Pályafutását szülővárosa csapatában aZadarban kezdte. A 2003–04-es idényben mutatkozott be a felnőtt csapatban. A 2005–06-os szezonban miután a Zadar kiesett az első osztályból a csapat első számú kapusa lett.
2008 nyarán aHajduk Splithez került kölcsönbe. A 2008–09-es szezon első felében 18 bajnokin védett. A téli szünetet követően a Hajduk vezetősége úgy döntött, hogy leigazolják Subašićot. A2009-10-es bajnokságban 28 alkalommal védte a Hajduk kapuját és hozzájárult ahhoz, hogy megnyerték ahorvát-kupát.
2012 januárjában afrancia másodosztályban szereplőMonacohoz igazolt.[2] A tavaszi idényben 17 mérkőzésen védte a monacoiak kapuját. Az utolsó fordulóban az ő szabadrúgásgóljával győzték le idegenben aBoulogne-t 2–1 arányban.
A horvát U21-es válogatottban 2006. március 1-jén Dánia ellen szerepelt először, összesen pedig hat alkalommal. A felnőtt nemzeti csapatban 2009. november 14-én debütálhatott egyLiechtenstein elleni barátságos mérkőzésen. A találkozót –melyet 5–0-ra a horvátok nyertek meg– végig védte.
Az Európa-bajnoki keretszűkítést követően a szövetségi kapitánySlaven Bilić nevezte őt a2012-es Eb-re készülő 23 fős keretébe.
A 2018-as Világbajnokságon első számú kapusa volt a válogatottnak, és meghatározó szerepe volt abban, hogy Horvátország a döntőig meneteljen. A torna vége után visszavonult a válogatottságtól.
