Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Ugrás a tartalomhoz
Wikipédia
Keresés

Impedancia

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Változat állapota

Ez a lap egy ellenőrzött változata

Ez aközzétett változat,ellenőrizve:2024. november 27.

Pontosságellenőrzött

Azimpedancia jelentéseváltakozó áramú ellenállás.Váltakozó áramú elektromos hálózatban egy fogyasztó komplex impedanciájának nevezzük akomplex feszültség és akomplex áramerősség hányadosát, jeleZ. Képlettel:

Z=UI{\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}\,}

A komplex impedanciaabszolút értékétlátszólagos ellenállásnak nevezzük, jeleZ. A látszólagos ellenállás mértékegysége azohm.

A komplex impedancia értelmezése

[szerkesztés]
A komplex feszültség és a komplex áramerősség (t = 0)

Akomplex impedancia a definíció alapján

Z=UI=U0⋅ei(ωt+α)I0⋅ei(ωt+β)=U0I0⋅ei(α−β)=U0I0⋅eiφ{\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}={\frac {U_{0}\cdot e^{i(\omega t+\alpha )}}{I_{0}\cdot e^{i(\omega t+\beta )}}}={\frac {U_{0}}{I_{0}}}\cdot e^{i(\alpha -\beta )}={\frac {U_{0}}{I_{0}}}\cdot e^{i\varphi }\,}.

A képletekbenU0 ésI0 a feszültség, illetve az áramerősség csúcsértéke;ω akörfrekvencia;t az idő;α ésβ a feszültség, illetve az áramerősség fázisszöge;φ afáziskülönbség a feszültség és áramerősség között. Azi azimaginárius egység (képzetes egység), aze azEuler-féle szám.

A látszólagos ellenállás

[szerkesztés]
A komplex impedancia

Mivel alátszólagos ellenállás a definícióból adódóan a komplex impedancia abszolút értéke, ezért

Z=|Z|=|U0I0⋅eiφ|=U0I0{\displaystyle Z=\left\vert \mathbf {Z} \right\vert =\left\vert {\frac {U_{0}}{I_{0}}}\cdot e^{i\varphi }\right\vert ={\frac {U_{0}}{I_{0}}}\,}.

Olyan váltakozó feszültségnél, amelynél az effektív értékek egyenesen arányosak a csúcsértékekkel (pl. a szinuszos váltakozó feszültségnél), a látszólagos ellenállás az effektív feszültség és az effektív áramerősség hányadosaként is kiszámítható:

Z=U0I0=UeffIeff{\displaystyle Z={\frac {U_{0}}{I_{0}}}={\frac {U_{\mathrm {eff} }}{I_{\mathrm {eff} }}}\,}.

A látszólagos ellenállás segítségével a komplex impedancia:

Z=Z⋅eiφ{\displaystyle \mathbf {Z} =Z\cdot e^{i\varphi }\,}.

A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás

[szerkesztés]
A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás

A komplex impedancia (mint bármely komplex mennyiség) valós és képzetes részre bontható. Valós része ahatásos ellenállás(rezisztencia), jeleRh; képzetes része ameddő ellenállás(reaktancia), jeleX. Képlettel:

Z=Rh+iX{\displaystyle \mathbf {Z} =R_{\mathrm {h} }+iX}.

A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás kifejezhető a látszólagos ellenállás, illetve a fáziskülönbség segítségével:

Rh=Zcos⁡φésX=Zsin⁡φ{\displaystyle R_{\mathrm {h} }=Z\cos \varphi \qquad {\text{és}}\qquad X=Z\sin \varphi \,}.

A fordított irányú összefüggések a látszólagos ellenállás, illetve a fáziskülönbség tangensének kiszámítására:

Z=Rh2+X2éstan⁡φ=XRh{\displaystyle Z={\sqrt {R_{\mathrm {h} }^{2}+X^{2}}}\qquad {\text{és}}\qquad \tan \varphi ={\frac {X}{R_{\mathrm {h} }}}\,}.

A hatásos ellenállásra és a meddő ellenállásra felírt összefüggések alapján a komplex impedancia:

Z=Zcos⁡φ+iZsin⁡φ=Z(cos⁡φ+isin⁡φ){\displaystyle \mathbf {Z} =Z\cos \varphi +iZ\sin \varphi =Z\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\,}.

Egyes eszközök impedanciája

[szerkesztés]

Ohmos ellenállás impedanciája

[szerkesztés]

Egy fogyasztótohmos ellenállásnak nevezünk, ha egyenáramra vagy szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva a fogyasztón átfolyó áram erőssége egyenesen arányos a feszültséggel. Ha egyR ellenállású ohmos ellenállást szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolunk, akkor a komplex impedancia:

Z=UI=R⋅II=R{\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}={\frac {R\cdot \mathbf {I} }{\mathbf {I} }}=R}.
Az ohmos ellenállás impedanciája

A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás a komplex impedancia valós, illetve képzetes része alapján határozható meg. Eszerint az ohmos ellenállás hatásos ellenállása megegyeszik az egyenáramú ellenállásával

Rh=R{\displaystyle R_{\mathrm {h} }=R\,},

meddő ellenállása (reaktanciája) pedig nulla:

X=0{\displaystyle X=0\,}.

A feszültség és áramerősség azonos fázisban van egymással, azaz

φ=0{\displaystyle \varphi =0\,}.

Mindezek alapján az ohmos ellenállás komplex impedanciája:

Z=Z=Rh=R{\displaystyle \mathbf {Z} =Z=R_{\mathrm {h} }=R\,}.

Eszerintaz ohmos ellenállás látszólagos ellenállása nem függ a frekvenciától.

Ideális tekercs impedanciája

[szerkesztés]

Egy tekercsetideális tekercsnek nevezünk, ha ohmos (és kapacitív) ellenállása elhanyagolható, így szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva az áramerősséget csak az önindukció befolyásolja. EgyL önindukciós tényezőjű ideális tekercsnél Kirchhoff huroktörvénye miatt:

U−LdIdt=0{\displaystyle U-L{\frac {dI}{dt}}=0\,},

azaz

U=LdIdt{\displaystyle U=L{\frac {dI}{dt}}\,}.

Ha a komplex áramerősség

I=I0⋅eiωt{\displaystyle \mathbf {I} =I_{0}\cdot e^{i\omega t}\,},

akkor az előzőek miatt a komplex feszültség

U=Ld(I0⋅eiωt)dt=LI0iω⋅eiωt{\displaystyle \mathbf {U} =L{\frac {d(I_{0}\cdot e^{i\omega t})}{dt}}=LI_{0}i\omega \cdot e^{i\omega t}\,},
Ideális tekercs impedanciája
Egy ideális tekercs látszólagos ellenállása a frekvencia függvényében

Ezek alapján a komplex impedancia:

Z=UI=LI0iω⋅eiωtI0⋅eiωt=iωL{\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}={\frac {LI_{0}i\omega \cdot e^{i\omega t}}{I_{0}\cdot e^{i\omega t}}}=i\omega L\,}.

A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás a komplex impedancia valós, illetve képzetes része alapján határozható meg. Eszerint az ideális tekercs hatásos ellenállása nulla

Rh=0{\displaystyle R_{\mathbf {h} }=0\,},

meddő ellenállása (reaktanciája) pedig

X=ωL{\displaystyle X=\omega L\,}.

Az ideális tekercsnélaz áramerősség 90°-ot késik a feszültséghez képest, azaz

φ=90∘{\displaystyle \varphi =90^{\circ }\,}.

Az ideális tekercs látszólagos ellenállása:

Z=X=ωL{\displaystyle Z=X=\omega L\,}.

Eszerintaz ideális tekercs látszólagos ellenállása egyenesen arányos a váltakozó feszültség körfrekvenciájával, illetve frekvenciájával.

Az impedanciára kapott összefüggés jobb oldaláti-vel szorozva és osztva a komplex impedancia

Z=iωL=−ωLi{\displaystyle \mathbf {Z} =i\omega L=-{\frac {\omega L}{i}}\,}

alakban is felírható.

Ideális kondenzátor impedanciája

[szerkesztés]

Egy kondenzátortideális kondenzátornak nevezünk, ha ohmos (és induktív) ellenállása elhanyagolható, így szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva az áramerősséget csak a kapacitása befolyásolja. EgyC kapacitású ideális kondenzátort szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva a komplex feszültség:

U=U0⋅eiωt{\displaystyle \mathbf {U} =U_{0}\cdot e^{i\omega t}\,}.

Az áramerősség megegyezik a töltés idő szerinti deriváltjával, ezért aQ = C⋅U összefüggést felhasználva

I=dQdt=CdUdt{\displaystyle I={\frac {dQ}{dt}}=C{\frac {dU}{dt}}\,}.

A fentiek alapján komplex áramerősség:

I=Cd(U0⋅eiωt)dt=CU0iω⋅eiωt{\displaystyle \mathbf {I} =C{\frac {d(U_{0}\cdot e^{i\omega t})}{dt}}=CU_{0}i\omega \cdot e^{i\omega t}\,}.
Ideális kondenzátor impedanciája
Egy kondenzátor látszólagos ellenállása a frekvencia függvényében

Ezek alapján a komplex impedancia:

Z=UI=U0⋅eiωtCU0iω⋅eiωt=1iωC=−i1ωC{\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}={\frac {U_{0}\cdot e^{i\omega t}}{CU_{0}i\omega \cdot e^{i\omega t}}}={\frac {1}{i\omega C}}=-i{\frac {1}{\omega C}}\,}.

A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás a komplex impedancia valós, illetve képzetes része alapján határozható meg. Eszerint az ideális kondenzátor hatásos ellenállása nulla

Rh=0{\displaystyle R_{\mathbf {h} }=0\,},

meddő ellenállása (reaktanciája) pedig

X=−1ωC{\displaystyle X=-{\frac {1}{\omega C}}\,}.

Az ideális kondenzátornálaz áramerősség 90°-ot siet a feszültséghez képest, azaz

φ=−90∘{\displaystyle \varphi =-90^{\circ }\,}.

Mindezek alapján az ideális kondenzátor látszólagos ellenállása:

Z=−X=1ωC{\displaystyle Z=-X={\frac {1}{\omega C}}\,}.

Eszerintaz ideális kondenzátor látszólagos ellenállása fordítottan arányos a váltakozó feszültség körfrekvenciájával, illetve frekvenciájával.

Komplex impedanciájú fogyasztókból álló kapcsolások

[szerkesztés]

Az előzőkben felírt

Z=UIésZ=UeffIeff{\displaystyle \mathbf {Z} ={\frac {\mathbf {U} }{\mathbf {I} }}\qquad {\text{és}}\qquad Z={\frac {U_{\mathrm {eff} }}{I_{\mathrm {eff} }}}\,}

összefüggések szerint a komplex impedancia és a látszólagos ellenállás a váltakozó áramú hálózatokban hasonló szerepet tölt be, mint az egyenáramú hálózatokban azellenállás. Igazolható, hogy az egyenáramú hálózatokra vonatkozóOhm-törvény valamint aKirchhoff-törvények, illetve az ezekből levezethető összefüggések átvihetők a (szinuszos) váltakozó áramú hálózatokra.

Impedanciák összegzése soros RLC-körben

Például aZ1,Z2, ... komplex impedanciájú fogyasztóksoros, illetvepárhuzamos kapcsolása esetén az eredőZ komplex impedanciára teljesülnek a

Z=Z1+Z2+...,illetve1Z=1Z1+1Z2+...{\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}+...,\qquad {\text{illetve}}\qquad {\frac {1}{\mathbf {Z} }}={\frac {1}{\mathbf {Z} _{1}}}+{\frac {1}{\mathbf {Z} _{2}}}+...}

összefüggések.

A párhuzamos kapcsolásra vonatkozó képlet két fogyasztó esetén felírható

Z=Z1Z2Z1+Z2{\displaystyle \mathbf {Z} ={\dfrac {\mathbf {Z} _{1}\mathbf {Z} _{2}}{\mathbf {Z} _{1}+\mathbf {Z} _{2}}}}

formában is.

Soros RL-kör impedanciája

[szerkesztés]
Soros RL-kör

Ha egy ohmos ellenállást és egy ideális tekercset sorosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia:

Z=ZR+ZL=R+iωL{\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{\mathrm {R} }+\mathbf {Z} _{\mathrm {L} }=R+i\omega L\,}.

Ebből a látszólagos ellenállás, illetve a fázisszög tangense:

Z=Rh2+X2=R2+ω2L2{\displaystyle Z={\sqrt {R_{\mathrm {h} }^{2}+X^{2}}}={\sqrt {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\,},
tan⁡φ=XRh=ωLR{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {X}{R_{\mathrm {h} }}}={\frac {\omega L}{R}}\,}.

Mivel a valóságban a tekercset alkotó vezetéknek mindig van valamekkora ellenállása,egy valóságos tekercs egy ohmos ellenállás és egy ideális tekercs soros kapcsolásának tekinthető. A fenti összefüggés szerinta tekercs látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától:nagyobb frekvenciákon nagyobb a látszólagos ellenállás.

Ha a tekercset alkotó vezeték egyenáramú ellenállása elég kicsi, és a tekercs öninduktivitása elég nagy, akkor

R≪ωL{\displaystyle R\ll \omega L\,}.

Emiatt az előzőleg kapott összefüggésekben azR elhanyagolható, így

Z=R2+ω2L2≈0+ω2L2=ωL{\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}}\approx {\sqrt {0+\omega ^{2}L^{2}}}=\omega L\,}

és

tan⁡φ=ωLR≈∞⇒φ≈90∘{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\omega L}{R}}\approx \infty \qquad \Rightarrow \qquad \varphi \approx 90^{\circ }\,}.

Eszerint egy tekercs annál inkább ideális tekercsként viselkedik, minél kisebb az egyenáramú ellenállása és minél nagyobb az öninduktivitása.

Párhuzamos RC-kör impedanciája

[szerkesztés]
Párhuzamos RC-kör

Ha egy ohmos ellenállást és egy ideális kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia reciproka:

1Z=1ZR+1ZC=1R+iωC{\displaystyle {\frac {1}{\mathbf {Z} }}={\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {R} }}}+{\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {C} }}}={\frac {1}{R}}+i\omega C\,}.

Ennek abszolút értéke a valós és képzetes rész alapján számítható ki:

1Z=1R2+ω2C2{\displaystyle {\frac {1}{Z}}={\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}}\,}

Ebből a látszólagos ellenállás:

Z=11R2+ω2C2{\displaystyle Z={\cfrac {1}{\sqrt {{\cfrac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}}}\,}

A fázisszög tangensének kiszámításához szükség van a komplex impedanciára:

Z=11R+iωC=11R+iωC⋅1R−iωC1R−iωC=1R1R2+ω2C2−iωC1R2+ω2C2{\displaystyle \mathbf {Z} ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{R}}+i\omega C}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{R}}+i\omega C}}\cdot {\cfrac {{\cfrac {1}{R}}-i\omega C}{{\cfrac {1}{R}}-i\omega C}}={\cfrac {\cfrac {1}{R}}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}}-i{\cfrac {\omega C}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}}\,}.

Ebből a hatásos ellenállás és a meddő ellenállás:

Rh=1R1R2+ω2C2,illetveX=−ωC1R2+ω2C2{\displaystyle R_{\mathrm {h} }={\cfrac {\cfrac {1}{R}}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}},\qquad {\text{illetve}}\qquad X=-{\cfrac {\omega C}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}}}.

Ezek alapján a fázisszög:

tan⁡φ=XRh=−ωC1R=−ωRC{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {X}{R_{\mathrm {h} }}}={\cfrac {-\omega C}{\cfrac {1}{R}}}=-\omega RC\,}

Mivel a valóságban a kondenzátor fegyverzetei közti szigetelőnek mindig van valamekkora vezetőképessége,egy valóságos kondenzátor egy ohmos ellenállás és egy ideális kondenzátor párhuzamos kapcsolásának tekinthető. A fenti összefüggés szerinta kondenzátor látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától:nagyobb frekvenciákon kisebb a látszólagos ellenállás.

Ha a fegyverzetek közti szigetelő egyenáramú ellenállása és a kondenzátor kapacitása elég nagy, akkor

1R≪ωC{\displaystyle {\frac {1}{R}}\ll \omega C\,}.

Ebben az esetben az előzőleg kapott összefüggések:

Z=11R2+ω2C2≈10+ω2C2=1ωC{\displaystyle Z={\cfrac {1}{\sqrt {{\cfrac {1}{R^{2}}}+\omega ^{2}C^{2}}}}\approx {\cfrac {1}{\sqrt {0+\omega ^{2}C^{2}}}}={\cfrac {1}{\omega C}}}

és

tan⁡φ=−ωRC≈−∞⇒φ≈−90∘{\displaystyle \tan \varphi =-\omega RC\approx -\infty \qquad \Rightarrow \qquad \varphi \approx -90^{\circ }\,}.

Eszerint egy kondenzátor annál inkább ideális kondenzátorként viselkedik, minél nagyobb az egyenáramú ellenállása és a kapacitása.

Párhuzamos LC-kör impedanciája

[szerkesztés]
Párhuzamos LC-kör

Ha egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia reciproka:

1Z=1ZC+1ZL=iωC−iωL=i(ωC−1ωL).{\displaystyle {\frac {1}{\mathbf {Z} }}={\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {C} }}}+{\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {L} }}}=i\omega C-{\frac {i}{\omega L}}=i\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right).\,}

Ennek alapján az impedancia:

Z=1i(ωC−1ωL)=−i⋅1ωC−1ωL.{\displaystyle \mathbf {Z} ={\dfrac {1}{i\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)}}=-\;i\cdot {\dfrac {1}{\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}}}.\,}

Ebből a párhuzamos LC-kör hatásos ellenállása és a meddő ellenállása:

Rh=0,{\displaystyle R_{\mathrm {h} }=0,\,}
X=−1ωC−1ωL.{\displaystyle X=-\;{\dfrac {1}{\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}}}.\,}

A párhuzamos LC-kör látszólagos ellenállása:

Z=1ωC−1ωL.{\displaystyle Z={\dfrac {1}{\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}}}.\,}

Eszerinta párhuzamos LC-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult. Az azonban könnyen belátható, hogy a látszólagos ellenállás végtelen naggyá válik annál azω0 körfrekvenciánál, amelynél az

ω0C−1ω0L=0{\displaystyle \omega _{0}C-{\dfrac {1}{\omega _{0}L}}=0}

feltétel teljesül. Ebből a feltételből ez azω0 körfrekvencia, illetve a hozzá tartozóf0 frekvencia:

ω0=1LC,f0=12πLC.{\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},\qquad \qquad f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.\,}

Ezt azf0 frekvenciát a párhuzamos LC-körsajátfrekvenciájának, vagyrezonanciafrekvenciájának nevezzük.

Mivel a hatásos ellenállás nulla,a fázisszög most nem értelmezhető a meddő ellenállás és a hatásos ellenállás hányadosa alapján. A komplex impedanciára vonatkozó képlet alapján azonban megállapítható, hogy

φ={90∘, ha f<f0nem értelmezhető, ha f=f0−90∘, ha f>f0{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}90^{\circ },&{\text{ ha }}f<f_{0}\\{\text{nem értelmezhető}},&{\text{ ha }}f=f_{0}\\-90^{\circ },&{\text{ ha }}f>f_{0}\end{cases}}}

Soros RLC-kör impedanciája

[szerkesztés]

Ha egy ohmos ellenállást, egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort sorosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia:

Soros RLC-kör impedanciája
Soros RLC-kör
Z=ZR+ZL+ZC=R+iωL−i1ωC=R+i(ωL−1ωC).{\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} _{\mathrm {R} }+\mathbf {Z} _{\mathrm {L} }+\mathbf {Z} _{\mathrm {C} }=R+i\omega L-i{\frac {1}{\omega C}}=R+i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right).\,}

Ebből a látszólagos ellenállás, illetve a fázisszög tangense:

Z=Rh2+X2=R2+(ωL−1ωC)2,{\displaystyle Z={\sqrt {R_{\mathrm {h} }^{2}+X^{2}}}={\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)^{2}}},\,}
tan⁡φ=XRh=ωL−1ωCR.{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {X}{R_{\mathrm {h} }}}={\cfrac {\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}}{R}}.\,}
Egy soros RLC-kör látszólagos ellenállása a frekvencia függvényeként

A látszólagos ellenállásra vonatkozó fenti képlet alapján látható, hogya soros RLC-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult. Az azonban könnyen belátható, hogy a látszólagos ellenállásnak minimuma van annál azω0 körfrekvenciánál, amelynél az

ω0C−1ω0L=0{\displaystyle \omega _{0}C-{\dfrac {1}{\omega _{0}L}}=0\,}

feltétel teljesül. Ebből a feltételből ez azω0 körfrekvencia, illetve a hozzá tartozóf0 frekvencia:

ω0=1LC,f0=12πLC.{\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},\qquad \qquad f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.\,}

Ezt azf0 frekvenciát a soros LC-körsajátfrekvenciájának, vagyrezonanciafrekvenciájának nevezzük.

Párhuzamos RLC-kör impedanciája

[szerkesztés]
Párhuzamos RLC-kör

Ha egy ohmos ellenállást, egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia reciproka:

1Z=1ZR+1ZL+1ZC=1R−i1ωL+iωC=1R+i(ωC−1ωL).{\displaystyle {\frac {1}{\mathbf {Z} }}={\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {R} }}}+{\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {L} }}}+{\frac {1}{\mathbf {Z} _{\mathrm {C} }}}={\frac {1}{R}}-i{\frac {1}{\omega L}}+i\omega C={\frac {1}{R}}+i\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right).\,}

Ennek abszolút értéke a valós és képzetes rész alapján számítható ki:

1Z=1R2+(ωC−1ωL)2.{\displaystyle {\frac {1}{Z}}={\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}.\,}

Ebből a látszólagos ellenállás:

Z=11R2+(ωC−1ωL)2.{\displaystyle Z={\dfrac {1}{\sqrt {{\dfrac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}}.\,}

A komplex impedancia:

Z=11R+i(ωC−1ωL)=1R1R2+(ωC−1ωL)2−i(ωC−1ωL)1R2+(ωC−1ωL)2.{\displaystyle \mathbf {Z} ={\dfrac {1}{{\dfrac {1}{R}}+i\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)}}={\cfrac {\cfrac {1}{R}}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}-i{\cfrac {\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}.\,}

Ebből a hatásos ellenállás és a meddő ellenállás:

Rh=1R1R2+(ωC−1ωL)2,X=−(ωC−1ωL)1R2+(ωC−1ωL)2.{\displaystyle R_{\mathrm {h} }={\cfrac {\cfrac {1}{R}}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)^{2}}},\qquad \qquad X=-{\cfrac {\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)}{{\cfrac {1}{R^{2}}}+\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)^{2}}}.}

Ezek alapján a fázisszög tangense:

tan⁡φ=XRh=(ωC−1ωL)1R=R(ωC−1ωL).{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {X}{R_{\mathrm {h} }}}={\cfrac {\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)}{\cfrac {1}{R}}}=R{\left(\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}\right)}.\,}

A látszólagos ellenállásra vonatkozó fenti képlet alapján látható, hogya párhuzamos RLC-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult. Az azonban könnyen belátható, hogya látszólagos ellenállásnak maximuma van annál azω0 körfrekvenciánál, amelynél az

ω0C−1ω0L=0{\displaystyle \omega _{0}C-{\dfrac {1}{\omega _{0}L}}=0\,}

feltétel teljesül. Ebből a feltételből ez azω0 körfrekvencia, illetve a hozzá tartozóf0 frekvencia:

ω0=1LC,f0=12πLC.{\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},\qquad \qquad f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.\,}

Ezt azf0 frekvenciát a párhuzamos RLC-körsajátfrekvenciájának, vagyrezonanciafrekvenciájának nevezzük.

Párhuzamos (RL)C-kör impedanciája

[szerkesztés]
Párhuzamos (RL)C-kör

Ha egy ohmos ellenállást és egy ideális tekercset sorosan kapcsolunk, majd az így kapott rendszerrel párhuzamosan kapcsolunk egy ideális kondenzátort akkor a komplex impedancia két lépésben határozható meg. Elsőként a sorosan kapcsolt ellenállás és tekercs impedanciája:

ZRL=ZR+ZL=R+iωL{\displaystyle \mathbf {Z} _{\mathrm {RL} }=\mathbf {Z} _{\mathrm {R} }+\mathbf {Z} _{\mathrm {L} }=R+i\omega L\,}.

Ennek alapján a teljes rendszer impedanciája:

Z=ZRLZCZRL+ZC=(R+iωL)(−iωC)R+i(ωL−1ωC)=R(ωC)2R2+(ωL−1ωC)2−iR2ωC+ωL2C−LωC2R2+(ωL−1ωC)2{\displaystyle \mathbf {Z} ={\dfrac {\mathbf {Z} _{\mathrm {RL} }\mathbf {Z} _{\mathrm {C} }}{\mathbf {Z} _{\mathrm {RL} }+\mathbf {Z} _{\mathrm {C} }}}={\dfrac {(R+i\omega L)\left(-{\dfrac {i}{\omega C}}\right)}{R+i\left(\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}\right)}}={\dfrac {\dfrac {R}{(\omega C)^{2}}}{R^{2}+\left(\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\;-\;i\;{\dfrac {{\dfrac {R^{2}}{\omega C}}+{\dfrac {\omega L^{2}}{C}}-{\dfrac {L}{\omega C^{2}}}}{R^{2}+\left(\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\,}.

Az impedancia valós és képzetes része alapján a látszólagos ellenállás és a fázisszög tangense:

Z=R2ω4C4+(R2ωC+ωL2C−LωC2)2R2+(ωL−1ωC)2{\displaystyle Z={\dfrac {\sqrt {{\dfrac {R^{2}}{\omega ^{4}C^{4}}}+\left({\dfrac {R^{2}}{\omega C}}+{\dfrac {\omega L^{2}}{C}}-{\dfrac {L}{\omega C^{2}}}\right)^{2}}}{R^{2}+\left(\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\,},
tan⁡φ=−R2ωC+ωL2C−LωC2Rω2C2{\displaystyle \tan \varphi =-\;{\dfrac {{\dfrac {R^{2}}{\omega C}}+{\dfrac {\omega L^{2}}{C}}-{\dfrac {L}{\omega C^{2}}}}{\dfrac {R}{\omega ^{2}C^{2}}}}\,}.
Egy párhuzamos (RL)C-kör látszólagos ellenállása a frekvencia függvényében

A látszólagos ellenállásra vonatkozó fenti képlet alapján látható, hogya párhuzamos (RL)C-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult, dea látszólagos ellenállásnak maximuma van egy meghatározott azf0 frekvenciánál. Ezt azf0 frekvenciát a párhuzamos (RL)C-kör sajátfrekvenciájának, vagy rezonanciafrekvenciájának nevezzük.

Láttuk, hogy egy valóságos tekercs egy ohmos ellenállás és egy ideális tekercs soros kapcsolásának tekinthető.Az előbbiekben tárgyalt eset tehát alkalmazható egy valóságos tekercs és egy (ideális) kondenzátor párhuzamos kapcsolására is. (A valóságos kondenzátorok többnyire ideálisnak tekinthetők.)

Ha azonban a tekercset alkotó vezeték egyenáramú ellenállása elég kicsi, akkor a látszólagos ellenállás:

Z=R2ω4C4+(R2ωC+ωL2C−LωC2)2R2+(ωL−1ωC)2≈ωL2C−LωC2(ωL−1ωC)2=1ωC−1ωL{\displaystyle Z={\dfrac {\sqrt {{\dfrac {R^{2}}{\omega ^{4}C^{4}}}+\left({\dfrac {R^{2}}{\omega C}}+{\dfrac {\omega L^{2}}{C}}-{\dfrac {L}{\omega C^{2}}}\right)^{2}}}{R^{2}+\left(\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}\approx {\dfrac {{\dfrac {\omega L^{2}}{C}}-{\dfrac {L}{\omega C^{2}}}}{\left(\omega L-{\dfrac {1}{\omega C}}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{\omega C-{\dfrac {1}{\omega L}}}}}.

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]

Források

[szerkesztés]
Nemzetközi katalógusok
Elektrosztatika
Magnetosztatika
Elektrodinamika
Elektromosáramkörök
A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Impedancia&oldid=27638315”
Kategória:
Rejtett kategóriák:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp