Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Prijeđi na sadržaj
WikipedijaSlobodna enciklopedija
Traži

Schrödingerova jednadžba

Izvor: Wikipedija
Ovaj članak ili dio člankanije pokrivenizvorima.
Pomozite Wikipedijinavođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica. Sadržaj bez izvoramože biti osporen i uklonjen.
Kvantna fizika


Uvod u kvantnu mehaniku

Matematička formulacija kvantne mehanike

Fundamentalni koncepti
Komplementarnost ·Dekoherencija ·Sprezanje ·Interferencija ·Energetska razina ·Nelokalnost ·Kvantni broj ·Stanje ·Superpozicija ·Simetrija ·Tuneliranje ·Neodređenost ·Isključenje ·Teorija transformacije ·Valna funkcija (kolaps) ·Ehrenfestov teorem ·Mjerenje
Eksperimenti
Afsharov ·Bellova nejednakost ·Davisson–Germer ·Dvostruka pukotina ·Elitzur–Vaidman ·EPR paradoks ·Franck–Hertz ·Mach–Zehnder ·Popperov ·Kvantni brisač (odgođeni izbor) ·Schrödingerova mačka ·Stern–Gerlach eksperiment ·Wheelerov odgođeni izbor
Jednadžbe
Schrödingerova jednadžba ·Paulijeva jednadžba ·Klein-Gordonova jednadžba ·Diracova jednadžba
Napredne teorije
Kvantna teorija polja ·Kvantna elektrodinamika ·Kvantna kromodinamika ·Kvantna gravitacija ·Feynmanov dijagram
Interpretacije
Znanstvenici
Planck ·Schrödinger ·Heisenberg ·Bohr ·Pauli ·Dirac ·Bohm ·Born ·de Broglie ·von Neumann ·Einstein ·Feynman ·

Everett ·Drugi

Schrödingerova jednadžba jestparcijalna diferencijalna jednadžba zavalnu funkciju uz pomoć koje se unerelativističkojkvantnoj fizici može pratiti i statistički predviđati ponašanje sićušnih (kvantnih) sustava. Ime je dobila po austrijskom fizičaruErwinu Schrödingeru koji je pretpostavio njezin oblik 1925. godine,[1] za što je dobio Nobelovu nagradu za fiziku 1933. Temeljio ju je na postulatuLouisa de Brogliea da sva materija ima pridruženi val. Jednadžba je predviđala vezana stanja atoma u skladu s eksperimentalnim opažanjima, a njezino je otkriće bila značajna prekretnica u razvojukvantne mehanike.

Za jednu česticu u nekom danompotencijalu jednadžba je

−ℏ22m∇2ψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t){\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (r,t)+V(r,t)\,\psi (r,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (r,t)}

Tu su:

ψ (r,t) {\displaystyle \psi \ (r,t)\ } valna funkcija pridružena čestici, ovisna o položaju i vremenu
V(r,t) {\displaystyle V(r,t)\ }potencijalna energija
∇{\displaystyle \nabla }Hamiltonov operator, nabla
∂∂t{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}} parcijalna derivacija po vremenu
m{\displaystyle m} masa čestice
ℏ{\displaystyle \hbar } reduciranaPlanckova konstanta
 i {\displaystyle \ i\ }imaginarna jedinica

Schrödingerova jednadžba u okvirukvantne mehanike ima ulogu koju uklasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon gibanja. Za razliku od Newtonove mehanike koja je deterministička u smislu da iz početnih uvjeta daje jednoznačnu evoluciju sustava, u najšire prihvaćenoj interpretacij kvadrat apsolutne vrijednosti ikompleksne Schrödingerove valne funkcije daje gustoću vjerojatnosti nalaženja čestice u danom trenutku u okolini danog položaja.

U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobiva se valno rješenje, što je u skladu s pretpostavkom o valnim svojstvima čestica, koju je postavioLouis de Broglie.[2]

Za makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uzℏ=0{\displaystyle \hbar =0} jednadžba prelazi uHamilton-Jacobijevu jednadžbuklasične mehanike.[za koju veličinu?][3]

Vremenski ovisna Schrödingerova jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Najopćenitiji oblik Schrödingerove jednadžbe, koji se ne oslanja na koordinatnu reprezentaciju, sljedeći je:

iℏddt|ψ(t)⟩=H^|ψ(t)⟩{\displaystyle {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \psi (t)\rangle }}

Ovdje je|ψ(t)⟩{\displaystyle \vert \psi (t)\rangle } ket stanjaψ(t){\displaystyle \psi (t)} u Diracovoj bra-ket notaciji (bracket. eng zagrada), odnosno vektor u kompleksnom vektorskom prostoru, a fizikalno predstavljastanje nekog kvantnog sustava.

S desne strane nalazi se Hamiltonov operatorH^{\displaystyle {\hat {H}}} (ne zabuniti s istoimenim diferencijalnim operatorom "nabla"∇{\displaystyle \nabla } s početka članka). Ovo je linearni Hermitski (nepromjenjen nakon transponiranja i kompleksne konjugacije) operator (matrica) koja fizikalno predstavlja ukupnu energiju sustava.[4]

U ovom obliku, Schrödingerova jednadžba je parcijalna diferencijalna jednadžba koja ovisi o vremenu i time omogućuje opisivanje evolucije (dinamike) sustava. Ako znamo ukupnu energiju sustavaH^{\displaystyle {\hat {H}}}, pomoću Schrödingerove jednadžbe znamo kako će se sustav ponašati u budućnosti. HamiltonijanH^{\displaystyle {\hat {H}}} upravlja vremenskom evolucijom sustava.[5]

Unitarnost

[uredi |uredi kôd]

Schrödingerova jednadžba uzima se kao postulat kvantne mehanike, i kao takva opisuje dinamiku kvantnih sustava. Također, dinamika kvantnih sustava može se opisati pomoću operatora vremenske evolucijeU^(t){\displaystyle {\hat {U}}(t)}. Operator vremenske evolucije je unitaran, a to znači da vrijedi:U^†U=I{\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }U=I}gdje†{\displaystyle \dagger } predstavlja Hermitsku konjugaciju (transponiranje matrice i kompleksna konjugacija), aI{\displaystyle I} je jedinična matrica.

Unitarnost je jako bitno svojstvo kvantne mehanike, ono osigurava mogućnost preokretanja vremenske evolucije, odnosno osigurava da nema gubitka informacija prilikom evolucije sustava. Također unitarnost osigurava sačuvanje norme vektora, te da očekivane vrijednosti operatora ostanu valjane nakon vremenske evolucije.

Ako imamo početno stanje|Ψ(0)⟩{\displaystyle |\Psi (0)\rangle }, onda stanje|Ψ⟩{\displaystyle |\Psi \rangle } u nekom trenutkut{\displaystyle t} kasnije biti će određeno sa:

|Ψ(t)⟩=U^(t)|Ψ(0)⟩{\displaystyle {\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }}

Operator vremenske evolucijeU^(t){\displaystyle {\hat {U}}(t)} definira se s pomoću operatoraU^(t)=e−iH^t/ℏ{\displaystyle {{\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}}. Vremenska evolucija stanja|Ψ(t)⟩{\displaystyle |\Psi (t)\rangle } onda može se opisati kao:

|Ψ(t)⟩=e−iH^t/ℏ|Ψ(0)⟩.{\displaystyle {\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}}

Ovo je ujedno i rješenje vremenski ovisne Schrödingerove jednadžbe ako jeH^{\displaystyle {\hat {H}}} vremenski neovisan.[6]

Ovako definirana vremenska evolucija je deterministička u smislu da – s obzirom na početno kvantno stanjeψ(0){\displaystyle \psi (0)} – daje definitivno predviđanje kakvo će kvantno stanjeψ(t){\displaystyle \psi (t)} biti u bilo kojem kasnijem trenutku.

Vremenski neovisna Schrödingerova jednadžba

[uredi |uredi kôd]

U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednadžba izgleda kao:

[−ℏ22m∇2+V(r)]ψ(r)=Eψ(r),{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\psi (r)=E\psi (r),}

ili:

−ℏ22m∇2ψ+(V(r)−E)ψ=0,{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +(V(r)-E)\psi =0,}

Promatrano s matematičkog stajališta, valna funkcija, koja je rješenjediferencijalne jednadžbe drugog reda Sturm-Liouvilleovog tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. Budući da su električni naboj i struja definirani pomoću valne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani.[što to znači?]

Osim matematičkih uvjeta, valna funkcija, kao rješenje Schrödingerove jednadžbe, mora zadovoljavati i neke fizikalne uvjete. Očito je da valna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. Rubni uvjeti na gore navedenu jednadžbu također su fizikalni uvjeti. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je V>E{\displaystyle \ V>E}, valna funkcija na velikim udaljenostima ( r→∞{\displaystyle \ r\rightarrow \infty }) mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju H {\displaystyle \ H\ } postoji skupvlastitih funkcija (engl.eigenfunctions)ψn {\displaystyle \psi _{n}\ } i odgovarajućih realnihsvojstvenih vrijednosti En {\displaystyle \ E_{n}\ }(engl.eigenvalues) za koje vrijedi:

 Hψn=Enψn{\displaystyle \ H\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jednoj vlastitoj vrijednosti tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih valnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. U gornjim izrazima indeks n može zapravo predstavljati skup više kvantnih brojeva.

Općenito rješenje Schrödingerove jednadžbe

[uredi |uredi kôd]

Kada postoje određeniEn{\displaystyle E_{n}} iψn{\displaystyle \psi _{n}} rješenje vremenski ovisne Schrödingerove jednadžbe je:

ψn(r,t)=e−iEnt/ℏψn(r){\displaystyle \psi _{n}(r,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }\psi _{n}(r)}


Budući da je Schrödingerova jednadžba linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, pa se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

ψ(r,t)=∑nCne−iEnt/ℏψn(r){\displaystyle \psi (r,t)=\sum _{n}C_{n}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{n}t/\hbar }\psi _{n}(r)}

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrödingerovu jednadžbu u nedegeneriranom slučaju, valne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na1, tj. vrijedi:

∫ψn∗(r)ψmd3r=δij{\displaystyle \int \psi _{n}^{*}(r)\psi _{m}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\delta _{ij}}

gdje je:

δij {\displaystyle \delta _{ij}\ } simbol Kroneckerova delta,δij=1 {\displaystyle \delta _{ij}=1\ } zai=j {\displaystyle i=j\ }, inačeδij=0 {\displaystyle \delta _{ij}=0\ }
ψn∗(r) {\displaystyle \psi _{n}^{*}(r)\ } kompleksno konjugirana funkcija odψn(r) {\displaystyle \psi _{n}(r)\ }

Atom vodika

[uredi |uredi kôd]

Kvantna mehanika , pomoću Schrödingerove jednadžbe, opisuje sve (kvantno-mehaničke) sustave oko nas. Klasična mehanika može se smatrati kao samo aproksimacija te vrijedi za sustave kod kojih su kvantno-mehanički utjecaji zanemarivi.

Pomoću Schrödingerove jednadžbe, u teoriji, mogla bi se opisati cijelakemija. Naravno, zbog matematičke složenosti samo određen broj kvantnih sustava imaju zatvoreno cjelovito riješenje.

Jedan od takvih sustava je model najjednostavnijeg atoma, to jest model atomavodika. Atom vodika je atom koji ima samo jedan proton i jedan elektron.

Hamiltonijan atoma vodika jest sljedeći:

H^=−ℏ22μ∇2−e24πε0r{\displaystyle {\hat {H}}={\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}}

gdje prvi član predstavlja kinetičku energiju sustava, a drugi član predstavlja potencijalnu energiju, primjetiti sličnost sCoulombovim potencijalom.

Slijedi vremenski nestacionarna Schrödingerova jednadžba za model atoma vodika:

iℏdψdt=−ℏ22μ∇2−e24πε0r{\displaystyle {\displaystyle i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}}

Ova jednadžba opisuje dinamiku atoma vodika i ima analitičko riješenje, za sve ostale atome s više od 1 elektron, analitička rješenja su ne postojeća, te se pribjegava numeričkim metodama.[7]

Fizikalno značenje valne funkcije

[uredi |uredi kôd]

Sama Schrödingerova jednadžba ne daje točno fizikalno značenje valne funkcije:ψ(r) {\displaystyle \psi (r)\ }. Do interpretacije značenja valne funkcije može se doći razmotranjem jednadžbe kontinuiteta iz klasične fizike:

∂ρ(r,t)∂t+∇⋅j=0{\displaystyle {\partial {\rho (r,t)} \over \partial t}+\nabla \cdot j=0}

gdje je:

ρ(r,t) {\displaystyle \rho (r,t)\ } - gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu
 j {\displaystyle \ j\ } - gustoća struje
∇{\displaystyle \nabla } -operator divergencije

Ako se Schrödingerova jednadžba pomnoži saψn∗(r){\displaystyle \psi _{n}^{*}(r)}, a kompleksno konjugirana Schrödingerova jednadžba pomnoži saψn(r) {\displaystyle \psi _{n}(r)\ }, te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobiva se izraz:

∂ψ∗ψ∂t+iℏ2m∇⋅(ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ)=0{\displaystyle {\partial {\psi ^{*}\psi } \over \partial t}+{i\hbar \over {2m}}\nabla \cdot (\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi )=0}

Ako se ova jednadžba usporedi s jednadžbom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

ρ(r,t) =eψ∗ψ{\displaystyle \rho (r,t)\ =e\psi ^{*}\psi }
j=iℏe2m(ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ){\displaystyle j={i\hbar e \over {2m}}(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi )}

Iako jednadžba kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoćaρ(r,t) {\displaystyle \rho (r,t)\ } se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja j {\displaystyle \ j\ } je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednadžba kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehaniciimpuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno točno odrediti, već je njihovo određivanje ograničenoHeisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacijaρ(r,t) {\displaystyle \rho (r,t)\ } i j {\displaystyle \ j\ } u jednadžbi kontinuiteta mora redefinirati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerojatnosna) interpretacijaMaxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt f(r) =ψ∗ψ{\displaystyle \ f(r)\ =\psi ^{*}\psi } treba shvatiti kao gustoću vjerojatnosti da se čestica nalazi u točki prostora definiranoj sa r {\displaystyle \ r\ }. To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, Sama valna funkcijaψn(r) {\displaystyle \psi _{n}(r)\ }, koja može biti ikompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerojatnost da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu d3x {\displaystyle \ d^{3}x\ } jednaka jeψ∗ψd3x {\displaystyle \psi ^{*}\psi d^{3}x\ }. Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uvjeta ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost1. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrödingerova jednadžba ima mnoga bitna ograničenja, ova jednadžba ne može se primjenit na opisfotona. Također, nije uzet u obzirspin čestica, koji je važno fizikalno svojstvo nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.

Matrica gustoće

[uredi |uredi kôd]

Poopćenje valne funkcijeψ{\displaystyle \psi } je matrica gustoće ili operator gustoćeρ{\displaystyle \rho } koji zamijenjuje valnu funkciju te služi za opisivanje ansambla u kvantnoj mehanici. Koristi se kad nemamo "čista" stanja koja se mogu opisivati samo valnim funkcijama nego kad imamo pomiješana stanja. Pomiješano stanje koristimo kad sustav nije u jednom stanju sasvim određenom sψ{\displaystyle \psi } nego je u vjerojatnosnoj ponderiranoj sumi raznih stanja.

Matrica gustoće definira se kaoρ=∑jpj|ψj⟩⟨ψj|{\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}

operacija|ψj⟩⟨ψj|{\displaystyle |\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|} je takozvani vanjski produkt čiji rezultat nije broj, nego linearni operator.[8] Općenito, ako primjenimo|ψj⟩⟨ψj|{\displaystyle |\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|} na operator|A⟩{\displaystyle |A\rangle } dobivamo|ψj⟩⟨ψj||A⟩{\displaystyle |\psi _{j}\rangle \quad \langle \psi _{j}||A\rangle }, odnosno vektor pomnožen s unutarnjim produktom (čiji je rezultat (kompleksni) broj). Ustvari, radimo projekciju⟨ψj||A⟩{\displaystyle \langle \psi _{j}||A\rangle } na vektor|ψj⟩{\displaystyle |\psi _{j}\rangle }, pa se|ψj⟩⟨ψj|{\displaystyle |\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|} zove i operator projekcije.

Evolucija sustava opisuje se pomoćuLiouville-von Neumannove jednadžbe:[9][10]

iℏρ˙=[H,ρ]{\displaystyle i\hbar {\dot {\rho }}=[H,\rho ]}

ovdje su[⋅,⋅]{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} komutatori. Ova jednadžba vrijedi samo kad se evolucija operatora gustoće promatra u Schrödingerovoj slici, odnosno gdje stanja evoluiraju u vremenu, makar podsijeća na Heisenbergovu jednadžbu gibanja koja je definirana u Heisenbergovoj slici.

Općenito, u Schrödingerovoj slici evolucija operatora gustoće pomoću unitarnih operatoraU^(t){\displaystyle {\hat {U}}(t)} opisuje se kao:

ρ(t)=U^(t)ρ(0)U^(t)†{\displaystyle \rho (t)={\hat {U}}(t)\rho (0){\hat {U}}(t)^{\dagger }},

a u Heisenbergovoj slici operatori evoluiraju kao

A^(t)=U^†(t)A^(0)U^(t){\displaystyle {\hat {A}}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {A}}(0){\hat {U}}(t)}.

Liouville-von Neumannova jednadža koristi se u kvantnoj statističoj mehanici, opisivanju otvorenih kvantnih sustava i prilikomkvantnog sprezanja.[11]

Druge formulacije

[uredi |uredi kôd]

Heisenbergova slika

[uredi |uredi kôd]

Naravno, formulacija pomoću Schrödingerove jednadžbe, nije jedina moguća formulacija koja opisuje dinamiku kvantnih sustava. Postoje razne tzv. slike koje služe za opisivanje vremenske evolucije. Najpoznatije su Schrödingerova slika (opisana u članku) Heisenbergova slika te Diracova slika (posredna slika između Schrödingerove i Heisenbergove slike).

U Heisenbergovoj slici, dinamiku sustava opisuje Heisenbergova jednadžba gibanja, u kojoj operatori postaju vremenski ovisni.[12]

Tako, prema toj formulaciji, vremenska evolucija operatoraA{\displaystyle A} jest sljedeća:

ddtA(t)=iℏ[H(t),A(t)]+(∂AS∂t){\displaystyle {\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H(t),A(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)}}

Ova formulacija najsličnija je klasičnoj mehanici odnosno Hamiltonovoj formulaciji klasične mehanike, samo uz potrebnuizmjenu komutatora[⋅,⋅]{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} u Poissonove zagrade{⋅,⋅}{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}, odnosno:

1iℏ[A,H]→{A,B}{\displaystyle {\frac {1}{i\hbar }}[A,H]\rightarrow \{A,B\}}

dobivamo jednadžbu vremenske evolucije klasičnih sustava

A˙={A,H}{\displaystyle {\dot {A}}=\{A,H\}}

ovdje jeA{\displaystyle A} proizvoljna glatka funkcijap{\displaystyle p} (količina gibanja) iq{\displaystyle q} (poopćena koordinata) varijabli. Ova jednadžba ekvivalentna je Hamiltonovim jednadžbama, Lagrangeovoj jednadžbi te drugom Newtonovom zakonu.

Feynmanovi integrali po putevima

[uredi |uredi kôd]
Podrobniji članak o temi:Integral po putevima (kvantna mehanika)

U ovoj ekvivalentnoj formulaciji kvantne mehanike koju je započeo Dirac, a doveo u konačan oblik Richard Feynman radi se povezanost s Lagrangeovom formulacijom kvantne mehanike iprincipom stacionarnog djelovanja.

U ovom pristupu kvantnoj mehanici, definira se propagator

K(xf,tf;xi,ti){\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})} kao:

K=∫D[x(t)]eiℏS[x(t)]{\displaystyle K=\int {\mathcal {D}}[x(t)]\,e^{{\frac {i}{\hbar }}S[x(t)]}}

gdje jeS{\displaystyle S} djelovanje

S[x(t)]=∫titfL(x,x˙,t)dt,{\displaystyle S[x(t)]=\int _{t_{i}}^{t_{f}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt,}aD[x(t)]{\displaystyle {\mathcal {D}}[x(t)]} mjera po kojoj integriramo.

Prema ovom tumačenju, čestica nema dobro definiranu putanju između dvije točke, nego ona uzima svaku moguću putanju. Svakoj putanji pridružuje se kompleksni broj te se njihovom sumom (integralom) dobija vjerojatnost da ćemo nači česticu na nekoj točkiB{\displaystyle B} ukoliko je krenula izA{\displaystyle A}.

Ova formulacija povezana je sa Schrodingerovom slikom i valnom funkcijom sa sljedećim integralom:

ψ(x,t)=1Z∫x(0)=xDxeiS[x,x˙]ψ0(x(t)){\displaystyle {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}}

gdjeDx{\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} } označava integraciju po svim putanjamax{\displaystyle \mathbf {x} } sax(0)=x{\displaystyle \mathbf {x} (0)=x},Z{\displaystyle Z} je normalizacijska konstanta, aS{\displaystyle S} je djelovanje.

Ova formulacija se korisi u kvantnoj elektrodinamici i kvantnoj teoriji polja i pomoću nje se može objasniti princip stacionarnog djelovanja.

Za sustave kod kojih je djelovanjeS>>ℏ{\displaystyle S>>\hbar } (sustave klasične mehanike) integral po putu je dominiran rješenjima koja su jako bliska stacionarnim točkama djelovanja i onda se zbog toga sustav u klasičnoj mehanici uvijek kreće putem stacionarnog djelovanja, te ulogu glavne jednadžbe dinamike tada preuzimaEuler-Lagrangeova jednadžba.

Formulacija faznog prostora

[uredi |uredi kôd]

Još jedna formulacija jest formulacija faznog prostora. Kvantna mehanika obično se radi u Hilbertovom prostoru (kompleksni vektorski prostor), no ovdje pomoću Wigner–Weylove transformacije,

f(q,p)=2∫−∞∞dy e−2ipy/ℏ ⟨q+y|Φ[f]|q−y⟩{\displaystyle {f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle }}

gdje jef(q,p){\displaystyle f(q,p)} funkcija u faznom prostoru, aΦ[f]{\displaystyle \Phi [f]} linearni operator u Hilbertovom prostoru,

prebacujemo Liouville-von Neumannovu jednadžu

iℏρ˙=[H,ρ]{\displaystyle i\hbar {\dot {\rho }}=[H,\rho ]}

iz Hilbertovog prostora i Schrödingerove slike u fazni prostor, te dobivamoMoyalovu jednadžbu dinamike:

dWdt={{H,W}}{\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=\{\{H,W\}\}}

gdje su{{⋅,⋅}}{\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}} Moyalove zagrade, aW{\displaystyle W} Wignerova funkcija, koja se za miješana stanja definira kaoW(x,p)=1πℏ∫−∞∞⟨x−y|ρ^|x+y⟩e2ipy/ℏdy{\displaystyle {\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x-y|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy}}To je kvazi-vjerojatnosna raspodjela (raspodjela slična običnoj vjerojatnosnoj raspodjeli, samo su neki Kolmogorovljevi aksiomi[13] opušteni) i opisuje ansambl sustava u kvantnoj mehanici u faznom prostoru.

Moyalova jednadžba se zapisuje pomoću Moyalovih zagrada{{⋅,⋅}}{\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}, ali se također može zapisati kao

dWdt={{H,W}}={H,W}+O(ℏ2),{\displaystyle {{\frac {dW}{dt}}=\{\{H,W\}\}=\{H,W\}+O(\hbar ^{2}),}}

gdje su{⋅,⋅}{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}} obične Poissonove zagrade.

Te vidimo kako zaℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0} Moyalova jednadžba prelazi uLiouvilleovu jednadžbu klasične (statističke mehanike):

dρdt={H,ρ}{\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=\{H,\rho \}}

gdjeρ{\displaystyle \rho } predstavlja gustoću vjerojatnosti u faznom prostoru.

Izvori

[uredi |uredi kôd]
  1. ↑Schrödinger, E. 1926.An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules(PDF).Physical Review.28 (6): 1049–70.Bibcode:1926PhRv...28.1049S.doi:10.1103/PhysRev.28.1049. Inačicaizvorne stranice(PDF) arhivirana 17. prosinca 2008.
  2. ↑de Broglie, Louis Victor. "On the Theory of Quanta" (PDF). Foundation of Louis de Broglie (English translation by A.F. Kracklauer, 2004. ed.). Retrieved 2 January 2020.
  3. ↑Peres, Asher (1993). Quantum Theory: Concepts and Methods. Kluwer.ISBN 0-7923-2549-4. OCLC 28854083.
  4. ↑Weisstein, Eric W. "Conjugate Transpose". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-08
  5. ↑Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers.ISBN 978-0-306-44790-7.
  6. ↑ Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers.ISBN 978-0-306-44790-7.
  7. ↑Bethe, H. A., & Salpeter, E. E. (1957). Quantum mechanics of one- and two-electron atoms. Springer
  8. ↑ Davidson, Ernest Roy (1976). Reduced Density Matrices in Quantum Chemistry. Academic Press, London.
  9. ↑Breuer, Heinz; Petruccione, Francesco (2002), The theory of open quantum systems, Oxford University Press, p. 110,ISBN 978-0-19-852063-4
  10. ↑Schwabl, Franz (2002), Statistical mechanics, Springer, p. 16,ISBN 978-3-540-43163-3
  11. ↑ Hall, Brian C. (2013). "Systems and Subsystems, Multiple Particles". Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267. pp. 419–440. doi:10.1007/978-1-4614-7116-5_19.ISBN 978-1-4614-7115-8.
  12. ↑"Heisenberg representation". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 3 September 2013.
  13. ↑https://www.enciklopedija.hr/clanak/kolmogorovljevi-aksiomi

Vanjske poveznice

[uredi |uredi kôd]
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Schrödingerova_jednadžba&oldid=7277473"
Kategorije:
Skrivena kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp