Ez a lap egy ellenőrzött változata
A-nel jelöltEuler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) amatematikában aszámelmélet, különösen amoduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún.számelméleti függvény.J. J. Sylvester 1879-ben atotient (kb. „annyiszoros”, magyarul a hányados-kvóciens mintájára esetlegtóciens) függvény nevet adta neki.
Legelemibb meghatározása, hogyegy adott pozitív egész számhoz a nála nem nagyobbrelatív prím pozitív egész számok számát adja meg.
Formálisan:
Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény a modulo nredukáltmaradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, amaradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva).
Félig-meddig explicit (aszámelmélet alaptételét használó)képlet is adható e függvény kiszámítására, ld.lentebb.
Általánosítása aJordan-függvény.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Talán a legfontosabb tulajdonsága, hogy („gyengén”)multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán ugyanazt az értéket veszi fel, mint ami a két számon felvett értékének szorzata:
Például:
(lásd azÉrtékei kis számokra c. táblázatot)
A két prímszám szorzata:, valamint, ami pontosan.
ahol tehát az szám különböző prímtényezőinek száma, pedig valamely prímtényezője. A képlet n=0,1-re nem alkalmazható, de mind az elemi, mind a formális definíció szerint φ(0)=0, φ(1)=1.
Például φ(10) = 10×(1-1/2)×(1-1/5) = 10×(1/2)×(4/5)=4; és valóban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közt négy darab 10-hez relatív prím van: 1, 3, 7, és 9.
AMöbius-függvény segítségével ez
alakban írható.
Ez bizonyítható az explicit formulából, de így is: vegyük az
törteket. Ezek száma nyilvánn. Írjuk mindegyiket egyszerűsített formában! Ekkor ezeka/d alakú törtek lesznek, ahold osztójan-nek. Adottd-hez azok aza számlálók adódnak, amelyekkel egyszerűsített törtet alkot, azaz, ha. Innen adódik a kívánt azonosság.
Egytotient vagytóciens szám (a kvóciens mintájára) az Euler-függvény által felvett érték, tehát a φ függvény értékkészletének egy eleme. Olyanm egész, amihez létezik legalább egy olyann, amire φ(n) = m. A tóciensm szám valenciáján vagy multiplicitásán az előbbi egyenlet megoldásainak számát értjük (tehát hogy a φ függvény hányszor veszi fel azm értéket).[1] Egynontóciens szám alatt olyan természetes számot értünk, ami nem tóciens szám; az egynél nagyobb páratlan számok mind ilyenek, de rajtuk kívül is végtelen sok nontóciens szám létezik,[2] és minden páratlan számnak létezik páros, nontóciens többszöröse.[3]
Azx-nél kisebb tóciens számok határértéke
ahol a konstansC = 0,8178146... .[4]
Ha a multiplicitást figyelembe véve számoljuk össze, azx-nél kisebb tóciens számokat megadó képlet:
ahol azR hibatag nagyságrendje legfeljebb bármilyen pozitívk-ra.[5]
Ismert az is, hogym multiplicitása végtelen sokszor haladja megmδ-t, amennyiben δ < 0,55655.[6][7]
(Ford 1999) igazolta, hogy mindenk ≥ 2 egész számhoz létezikk multiplicitásúm tóciens szám; tehát amire a φ(n) = m egyenletnek pontosank megoldása van; az eredményt korábbanWacław Sierpiński sejtette meg,[8]Schinzel H hipotézise folyományaként.[4] Valóban, minden előforduló multiplicitás végtelen sokszor is előfordul.[4][7]
Nem ismerünk azonban olyanm számot, melynek multiplicitásak = 1. ACarmichael-sejtés állítása szerint nem is létezik ilyenm.[9]
Aritkán tóciens számok koncepcióját David Masser és Peter Man-Kit Shiu alkották meg 1986-ban. Megmutatták, hogy mindenprimoriális ritkán tóciens. Egyntermészetes szám pontosan akkor ritkán tóciens, ha mindenm >n természetes számra:
ahol az Euler-függvényt jelenti.
Az elgondolás hasonló, mint azerősen összetett számoké: egyerősen tóciens szám(highly totient number) olyank egész szám, amire több megoldása van a
egyenletnek – φ az Euler-függvényt jelöli – mint bármely nála kisebb egésznek. Nagyobb avalenciája vagymultiplicitása, mint a nála kisebb számoknak.[10]
Azn számkotóciense éppenn − φ(n). Értéke megegyezik azn-nél nem nagyobb,n-nel legalább egy közös prímtényezővel bíró számokéval.
Anonkotóciens számok azok a számok, melyek nem fordulnak elő semmilyen szám kotócienseként sem, tehát azm − φ(m) = n egyenletnek nincs megoldásam-re.
Egyerősen kotóciens szám(highly cototient number) olyank>1 egész szám, amire több megoldása van a következő egyenletnek:
mint bármely 1<n<k egész szám esetében, tehát ami több számnak kotóciense, mint bármely nála kisebb 1-nél nagyobb egész. Az egyenletben φ az Euler-függvényt jelöli. Mivel ak =1 esetben az egyenletnek végtelen sok megoldása van, ezért ezt az értéket kihagyták a definícióból.
