Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Prijeđi na sadržaj
WikipedijaSlobodna enciklopedija
Traži

Derivacija

Izvor: Wikipedija
Ovo je glavno značenje pojmaDerivacija. Za druga značenja pogledajteDerivacija (razdvojba).
PravacL tangira funkcijuf u točkiP čija derivacija odgovara nagibu pravcaL u točkiP

Umatematiciderivacijefunkcija zajedno sintegralnim računom glavne su osnoveinfinitezimalnog računa koji ima široku primjenu u svim znanstvenim i mnogim drugim područjima gdje je potreban proračun razvoja funkcije u određenomintervalu. Tako je npr. ugeometriji derivacija nagibtangente na funkciju u određenoj točki, uekonomiji npr. rastinflacije u vremenu, a ufizici deriviranjem puta po vremenu dobijemoiznos brzine.

Definicija

[uredi |uredi kôd]

Ovisno o kontekstu, izraz i smisao definicije derivacije može biti različit. Međutim, u većini primjena u prirodnim, tehničkim i društvenim znanostima, te matematici na razini početnih godina studija, smisao derivacije je sljedeći:

Deriviraju sefunkcije. Derivacija opisuje brzinu promjene funkcije u odnosu na promjenu nezavisne varijable (argumenta funkcije). Deriviranjem funkcije dobije se druga funkcija istih argumenata. Za pojedinu vrijednost nezavisne varijable (derivacija u točki), derivacija je u toj točki jednaka 1 ako funkcija raste (povećava se vrijednost funkcije) jednako brzo kao i nezavisna varijabla; ako funkcija raste brže/sporije, derivacija je veća/manja od 1, te jednaka nuli ako se funkcija ne mijenja. Simetrično, ako funkcija pada (umanjuje se vrijednost funkcije dok argument raste), derivacija je negativna. Za neke funkcije derivacija ne postoji u nekim (ili u svim) točkama. Ako derivacija postoji, kaže se da je funkcija derivabilna u tim točkama ili u tome dijelu svoje domene.

Najjednostavnije se definiraderivacija realne funkcije jedne realne varijable. Ako je to funkcijaf nezavisne varijable označene sax, tj. funkcijaf(x), njezina derivacija u točkix formalno se definira kao:

dfdx(x)=f′(x)=Df(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h{\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)=f'(x)=Df(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\,\!}


Na lijevoj strani izraza navedene su tri ekvivalentne oznake za derivaciju funkcijef(x). Derivacija u točkix jednaka je graničnoj vrijednosti ili limesu (oznakalim) razlomka na desnoj strani.

Sam razlomak je omjer promjene funkcije i promjene nezavisne varijable u blizini proizvoljno odabrane vrijednosti varijablex. Promjena varijable, u nazivniku, obilježena je sh (često se umjestoh koristi oznaka Δx). Varijabla se, dakle, mijenja sax nax+h. Pritom se funkcija promijeni sf(x) naf(x+h), pa njezina promjena iznosif(x+h)-f(x), kako je navedeno u brojniku.

Vrijednost samog razlomka je prosječna brzina promjene funkcije na intervalu odx dox+h. Ona ovisi o početnoj vrijednostix i veličini intervalah. Ako se uzastopno uzimaju sve manji i manji intervalih, kod derivabilne funkcije vrijednost razlomka sve se više i više približava broju koji je granična vijednost ili limes razlomka u točkix, odnosno derivacija funkcije u toj točki.

Primjer

[uredi |uredi kôd]

Za ilustraciju, ovako se derivira funkcijaf(x)=x2:

(x2)′=limh→0(x+h)2−x2h=limh→02xh+h2h=limh→0(2x+h)=2x{\displaystyle (x^{2})'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}


što znači da je funkcijax2 derivabilna u cijeloj domeni (za sve vrijednosti varijablex), a njezina derivacija je funkcija2x. Derivacija u pojedinoj točki dobije se uvrštavanjem vrijednosti zax, npr. u točkix=3 derivacija funkcijex2 iznosi2x=6.

U gornjem izrazu, prvi razlomak dobiven je upisivanjem funkcijex2 umjesto opće oznakef(x) iz definicije derivacije (prethodni izraz). Potom slijedi jednostavni račun u brojniku: kvadriranje binoma u zagradi, te oduzimanje članovax2, čime se dobiva drugi razlomak. U narednom koraku pokrati seh (i brojnik i nazivnik podijele se sh), pa se dobije jednostavni izraz2x+h u zagradi ispred koje je i dalje oznaka "limesh prema nuli".

Jedini konceptualno zanimljiv postupak u opisanome zahvatu je određivanje granične vrijednosti (limesa) promatranih izraza "kadah teži prema nuli". Smisao je sljedeći: za promatranix (dakle, za proizvoljni broj označen kaox) treba odrediti vrijednost (drugi broj, ovisan ox) kojoj se sve više približava početni razlomak kad seh približava nuli. Prva pomisao mogla bi biti da se odmah naprosto uvrstih=0 u taj razlomak, ali to ne bi imalo smisla. Naime,h označava promjenu varijable, za koju se računa promjena funkcije; ako je nula, tih promjena nema, pa se iz njih ne može računati brzina promjene funkcije. A i formalno gledano, ne možemo imati nulu u nazivniku, jer je dijeljenje s nulom besmisleno.

Zato provodimo račun kojim se početni razlomak pojednostavnjuje, a oznaka limesa ispred pojedinih izraza govori dah nije jednak nuli, nego ćemo samo promatrati kako se izraz ponaša kad seh približava nuli. Upravo to nam je i omogućilo kraćenje razlomka (dijeljenje sh koje se ne bi moglo provesti ako bi biloh=0). No, kad dođemo do izraza2x+h (u zagradi ispred koje još stoji oznaka limesa), postaje napokon očigledno kojoj se vrijednosti taj izraz po volji blizu približava kadah "teži" nuli: ta granična vrijednost je2x.

Na sličan se način, s malo više računa, određuju derivacije različitih derivabilnih funkcija (neke su navedene u tablici kasnije u tekstu), ili se izvode pravila o deriviranju zbroja funkcija, umnoška itd. Zato se u praktičnom računu opisani postupak više ne mora ponavljati, ako se mogu primijeniti takve "tablične derivacije" i pravila.

O derivacijama višeg reda, parcijalnim derivacijama itd.

[uredi |uredi kôd]

Gornja definicija opisuje najjednostavniji pojam derivacije, za koju se još kaže i da je to "obična derivacija prvog reda". Deriviranjem derivacije prvog reda dobiva se derivacija drugog reda iste funkcije. Na sličan način definira se derivacija trećega i viših redova. Za prirodan brojn{\displaystyle n}, n-ta derivacija funkcijef{\displaystyle f} označava se simbolom

f(n)(x){\displaystyle f^{(n)}(x)}

zan=0{\displaystyle n=0} govori se o nultoj derivaciji koja jeneprekidna funkcijaf{\displaystyle f}.[1]

Ako funkcija ima više nezavisnih varijabli, ona se može derivirati po svakoj varijabli zasebno, smatrajući druge varijable konstantama. Takve se derivacije nazivaju parcijalnim derivacijama. Parcijalno deriviranje drugoga i viših redova može se provoditi po istoj varijabli funkcije, ili po nekoj drugoj od njezinih varijabli (mješovite derivacije).

Parcijalne derivacije se označavaju simbolom∂{\displaystyle \partial }.[2]:str. 41. Tako, na primjer, za funkcijuf{\displaystyle f} od dvije varijable izraz

∂f∂x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

predstavlja prvu parcijalnu derivaciju. Osim takvih derivacija, za funkcije dviju varijabli može se definirati i derivacija kao polinomP{\displaystyle P}:[2]:str. 78.

P(s,t)=∂f∂xs+∂f∂yt{\displaystyle P(s,t)={\frac {\partial f}{\partial x}}s+{\frac {\partial f}{\partial y}}t}

Kao i kod realne funkcije realnih varijabli, sličnim graničnim postupkom definiraju se derivacije funkcija kojima su funkcijske vrijednosti ili varijable kompleksni brojevi ili vektori (a često i kada su elementi domene i kodomene neki drugačiji objekti). Pritom se različitim kombinacijama parcijalnih derivacija dobivaju tzv. diferencijalni operatori kao što su gradijent, divergencija itd.

Geometrijska interpretacija

[uredi |uredi kôd]

U geometrijskom smislu derivacija funkcijef{\displaystyle f} je nagib tangente u određenoj točkix0{\displaystyle x_{0}}, odnosnokoeficijent smjera pravca koji je tangenta na funkcijuf{\displaystyle f} u točki čije su koordinate(x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}.

Koeficijent smjera pravcam je:

m=y2−y1x2−x1{\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

odnosno:

m=f(x+h)−f(x)(x0+h)−x0=f(x+h)−f(x)h{\displaystyle m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x_{0}+h)-x_{0}}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

jer je(x0+h)−x0=h{\displaystyle (x_{0}+h)-x_{0}=h} iΔx=h{\displaystyle \Delta x=h}.

Derivacija funkcije je:

Df=limh→0f(x0+h)−f(x)h{\displaystyle Df=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x)}{h}}}

Koeficijent smjera pravca usko je povezan s derivacijom iz razloga što kada intervalx2−x1=h{\displaystyle x_{2}-x_{1}=h} teži nuli, pravac postaje tangenta funkcije, alimes njegovog koeficijenta smjera postaje derivacija funkcijef{\displaystyle f} u točki(x0,f(x)){\displaystyle (x_{0},f(x))}.

Tablica derivacija elementarnih funkcija

[uredi |uredi kôd]
Funkcija f(x)Derivacijaf′(x){\displaystyle f'(x)}Funkcija f(x)Derivacijaf′(x){\displaystyle f'(x)}
sin⁡x{\displaystyle \sin x}cos⁡x{\displaystyle \cos x}shx{\displaystyle {\text{sh}}\,x}chx{\displaystyle {\text{ch}}\,x}
cos⁡x{\displaystyle \cos x}−sin⁡x{\displaystyle -\sin x}chx{\displaystyle {\text{ch}}\,x}shx{\displaystyle {\text{sh}}\,x}
tgx{\displaystyle {\text{tg}}\,x}1cos2⁡x{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}}thx{\displaystyle {\text{th}}\,x}1ch2x{\displaystyle {\frac {1}{{\text{ch}}^{2}x}}}
ctgx{\displaystyle {\text{ctg}}\,x}−1sin2⁡x{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}cthx{\displaystyle {\text{cth}}\,x}−1sh2x{\displaystyle -{\frac {1}{{\text{sh}}^{2}x}}}
arcsin⁡x{\displaystyle \arcsin x}11−x2{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}Arshx{\displaystyle {\text{Arsh}}\,x}11+x2{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arccos⁡x{\displaystyle \arccos x}−11−x2{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}Archx{\displaystyle {\text{Arch}}\,x}1x2−1{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
arctgx{\displaystyle {\text{arctg}}\,x}11+x2{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}Arthx{\displaystyle {\text{Arth}}\,x}11−x2{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
arcctgx{\displaystyle {\text{arcctg}}\,x}−11+x2{\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}Arcthx{\displaystyle {\text{Arcth}}\,x}11−x2{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
ex{\displaystyle e^{x}}ex{\displaystyle e^{x}}ax{\displaystyle a^{x}}axln⁡a{\displaystyle a^{x}\ln a}
ln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}}1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}}−1x2{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}
loga⁡x{\displaystyle \log _{a}x}1xln⁡a{\displaystyle {\frac {1}{x\ln a}}}|x|{\displaystyle |x|}x|x|{\displaystyle {\frac {x}{|x|}}}
x{\displaystyle {\sqrt {x}}}12x{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}xn{\displaystyle x^{n}}nxn−1{\displaystyle nx^{n-1}}

Osnovna pravila deriviranja i izvodi

[uredi |uredi kôd]

Ovdje ćemo navesti pravila i dokaze (bez limesa). Ako su funkcijef,g{\displaystyle f,g} diferencijabilne u točkix{\displaystyle x} onda možemo derivirati funckijef±g,f⋅g,fg{\displaystyle f\pm g,f\cdot g,{\frac {f}{g}}} te konačnof∘g{\displaystyle f\circ g} u točkix{\displaystyle x}.

Derivacija zbroja i razlike

[uredi |uredi kôd]

Vrijedi

Dokaz. Neka jeh(x)=f(x)+g(x).{\displaystyle h(x)=f(x)+g(x).} Vrijedidh=f+df+g+dg−(f+g)=df+dg.{\displaystyle dh=f+df+g+dg-(f+g)=df+dg.} Sada dijeljenjem sdx{\displaystyle dx} slijedi pravilo. Drugi se slučaj dokazuje analogno, stavljajućik(x):=−g(x).{\displaystyle k(x):=-g(x).}

Derivacija umnoška i količnika

[uredi |uredi kôd]

Dokaz. Neka jeh(x)=f(x)g(x).{\displaystyle h(x)=f(x)g(x).} Vrijedidh=(f+df)(g+dg)−fg{\displaystyle dh=(f+df)(g+dg)-fg} što dajefdg+dfg+dfdg.{\displaystyle fdg+dfg+dfdg.} Sada dijeljenjem sdx{\displaystyle dx} izrazdfdgdx{\displaystyle {\frac {dfdg}{dx}}} teži u nulu te slijedi pravilo.

Ako suf,g{\displaystyle f,g} obje rastuće i pozitivne može se zamisliti da tražimo stopu promjenepovršine pravokutnika sa stranicamaf,g.{\displaystyle f,g.}

Drugi slučaj, odnosno derivacija količnika funkcijaf(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)}, se dokazuje analogno, stavljajućih(x):=1g(x){\displaystyle h(x):={\frac {1}{g(x)}}} i zatim računajući derivaciju funkcijef(x)h(x){\displaystyle f(x)h(x)}.

Derivacija složene funkcije (kompozicije)

[uredi |uredi kôd]

Vrijedi

Dokaz. Kada sex{\displaystyle x} promijeni nax+h{\displaystyle x+h} to uzrokuje promjenu sg(x){\displaystyle g(x)} nag(x+h).{\displaystyle g(x+h).} Vrijedidg=g′(x)dx.{\displaystyle dg=g'(x)dx.} Neovisno o tome vrijedi lig(x+h)≤g(x){\displaystyle g(x+h)\leq g(x)} ili obrnuto, kadah→0{\displaystyle h\rightarrow 0} možemo pričati o derivaciji funkcijef(x){\displaystyle f(x)} ug(x).{\displaystyle g(x).} Dakle, analogno kao i prije vrijedidf=f′(g(x))⋅dg.{\displaystyle df=f'(g(x))\cdot dg.} No, vidjeli smo da jedg=g′(x)dx{\displaystyle dg=g'(x)dx} odakle slijedi pravilo.

Ulančanost. Ovo se pravilo može objasniti i na sljedeći način. Tražimo stopu promjene izlazne vrijednostif{\displaystyle f} i ulazne vrijednostix.{\displaystyle x.} Dakle,dx{\displaystyle dx} uzrokuje promjenudg{\displaystyle dg} koja potom uzrokuje promjenudf.{\displaystyle df.} Prema tome, vrijedidfdx=dgdx⋅dfdg.{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {dg}{dx}}\cdot {\frac {df}{dg}}.}

Lokalna linearizacija. Derivacija kompozicije u točkix{\displaystyle x} ima još jedno geometrijsko značenje. Naime, ovo se pravilo vrlo praktično može pokazatilinearizirajući stopu izlaznih vrijednosti funkcijeg{\displaystyle g} lokalno oko točkex{\displaystyle x} jer jeg{\displaystyle g} derivabilna.[3]

Uzmimo na primjer kompozicijuf(cx){\displaystyle f(cx)} za, bez smanjenja općenitosti,c>1{\displaystyle c>1}. Geometrijski možemo shvatiti ovu kompoziciju kao transformaciju skaliranja, u ovom slučajurastezanja (jer jec>1{\displaystyle c>1}) apscisne osi za faktorc{\displaystyle c}.

Rastezanje x-osi za faktorc{\displaystyle c} znači da svakix0{\displaystyle x_{0}} na "staroj" x-osi "dovedemo" na mjestocx0{\displaystyle cx_{0}} na toj istoj x-osi čime dobivamo novu, rastegnutu x-os. Pritom zamišljamo da je graf, odnosno prikaz njene krivulje,f(x){\displaystyle f(x)} ostao nepromijenjen. Ovo činimo jer jef(c⋅1cx)=f(x){\displaystyle f(c\cdot {\frac {1}{c}}x)=f(x)}. (Zbog ovoga je, ako jef(x){\displaystyle f(x)} periodična s temeljnim periodomP{\displaystyle P}, funkcijaf(cx){\displaystyle f(cx)} zac>0{\displaystyle c>0} također periodična s temeljnim periodomPc{\displaystyle {\frac {P}{c}}}. Dakle, ako je0<c<1{\displaystyle 0<c<1} temeljni period se povećava, a ako jec>1{\displaystyle c>1} temeljni se period smanjuje.)

Jasno je da je ovimeΔy{\displaystyle \Delta y} ostao nepromijenjen. No,Δx{\displaystyle \Delta x} je postaoc{\displaystyle c} puta kraći (jer smo x-os rastegnuli za faktorc{\displaystyle c}). Očito je onda nagibΔyΔx{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} postaoc{\displaystyle c} puta veći.

Na primjer, zac=2{\displaystyle c=2}, zamišljamo da smo rastezanjem x-osi brojeve 3, 3.002 doveli na mjesto brojeva 6, 6.004 (ne mijenjajući prikaz krivulje funkcije) pa se razmak između brojeva 6, 6.004 na staroj x-osi promijenio na razmak između brojeva 3, 3.002 na novoj x-osi. Zbog toga je očito razmak postao dvostruko kraći. Nagib je zato u tom slučaju dvostruko veći.

No, to onda znači da jef(cx)′=f′(cx)⋅c{\displaystyle f(cx)'=f'(cx)\cdot c}.

Ovo se lako može poopćiti.

Naime, kako suf(x),g(x){\displaystyle f(x),g(x)} obje derivabilne, slijedi da se u okolini točkex{\displaystyle x}, odnosno u intervalu(x−Δx,x+Δx){\displaystyle (x-\Delta x,x+\Delta x)} zaΔx→0{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} funkcijag(x){\displaystyle g(x)} ponaša kao linearna funkcija, čime je pravilo za derivaciju kompozicije dokazano.

Izvori

[uredi |uredi kôd]
  1. ↑Kurepa, Svetozar,Matematička analiza 2 : funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971., (str. 56.)
  2. ↑abKurepa, Svetozar,Matematička analiza 3, funkcije više varijabli, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975.
  3. ↑Preporučljivo pogledati:https://www.askamathematician.com/2012/03/q-is-there-an-intuitive-proof-for-the-chain-rule/
Dobavljeno iz "https://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivacija&oldid=6914463"
Kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp