ésB izomorf vektorterek	${\displaystyle K^n}$,n nem negatív egész szám

Bővebben:Kanonikus alak (Boole-algebra)

• Negációs normálforma
• Konjunktív normálforma
• Diszjunktív normálforma
  • Blake-féle kanonikus alak vagy diszjunktív prímforma
• Algebrai normálforma
• Prenex-normálforma
• Skolem-normálforma

Objektumok	A ekvivalensB-vel, ha:	Normálalak
Hilbert-terek	HaA ésB mindkettőelválasztható, végtelen dimenziós Hilbert-terek, akkorA ésB izometrikusan izomorf.	${\displaystyle {\ell }^2(I)}$Hilbert-félesorozattér (azI indexhalmaz ugyanolyanszámosságú indexhalmazra cserélésének erejéig)
Kommutatív${\displaystyle C^{\ast }}$-algebrák	A ésB izomorfak mint${\displaystyle C^{\ast }}$-algebrák	AkompaktHausdorff-tér folytonos függvényeinek${\displaystyle C(X)}$ algebrája, az alaptérhomeomorfizmusának erejéig.

Pozitív egész számkanonikus alakja 1-nél nagyobb természetes számokprímfelbontása során létrejött szorzat, prímszámok (prímhatványok) szorzata (megengedve az egytényezős szorzatot).

Bármely 1-nél nagyobb természetes szám felbonthatóprímszámok szorzatára.A számelmélet alaptétele szerint minden ilyen számnak – a prímtényezők sorrendjétől eltekintve – egyértelműen megadható a kanonikus alakja.

A${\displaystyle n=\prod p_i^{{\alpha }_i}}$ prímfelbontást nevezik a szám kanonikus alakjának (pl.${\displaystyle 12=2^2\cdot 3}$).

Az1 nem prímszám és nem bontható fel prímszámok szorzatára, így kanonikus alakja nincs. A prímszámok kanonikus alakja megegyezik önmagukkal (önmaguk első hatványával).^[2]

Lásd még:Kanonikus alakok listája (1–1000)

• Lánctörtek kanonikus alakja: egyszerű vagy reguláris

• Az egyenes egyenlete:Ax + By = C, aholA² + B² = 1 ésC ≥ 0
• A kör egyenlete:${\displaystyle (x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2}$

Léteznek persze a fenti egyenleteknek alternatív formái is. Például az egyenes egyenlete egylineáris egyenlet, ami felírható például pont–meredekség (${\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)}$), illetve Y tengellyel való metszéspont–meredekség (${\displaystyle y=mx+b}$) alapján is.

A matematikusoknak és természettudósoknak gyakran extrém nagy számokat, vagy reciprokértékben extrém nagy számokat kell leírniuk. Ekkor anormálalak tömörebb és érthetőbb megoldás lehet. Például 0,009 = 9 · 10⁻³.

• RendszámokCantor-féle normálalakja

• Játék normálalakja

• Természetes levezetés normálalakja

• Egy absztraktkifejezés-újraíró rendszerben a normálalak egy irreducibilis objektum.

• Béta-normálalak, ha nem érhető el további β-redukció; aLambda-kalkulus az absztrakt kifejezés-újraíró rendszerek speciális esete.

• Bifurkáció normálalakja

Bővebben:Gráfkanonikalizáció

A kanonikusdifferenciális alakok közé tartozik atautologikus 1-forma és akanonikus szimplektikus forma, melyek fontos szerepet játszanak aHamilton-féle mechanika és aszimplektikus sokaságok tanulmányozásában.

Aszámítástudomány területén a bemeneti adatok valamely kanonikus alakra történő redukálásátadatnormalizációnak nevezik.

Például azadatbázis-normalizáció során egyrelációs adatbázismezőinek éstábláinak olyan átszervezése, ami az adatokredundanciáját és függőségét minimalizálja.

Azalkalmazásbiztonság területén gyakori oka asebezhetőségeknek az ellenőrizetlen, rosszindulatú bemeneti adat. Ez ellen leghatékonyabban a megfelelőadatvalidációval lehet fellépni. Az adatvalidáció előtt a bemeneti adatokat normalizálni kell, például a különböző karakterkódolásokat egy közöskarakterkészletre kell konvertálni stb.

Ajelfeldolgozás területén (ideérve a hang- ésképfeldolgozás mellett agépi tanulási módszereket is) az adatok normalizálásán egy értéktartományra való korlátozásukat kell érteni.

• Kanonikalizáció
  • Gráfok kanonikalizációja
• Kanonikus bázis
• Normalizáció
• Szabványosítás

• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A., ed., Linear Algebra, Dover,ISBN 0-486-63518-X.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006), Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific Publishing,ISBN 981-256-563-9.

• Algebra
• Matematikai terminológia

• Lefordítandó cikkekre való utalást tartalmazó lapok