Movatterモバイル変換

Neprekidnost funkcije

Izvor: Wikipedija

Funkcija f(x)=1/x je neograničena u okolini točke 0, ali je neprekidna u svakoj drugoj točki.

U matematičkoj analizi,funkcija se nazivaneprekidnom ilineprekinutom u točki ako se njezina vrijednost u toj točki možeaproksimirati kada se sama točka aproksimira nekimbrojem.

Stroga matematička definicija neprekidnosti često se uvodi na sljedeći način, koji neki zovu $\epsilon ,\delta$ određenjem:^[1]^:15

Neka je naintervalu $I {\displaystyle I}$ zadana realna funkcija $f {\displaystyle f}$ . Ona je neprekidna u točki $c {\displaystyle c}$ intervala $I {\displaystyle I}$ , ako za svako $\epsilon >0$ postoji barem jedno $\delta >0$ takvo da za svako $x {\displaystyle x}$ iz intervala $I {\displaystyle I}$ za koje je $|x-c|<\delta$ mora biti $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ .

Neka svojstva funkcija neprekidnih u točki

[uredi |uredi kôd]

Dvije leme koje se mogu izreći o neprekidnim funkcijama u točki jesu:^[1]^{:20, 21}

Ako je funkcija neprekidna u nekoj točki, onda je ona i ograničena u nekoj okolini te točke.
Ako je funkcija neprekidna u nekoj točki i ako se ne poništava u toj točki, onda postoji okolina oko te točke u kojoj funkcija ne mijenja predznak.

Određene operacije s neprekidnim funkcijama dovode opet do neprekidnih funkcija, tako sukompozicija i linearna kombinacija neprekidnih funkcija također neprekidne funkcije. Javlja se i tzv.globalni efekt koji znači da susve elementarne funkcije neprekidne gdje su definirane.

Druge definicije neprekidnosti funkcije

[uredi |uredi kôd]

Heineova karakterizacija neprekidnosti jedna je od brojnih definicija pojma neprekidnosti funkcije.

Definicija glasi:

Neka je

I\subseteq \mathbb {R}

otvoreni interval i

f:I\rightarrow \mathbb {R}

funkcija. Funkcija

f {\displaystyle f}

je neprekidna u točki

c\in I

ako i samo ako za svakiniz

(a_{n})

iz

I {\displaystyle I}

koji konvergira prema

c {\displaystyle c}

, niz

(f(a_{n}))

konvergira prema

f(c)

.

Definicija je nazvana po poznatomnjemačkom matematičaru Eduardu Heineu čiji je rad zapažen upravo u područjumatematičke analize.

Može se pokazati da je ova definicija ekvivalentnaCauchyevoj definiciji neprekidnosti funkcije.

Limes i neprekidnost

[uredi |uredi kôd]

Neprekidnost je u uskoj vezi slimesom (graničnom vrijednošću) funkcije koji se može definirati kao "proširenje funkcije po neprekidnosti".^[1]^{:48, 49} Jedan od teorema koji veže neprekidnost i limes tvrdi da je neprekidnost u nekoj točkic logički ekvivalentna s postojanjem limesa funkcije u toj točki koji je jednakf(c) gdje jef funkcija. Prema tome, neprekidnost se može uvesti i preko limesa, što je često u nekim udžbenicima.

To pišemo kao $\lim _{x\to c}f(x)=f(c).$ Intuitivno, ovo znači da je definirana za $x=c$ i da nema "skokova".

Ako s $\Delta x$ označimo prirast argumenta, onda je prethodni uvjet neprekidnosti ekvivalentan relaciji^[2] $\lim _{\Delta x\to 0}[f(x+\Delta x)-f(x)]=0$ Naravno, ako funkcija imaderivaciju (izvod) u nekoj točki onda je ona i neprekidna u toj točki.

Neprekidnost funkcija više varijabli

[uredi |uredi kôd]

Za funkcije iz $\mathbb {R} ^{n}$ u $\mathbb {R} ^{m}$ definicija neprekidnosti je analogna samo što se umjestoapsolutne vrijednosti uvode vrijednostimetrike (razdaljinske funkcije) definirane na tim prostorima.^[3]

Funkcije neprekidne na segmentu

[uredi |uredi kôd]

"Dobra" svojstva funkcija neprekidnih na segmenturealnih brojeva dana su uteoremu o ekstremnim vrijednostima,teoremu o međuvrijednostima iRiemannovom teoremu koji kaže da su takve funkcije i integrabilne na segmentu na kojem su neprekidne. Osim toga, takve funkcije se mogu po voljiaproksimirati polinomom.

Skup funkcija neprekidnih na nekom određenom segmentu realnih brojeva primjer je realnogvektorskog prostora (gdje se na funkcije gleda kao najedinke, kao navektore).

Vidi još

[uredi |uredi kôd]

Jednolika neprekidnost funkcije

Izvori

[uredi |uredi kôd]

↑^a ^b ^cSvetozar Kurepa:Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.
↑B.P. Demidovič i suradnici: Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize za tehničke falkutete, Golden marketing, Tehnička knjiga, Zagreb, 2003 (str. 36)
↑Svetozar Kurepa:Matematička analiza 3 funkcije više varijabli, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975. (str. 325)

Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Neprekidnost_funkcije&oldid=6578394"

Kategorija:

Matematička analiza

[8]ページ先頭