Ez a lap egy ellenőrzött változata
Amatematikában azantilánc egyrészbenrendezett halmaz olyanrészhalmaza, melynek elemei közül semelyik kettő sem hasonlítható össze.
Egyes szerzők antilánc néven hivatkoznak azerős antiláncra, ami olyan részhalmaz, melynek semelyik két eleménél sem találunk kisebb elemet a részbenrendezett halmazban.
LegyenS egy részbenrendezett halmaz. Azt mondjuk, hogy a halmaz két eleme,a ésb akkor összehasonlíthatók, ha vagya ≤b vagyb ≤a. Ha példáulx ésy-ra sem azx ≤y, sem azy ≤x nem áll fenn, akkor a két elem össze nem hasonlítható.
AzS halmazban egylánc olyanCrészhalmaz, melyben bármely elempár összehasonlítható; azazCrendezett halmaz. AzS halmazban azA részhalmazantilánc, amennyiben semelyik elempár sem hasonlítható össze egymással; tehátA semelyik két eleme között sincs rendezési reláció.
Maximális antilánc alatt olyan antiláncot értünk, ami nemvalódi részhalmaza egyetlen más antiláncnak sem. A maximális antiláncszámossága nagyobb vagy egyenlő bármely más antilánc számosságánál. A részbenrendezett halmazszélessége megegyezik maximális antiláncának számosságával. Mivel bármely antilánc legfeljebb egyetlen közös elemet tartalmaz egy lánccal, ha a halmazt fel tudjuk osztanik láncra, akkor a részbenrendezett halmaz szélességének legfeljebbk-nak kell lennie.Dilworth tétele kimondja, hogy ezt a határt minden esetben el is lehet érni: mindig létezik olyan antilánc, és a halmaz elemeinek olyan láncokra bontása, hogy a láncok száma megegyezik az antilánc elemeinek számával, ami szintén megegyezik a részbenrendezett halmaz szélességével.
Hasonló módon definiálható egy részbenrendezett halmazmagassága, mely megegyezik amaximális lánc számosságával. A Dilworth-tétel duálisa, aMirsky-tétel kimondja, hogy bármely véges magasságú részbenrendezett halmaznál a magasság megegyezik azzal a számmal, ahány antiláncra lehet bontani a részbenrendezett halmazt minimálisan.