Albon autóversenyzői pályafutásátgokartozással kezdte. Számos gokart bajnokságot nyert azEgyesült Királyságban, így 2010-ben CIK FIA Világkupát és a CIK FIA Európa-bajnokságot a KF3 géposztályban. 2011-ig gokartozott, abban az évben második lett WSK Euro Series KF1 géposztályában és a CIK FIA Világbajnokságon.[1]
2012-ben váltott formulaautózásra.[2] Abban az évben aFormula Renault sorozatban indult. Nem sikerült pontot szereznie az idény során, az összetett pontversenyben a 38. helyen zárt. Ugyanebben az évben a széria Alps szakágában – Svájc, Olaszország és Ausztria versenypályáin rendeznek futamokat – is rajthoz állt, itt összetettben a 17. helyen zárt. Az év végén a Red Bull megszüntette a támogatását és kitette afiatal versenyzőket segítő programjából.[3] Ezt követően a Lotus junior programjának tagja lett.[4]
2013-ban a Formula Renault sorozatban mint az európai, mint pedig az alpesi és az északi versenysorozatában is indult versenyeken. 2014-ben a Formula Renault 2.0 Európa-kupában az összetett pontverseny harmadik helyén zárt.
2015-ben aFormula–3 Európa-bajnokságban folytatta pályafutását. A szezon végén hetedik lett a pontversenyben, miután háromszor is második helyen intették le egy-egy futamot követően. 2016-ban aGP3-as sorozatban állt rajthoz azART Grand Prix versenyzőjeként. Négy futamot nyert a szezon során, ennek ellenére a bajnoki címet a nála kiegyensúlyozottabb teljesítményt nyújtó csapattársa,Charles Leclerc nyerte meg.[5] 2017-ben, ugyancsak az ART színeiben aFormula–2-ben indult,[6] ahol az év végén összetettben a 10. helyen végzett.[7]
2018-ban aDAMS csapathoz szerződött és ismét a Formula–2-ben versenyzett.[8] Abban a szezonban már kiegyensúlyozottabb teljesítményt nyújtott, négy futamot nyert és összesen nyolc alkalommal állhatott dobogóra. A bajnoki címért is versenyben volt, azonban azt az ART-vel versenyzőGeorge Russell nyerte, a Carlin csapatában versenyző riválisa,Lando Norris előtt. Albon az összetett pontverseny harmadik helyén zárt.[9]
Albon a DAMS-szal a2018–2019-es szezont illetően megegyezett, hogy az istálló színeiben aFormula–E-ben fog versenyezniSébastien Buemi csapattársaként.[10] A szerződést semmisnek tekintették, miután aToro Rosso a Formula–1-es csapatában kínált szerződést Albonnak, akit kivásároltak a DAMS-tól.[11]
AToro Rosso 2018. november 28-án jelentette be hivatalosan, hogy a 2019-es szezonban Albon leszDanyiil Kvjat csapattársa aFormula–1-ben. Érdekesség, hogy így aRed Bull második csapatánál kapott lehetőséget a debütálásra a királykategóriában, miután az osztrák csapat 2012-ben nem tartott igényt a további szolgálataira.[12] Albon lett a sportág történetének második thai versenyzőjePrince Bira után.[13]2019.augusztus 12-én bejelentették, hogy abelga nagydíjtólPierre Gasly helyét veszi át és lettMax Verstappen csapattársa aRed Bullnál.[14] 2021-reSergio Pérez leigazolása miatt nem kapott ülést, a csapat teszt- és fejlesztőpilótájaként folytatta pályafutását.[15]
2021. január 4-én aRed Bull hivatalos közleményben tudatta, hogy Albon2021-ben néhány versenyen rajthoz áll az újjáalakulóDTM néhány olyan versenyén, amelyek nincsenek ütközésben aFormula–1-es hétvégékkel.[17] ANürburgringen rendezett hétvégén a második versenyre megszerezte az első rajtkockát, majd a futamon végig vezetett és ezzel első győzelmét ünnepelhette a bajnokságban.[18] A szezon során az utolsó két versenyt kivéve minden futamon rajthoz állt,[19] összesítésben a 6. helyen zárta az évet.