Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Prijeđi na sadržaj
WikipedijaSlobodna enciklopedija
Traži

Diofantska jednadžba

Izvor: Wikipedija

Diofantskom jednadžbom nazivamo općenito neodređenu polinomnu jednadžbu ili neodređenu jednadžbu nekog drugog oblika koja, međutim, nalazi rješenja u domeni cijelih pozitivnih brojeva odnosno prirodnih brojeva.

Linearna diofantska jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Linearna diofantskajednadžba ima općeniti oblik:

ax+by=c{\displaystyle ax+by=c\,}

gdje može postojati jedno, nekoliko ili neograničeno mnogo rješenja predstavljenih brojevima iz skupaprirodnih brojeva.

Primjer 1

[uredi |uredi kôd]

Zadana je Diofantska jednadžba:

11x+8y=104.{\displaystyle 11x+8y=104.\,}

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

8y=104−11xy=104−11x8y=13−11x8{\displaystyle {\begin{aligned}8y&=104-11x\\y&={\frac {104-11x}{8}}\\y&=13-{\frac {11x}{8}}\end{aligned}}}

Razlomak jedino može biticijeli broj, ay prirodan zax = 8 te je time određeno i jedino rješenje postavljene jednadžbe:x = 8,y = 2.

Primjer 2

[uredi |uredi kôd]

Zadana je diofantska jednadžba:

3x+1=5y{\displaystyle 3x+1=5y\,}

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

3x=5y−1x=5y−13x=y+2y−13{\displaystyle {\begin{aligned}3x&=5y-1\\x&={\frac {5y-1}{3}}\\x&=y+{\frac {2y-1}{3}}\end{aligned}}}

Veličinex iy bit će cijeli brojevi ako je i razlomak (2y-1)/3 cijeli broj što je ispunjeno za uređene parove brojeva (x, y): (3, 2), (8, 5), (13, 8), …. Brojuređenih parova brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi je beskonačan.

Nelinearna diofantska jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Nelinearnim diofantskim jednadžbama možemo u širem smislu smatrati jednadžbe gdje se nepoznate veličine javljaju kao potencije ili umnožak dviju ili više nepoznatih veličina.

Nelinearna diofantska jednadžba u jednostavnom obliku

[uredi |uredi kôd]

Zadana je jednadžba:

xy−2y=7x−5{\displaystyle xy-2y=7x-5\,}

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

y(x−2)=7x−5y=7x−5x−2y=7x−14+14−5x−2y=7+9x−2{\displaystyle {\begin{aligned}y(x-2)&=7x-5\\y&={\frac {7x-5}{x-2}}\\y&={\frac {7x-14+14-5}{x-2}}\\y&=7+{\frac {9}{x-2}}\end{aligned}}}

Cjelobrojna rješenja jednadžbe postoje za uređene parove (3, 16), (5, 10) i (11, 8).

Pitagorine trojke

[uredi |uredi kôd]

Pitagorinim trojkama nazivamo uređen skup cijelih brojeva (x,y,z) većih od nule koji zadovoljavaju jednadžbu:

xn+yn=zn.{\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}.\,}

zan = 2. Radi se, očito, o cijelim brojevima koji zadovoljavaju Pitagorin poučak, dakle, o uređenim trojkama brojeva (3, 4, 5), (6, 8, 10), (12, 16, 20), itd. Broj rješenja zan = 2 je beskonačan. Za prirodne brojeven > 2 jednadžba nema rješenja, što je ustvrdio francuski matematičarPierre de Fermat u svojem slavnomposljednjem teoremu.

Pellova jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Jednadžbu oblika:

x2−ny2=±1{\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1\,}

nazivamo Pellova jednadžba. Jednadžbe ovog oblika razmatrali su još indijski i starogrčki matematičari. Za svaki prirodan brojn koji nijepotpuni kvadrat mogu se naći prirodni brojevix iy koji zadovoljavaju iskazanu jednadžbu. Za Pellovu jednadžbu:

x2−7y2=1.{\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.\,}

najmanje rješenje jex = 8,y = 3, a postoji i beskonačan broj drugih rješenja: (127, 48), (2024, 765), (32257, 12192), (514088, 194307), (8193151, 3096720), (130576328, 49353213), itd.

Erdős–Strausova hipoteza

[uredi |uredi kôd]

Hipotezom je pretpostavljeno da se za sve prirodne brojeven ≥ 2 razlomak 4/n može iskazati kao zbroj tri jedinična razlomka s prirodnim brojevima za nazivnike:

4n=1x+1y+1z.{\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.\,}

Na primjer, zan = 1801, postoji rješenje jednadžbe gdje jex = 451,y = 295364 iz = 3249004.Pomnožimo li obje strane jednadžbe snxyz, nalazimo diofantsku jednadžbu oblika:

4xyz=n(xy+xz+yz).{\displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz).\,}
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diofantska_jednadžba&oldid=7351572"
Kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp