Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során.Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segítsmegbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még:A Wikipédia nem az első közlés helye.

Ha egy adottgyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálhatópolinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabbformális hatványsor fogalmához.

A formális hatványsorok éppen úgy végtelen összegek, mint a nem formálisak. A műveleteket is ugyanúgy végezzük rajtuk, mint a valódihatványsorokon. Akonvergenciával azonban nem foglalkozunk.

Összeadás:

${\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)(x-x_0{)}^n,}$

ahola_n ésb_n gyűrűelem.

Skalárral szorzás:

${\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(c{a}_n)(x-x_0{)}^n,}$

aholc gyűrűelem.

Szorzás:

ahol minden együttható gyűrűelem

Legyen${\displaystyle R=\left(U,+,\times \right)}$ tetszőlegesgyűrű, és tekintsük az${\displaystyle R}$ feletti${\displaystyle R_{\mathbb{N}}=\left\{{\left(r_n\right)}^{n\in \mathbb{N}}|r\in R\right\}}$ végtelen${\displaystyle {\left(r_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}=\left(r_0,r_1,r_2,r_3,....\right)}$ sorozatok halmazát (megjegyzés,${\displaystyle K^D}$-vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát${\displaystyle R_{\mathbb{N}}}$ felett két kétváltozós${\displaystyle \oplus }$ és${\displaystyle \otimes }$ műveletet a következőképpen:

• ${\displaystyle \oplus :R^{\mathbb{N}}\times R^{\mathbb{N}}\mapsto R^{\mathbb{N}};(r_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\oplus (s_i{)}_{i\in \mathbb{N}}=(r_i+s_i{)}_{i\in \mathbb{N}}}$ ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
• A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem:${\displaystyle \otimes :R^{\mathbb{N}}\times R^{\mathbb{N}}\mapsto R^{\mathbb{N}};(r_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\otimes (s_i{)}_{i\in \mathbb{N}}=(\sum _{j=0}^i{r}_j{s}_{i-j}{)}_{i\in \mathbb{N}}}$.

Belátható, hogy ezek a műveletek éppen a fenti műveleteknek felelnek meg.

A${\displaystyle K[[x]]:=\left(R^{\mathbb{N}},\oplus ,\otimes \right)}$ algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az${\displaystyle R}$ felettiformális hatványsorok gyűrűjének.

A polinomok véges összegként definiálhatók. A hatványsorok közül éppen azokpolinomok, amelyekben csak véges sok együttható nem nulla. A legnagyobb indexű nem nulla együttható indexe a polinom foka. A nullpolinom fokát nem definiáljuk.

Ha egy${\displaystyle \left(s_i\right)\in R^{\mathbb{N}}}$ sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexű tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett)eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát${\displaystyle E\left(\left(s_i\right)\right)=\left\{j\in \mathbb{N}|\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}:j\le k\Rightarrow s_k=0\right\}\subseteq \mathbb{N}}$-vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett<-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatotpolinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat anullpolinom.

• A véges testek fölötti egyhatározatlanú formális hatványsorokgyűrűt alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
• Gyűrű felettipolinomgyűrű, és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerrekommutatív,egységelemes vagynullosztómentes, ha az alapgyűrű is az
• Has egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és${\displaystyle k\in {\mathbb{N}}_0}$, akkor${\displaystyle (x^k\mathbf{s}{)}_i=0}$, hai > k, és${\displaystyle (x^k\mathbf{s}{)}_i={\mathbf{s}}_{i-k}}$, ha${\displaystyle k\le i\in {\mathbb{N}}_0}$
• Az egyhatározatlanú formális hatványsorok gyűrűje egybenmodulus is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkorunitér, ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkorvektortér, ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkoralgebra, ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
• Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan,ferdetest feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
• Hatványsor akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
• Ha az alapgyűrűtest, akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
• Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei${\displaystyle x^u\mathbf{s}}$ alakúak, aholu egész. Ez a test az alaptest fölöttiLaurent-sorok teste

Gonda, János.Véges testek (PDF) [2011]. Hozzáférés ideje: 2015. október 7. 

Ez a szócikk vagy szakaszlektorálásra, tartalmi javításokra szorul.A felmerült kifogásokata szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek).Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! (2005 januárjából)

• Gyűrűelmélet
• Polinomok
• Végtelen sorok

• Forrással nem rendelkező lapok
• Az összes lektorálandó lap
• Lektorálandó lapok 2005 januárjából