Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Prijeđi na sadržaj
WikipedijaSlobodna enciklopedija
Traži

Diferencijalne jednadžbe

Izvor: Wikipedija

Diferencijalna jednadžba jest matematičkajednadžba koja povezuje nekufunkciju s njenimderivacijama. U primjenama funkcije obično predstavljajufizikalne veličine, derivacije predstavljaju njihove stope promjena, a jednadžba definira odnos između funkcije i derivacije. Budući da su takvi odnosi iznimno česti, diferencijalne jednadžbe igraju veliku ulogu u mnogim disciplinama, kao što suinženjerstvo,fizika,ekonomija ibiologija.

Učistoj matematici diferencijalne se jednadžbe proučavaju iz nekoliko različitih perspektiva, najviše prema svojim rješenjima – skupu funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu. Samo su najjednostavnije diferencijalne jednadžbe rješive eksplicitnim formulama, iako neka svojstva rješenja dane diferencijalne jednadžbe mogu biti određena bez nalaženja njihovog egzaktnog oblika. Ako eksplicitna formula za rješenje nije dostupna, rješenje se može numeričkiaproksimirati upotrebom računala. Teorija dinamičkih sustava stavlja naglasak na kvalitativnu analizu sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama, dok su mnoge numeričke metode razvijene da se odrede rješenja s danim stupnjem točnosti.

Diferencijalna jednadžba veličina x i y ona je jednadžba u kojoj su te dvije veličine povezane jednadžbom u kojoj se pojavljuju njihovi diferencijali dx i dy, tako raspoređeni da se iz diferencijalnog oblika može prijeći u derivacijski.[1]

Red diferencijalnoj jednadžbi određujue diferencijal (odnosno derivacija) najvišeg reda u dotičnoj diferencijalnoj jednadžbi.[1]

Rješenje diferencijalne jednadžbe je svaka funkcijska veza koja je prevodi u identitet odnosno neku poznatujednakost. Nakon diferenciranja i uvrštavanja u diferencijalnu jednaždbu iz te se funkcijske veze može dobiti trivijalan identitet 0 = 0.[1]

Povijest

[uredi |uredi kôd]

Diferencijalne su se jednadžbe pojavile Newtonovim i Leibnizovim izumomdiferencijalnog računa. U drugom poglavlju djela iz 1671.Methodus fluxionum et Serierum InfinitarumIsaac Newton je izlistao tri vrste diferencijalnih jednadžbi:

On rješava te primjere i druge upotrebom beskonačnihredova i raspravlja o nejedinstvenosti rješenja.

Jacob Bernoulli predložio je Bernoullijevu diferencijalnu jednadžbu 1695. godine. To je obična diferencijalna jednadžba oblika:

y′+P(x)y=Q(x)yn{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}}

za koju je sljedeće godine Leibniz našao rješenja pojednostavljivanjem.

Povijesno, problem vibrirajuće žice, npr. od glazbenog instrumenta, proučavali suJean le Rond d'Alembert,Leonhard Euler, Daniel Benoulli iJoseph-Louis Lagrange. Godine 1746. d'Alembert je otkrio jednodimenzionalnu valnu jednadžbu, a u manje od deset godina Euler je otkrio trodimenzionalnu valnu jednadžbu.

U 1750-ima Euler i Lagrange razvijaju Euler-Lagrangeovu jednadžbu u vezi s njihovim studijama o problemu određivanjakrivulje na koju će čestica s težinom pasti na određenu točku u određenom vremenu, neovisno o prvotnoj poziciji.

Lagrange je riješio taj problem 1755. i poslao rješenje Euleru. Oboje su dalje razradili Lagrangeovu metodu i primijenili je namehaniku, što je dovelo do formulacije Lagrangeove mehanike.

Fourier je objavio svoje djelo o raspodjeli topline uTheorie analytique de la chaleur, u kojem je osnivao svoja razmišljanja na Newtonovom zakonu hlađenja, naime, da je raspodjela topline između dvijumolekula proporcionalna iznimno malom razlikom u njihovim temperaturama. U toj knjizi bio je sadržan Fourierov prijedlog te jednadžbe topline za difuziju topline.

Obične diferencijalne jednadžbe

[uredi |uredi kôd]

Obične diferencijalne jednadžbe su diferencijalne jednadžbe nepoznate varijablex{\displaystyle x}, funkcija te varijablef(x){\displaystyle f(x)} i njezinih derivacijaf(x)′,f(x)″,...{\displaystyle {f(x)}',{f(x)}'',...} Rješenje takve jednadžbe jest funkcija jedne varijable.

Linearna diferencijalna jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Linearna diferencijalna jednadžba je diferencijalna jednadžba oblika:

a0(x)y+a1(x)y′+a2(x)y″+⋯+an(x)y(n)+b(x)=0,{\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}

gdje sua0(x),…,an(x){\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)} ib(x){\displaystyle b(x)} proizvoljne diferencijabilne funkcije koje ne moraju biti linearne, ay′,…,y(n){\displaystyle y',\ldots ,y^{(n)}} su uzastopne derivacije nepoznate funkcijey{\displaystyle y} varijablex{\displaystyle x}.[2]

Nelinearna diferencijalna jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Jedan primjer nelinearne diferencijalna jednadžbe je:

dudx=−u2{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}

koja ima opće rješenjeu=1x+C{\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}.

Parcijalne diferencijalne jednadžbe

[uredi |uredi kôd]

Parcijalne diferencijalne jednadžbe su jednadžbe koje uključuju više nezavisnih varijabli, npr.x,y,t,…{\displaystyle x,y,t,\ldots }, njihove funkcijef(x,y,t){\displaystyle f(x,y,t)} te njihove parcijalne derivacije, kao što su∂f∂x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} ili∂f∂t{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}}. Upravo zbog pojavljivanja parcijalnih derivacija te se jednadžbe nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednadžbama.

Primjeri

[uredi |uredi kôd]

Parcijalne diferencijalne jednadžbe se koriste za opisivanje raznih pojava u prirodi. Koriste se za opisivanje najmanjih sustava ukvantnoj mehanici, opisivanja gibanja fluida umehanici kontinuuma, provođenjetopline, opisivanju sustava uklasičnoj mehanici, orbitalnoj mehanici, sve doopće teorije relativnosti icrnih rupa.

Jednadžba topline – provođenje topline

[uredi |uredi kôd]
Vizualizacija rješenja dvodimenzionalne jednadžbe topline.

Parcijalna diferencijalna jednadžba provođenja topline je sljedeća jednadžba:[3]

∂u∂t=α(∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2){\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}

Ovdje je:

Schrödingerova jednadžba

[uredi |uredi kôd]

Schrödingerova jednadžba je parcijalna diferencijalna jednadžba ukvantnoj mehanici koja opisuje vremensku evolucijuvalne funkcije.

Jednodimenzionalna vremenski ovisna Schrödingerova jednadžba glasi:[4]

Kompleksni graf valne funkcije koja zadovoljava nerelativističku slobodnu Schrödingerovu jednadžbu.

iℏ∂∂tΨ(x,t)=[−ℏ22m∂2∂x2+V(x,t)]Ψ(x,t){\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t)}

Tu je:

Valna funkcijaΨ(x,t){\displaystyle \Psi (x,t)} sadrži sve informacije o kvantnom sustavu.

Navier-Stokesove jednadžbe

[uredi |uredi kôd]
Simulacija opstrujavanja fluida oko cilindra.

Navier-Stokesove jednadžbe su nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe udinamici fluida koje opisuju gibanjeviskoznogfluida.[5]

Za nestlačivi fluid u trodimenzionalnom prostoru vektorski oblik Navier–Stokesove jednadžbe glasi:

ρ(∂u∂t+(u⋅∇)u)=−∇p+μ∇2u+f{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {f} }

Tu je:

Uz ovu jednadžbu mora biti zadovoljen i uvjet nestlačivosti (očuvanje mase):

∇⋅u=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

Ova jednadžba osigurava da volumen fluida ostaje konstantan, to jest da nema kompresije.

Izvori

[uredi |uredi kôd]
  1. 123Strojarski fakultet u Osijeku Arhivirana inačica izvorne straniceod 21. rujna 2018. (Wayback Machine) Zlatko Pavić: Matematika za inženjere II. III. DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE . 1. Opis diferencijalne jednadžbe i vrste rješenja, str. 97. (pristupljeno 8. rujna 2019.)
  2. ↑ Butcher, J. C. (2000-12-15). "Numerical methods for ordinary differential equations in the 20th century". Journal of Computational and Applied Mathematics. Numerical Analysis 2000. Vol. VI: Ordinary Differential Equations and Integral Equations. 125 (1): 1–29. Bibcode:2000JCoAM.125....1B. doi:10.1016/S0377-0427(00)00455-6. ISSN 0377-0427.
  3. ↑Schroeder, Daniel V. An Introduction to Thermal Physics. San Francisco, CA :Addison Wesley, 2000.
  4. ↑Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
  5. ↑An Introduction to Fluid DynamicsG. Batchelor.Cambridge University Press, (1967)

Literatura

[uredi |uredi kôd]

U djeluSvetozar Kurepa:Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1990. (na str. 272 do 294) nalazi se uvod u diferencijalne jednadžbe.

Glavnamatematička područja
Temelji
Algebra
Analiza
Diskretna
Geometrija
Teorija brojeva
Topologija
Primijenjena
Računalna
Povezane teme
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diferencijalne_jednadžbe&oldid=7327529"
Kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp