Movatterモバイル変換

לדלג לתוכן

תנע זוויתי

עריכת הקישורים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

	יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופןטכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.
	יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות ותוך שימוש באמצעיםאינפוגרפיים. אם אתם סבורים כי הערך איננו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.	עריכה

יש לפשט ערך זה: הערך מנוסח באופןטכני מדי, וקשה להבנה לקהל הרחב.

יש להוסיף מבוא אינטואיטיבי שיסביר את הרעיונות והמושגים בצורה פשוטה יותר, רצוי בליווי דוגמאות ותוך שימוש באמצעיםאינפוגרפיים. אם אתם סבורים כי הערך איננו ברור דיו או שיש נקודה שאינכם מבינים בו, ציינו זאת בדף השיחה שלו. יש לציין כי ערכים מדעיים רבים מצריכים רקע מוקדם.

תנע זוויתי הואגודל פיזיקלי וקטורי המקביל לתנע קווי במערכות מסתובבות: בדומה לתנופה שיש לגוף בתנועה, שדורשת הפעלת כוח כדי להאט אותו או לשנות את כיוונו, כך גם לגוף מסתובב יש תכונה, שדורשת הפעלתמומנט כוח כדי להאט את הסיבוב או לשנות את ציר הסיבוב – תכונה זו היא התנע הזוויתי.

תנע זוויתי נשאר קבוע (במילים אחרות, הואנשמר) במערכת סגורה, בדומה לתנע קווי. במילים אחרות, מערכת שלא פועלים עליה כוחות חיצוניים אינה משנה את התנע הזוויתי שלה. באופן כללי יותר, התנע הזוויתי של מערכת נשמר אםמומנט הכוח השקול הפועל עליה שווה לאפס. חוק שימור התנע הזוויתי מאפשר לחשב תכונות ולפתור בעיות במערכות מכניות מורכבות, באסטרונומיה ועוד. כמו חוקי שימור אחרים בפיזיקה, גם שימור תנע זוויתי נובע מסימטריה לפימשפט נתר – שימור התנע הזוויתי הוא תוצאה של סימטריה לסיבוב.

במכניקה, ובפרט במכניקה של גוף קשיח, ניתן למצוא דוגמאות לשימור התנע הזוויתי במקומות רבים: זהו אחד הגורמים המעניקים יציבות לכלי רכב דו־גלגליים, והוא גם אשר מאפשר את פעולת הגירוסקופ המכני; שימור תנע זוויתי הוא גם הגורם העיקרי ליצירתכוכבי לכת.^[1]

הסבר אינטואיטיבי

[עריכת קוד מקור |עריכה]

התנע הזוויתי מזכיר בתכונותיו את תכונותהתנע הקווי (התנע הפשוט והמוכר יותר, הנתפס כתנופה של גוף נע). התנע הקווי, המוגדר כמכפלת המסה במהירות, מתאר את יכולתו של גוף להמשיך בתנועתו (תכונה זו נקראת גם אינרציה; ככל שהתנע של גוף גדול יותר, כך יהיה קשה יותר לעצור אותו): על פיחוק שימור התנע, אם לא פועלים כוחות חיצוניים אזי התנע של גוף נשאר קבוע, ועל פיהחוק השני של ניוטון, כוחות גורמים לשינוי בתנע. לדוגמה, קשה יותר לעצור משאית מאשר אופנוע שנוסעים במהירות שווה, כיוון שהמסה של המשאית גדולה יותר, ולכן גם התנע שלה גדול יותר.

באופן דומה, חוק שימור התנע הזוויתי קובע שגוף מסתובב ימשיך להסתובב כל עוד לא פועלים עליו מומנטים חיצוניים. לכן, לדוגמה, כאשר שתי דיסקות בגודל זהה אך שונות במשקלן מסתובבות סביב עצמן במהירות זהה, יהיה קשה יותר לעצור את הדיסקה הכבדה יותר, מכיוון שיש לה תנע זוויתי גדול יותר.

בנוסף, התנע הזוויתי תלוי גם במרחק מציר הסיבוב. כך למשל, אם רקדנית מתחילה להסתובב סביב עצמה (פירואט), כאשר זרועותיה ורגלה פרושות כלפי חוץ, ואז היא מקרבת אותן לגופה, מהירות הסיבוב שלה עולה. תופעה זאת נובעת מכך שכאשר הרקדנית מקרבת את זרועותיה, היא מקטינה את המרחק שלהן מציר הסיבוב, ומשימור התנע הזוויתי נובע שמהירות הסיבוב שלה חייבת לגדול.^[2]

תנע זוויתי של גוף נקודתי

[עריכת קוד מקור |עריכה]

גוף עם תנע קווי ${\vec {p}}$ , בשלוש מערכות ייחוס שונות: A,‏ B ו־C. מערכת הייחוס משפיעה על גודלו וכיוונו של התנע הזוויתי.

{\displaystyle {\vec {p}}} — גוף עם תנע קווי ${\vec {p}}$ , בשלוש מערכות ייחוס שונות: A,‏ B ו־C. מערכת הייחוס משפיעה על גודלו וכיוונו של התנע הזוויתי.

במכניקה קלאסית, מוגדרוקטור התנע הזוויתי ${\vec {L}}$ של גוף נקודתי על ידי הנוסחה:

{\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}

כאשר ${\vec {r}}$ הוא וקטור ההעתק מראשית הצירים למיקום הגוף, ${\vec {p}}$ הוא וקטורהתנע הקווי, והפעולה $\times$ מסמנתמכפלה וקטורית. במילים אחרות, ערכו של התנע הזוויתי תלוי במרחקו של הגוף מראשית הצירים, בערכו של התנע הקווי ובזווית בין התנע הקווי לציר הסיבוב. גודלו של התנע הזוויתי, בהיותו נתון על ידי מכפלה וקטורית, הוא $|L|=r\cdot p\cdot \sin \alpha$ , כאשר $\alpha$ היא הזווית בין ${\vec {r}}$ ל־ ${\vec {p}}$ , וכיוונו מקביל לציר הסיבוב (כלומר,ניצב למישור הסיבוב). בפרט, נובע מהנוסחה כי התנע הזוויתי הוא לא גודל מוחלט, והוא עשוי להשתנות עם שינוי מיקומה של ראשית הצירים. למשל, באיור מופיע (באדום) גוף, שיש לו תנע קווי במערכת המעבדה (מסומן ב- ${\vec {p}}$ ). בהנחה ש־ ${\vec {r}}_{B}=2\cdot {\vec {r}}_{A}$ , גודלו של L במערכת שבה B היא ראשית הצירים כפול מגודלו במערכת צירים שבה A היא ראשית הצירים. בנוסף, במערכת שבה C ראשית הצירים, גודלו של התנע הזוויתי מתאפס.

מנוסחה זו ניתן להסיק גם את היחידות של התנע הזוויתי. במערכת היחידות הבין-לאומית (SI):

\left[{\vec {L}}\right]=\left[{\vec {r}}\times {\vec {p}}\right]=\left[r\right]\cdot \left[p\right]={\rm {m\cdot {\frac {kg\cdot m}{sec}}={\frac {kg\cdot m^{2}}{{sec}^{2}}}\cdot sec=J\cdot sec}}

כלומר, לתנע הזוויתי יחידות שלג'ול-שנייה במערכת SI. באופן דומה ניתן להראות כי במערכתCGS, היחידות של התנע הזוויתי הןארג-שנייה.

כמו כן, באמצעות הגדרת התנע הזוויתי, ניתן להסיק מהחוק השני של ניוטון ( ${\vec {F}}={\frac {\operatorname {d} \!{\vec {p}}}{\operatorname {d} \!t}}$ ) חוק מקביל עבור תנועה סיבובית: ${\vec {\tau }}={\frac {\operatorname {d} \!{\vec {L}}}{\operatorname {d} \!t}}$

כאשר ${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$ נקראמומנט הכוח השקול הפועל על הגוף. אם לא פועל מומנט כוח על הגוף, התנע הזוויתינשמר (כלומר: הוא אינו משתנה עם הזמן). מומנט הכוח יכול להתאפס אם לא פועלכוח על הגוף, או אם הכוח השקול פועל בכיוון ${\vec {r}}$ . למשל, כוח הכבידה הפועל ביןהשמש וכדור הארץ הואכוח מרכזי: אם נבחר את ראשית הצירים במרכז השמש, הכוח שמפעילה השמש על כדור הארץ הוא בכיוון ${\vec {r}}$ . לכן, השמש אינה מפעילה מומנט כוח על כדור הארץ, וכתוצאה מכך התנע הזוויתי של כדור הארץ סביב השמש נשאר קבוע.

במערכת בה התנע הזוויתי והמסות הם גדלים שמורים, הגדלת רדיוס הסיבוב תקטין את המהירות הקווית ולהפך.

בניסוח לפיהמכניקה האנליטית, התנע הזוויתי הוא התנע הקנוני הצמוד לקואורדינטות הזווית (כלומר, הקואורדינטות שמתארות את דרגות החופש של הסיבוב). לכן, לפימשפט נתר, התנע הזוויתי הוא שמורה של המערכת אם הלגרנג'יאן סימטרי לסיבוב מערכת הצירים.

תנע זוויתי של גוף קשיח

[עריכת קוד מקור |עריכה]

ערך מורחב –מכניקה של גוף קשיח

התנע הזוויתי שלגוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית קבועה $\omega$ סביב ציר מסוים, הוא מכפלת המהירות הזוויתית במומנט ההתמד של הגוף $\ I$ סביב אותו ציר,

L=I\omega \

מומנט ההתמד הוא תכונה של הגוף, המציינת את "התנגדותו" לשינוי בסיבוב סביב ציר מסוים.במקרה הכללי יותר, עבור סיבוב במהירות זוויתית כללית ${\vec {\omega }}$ סביב ציר שכיוונו הוא כיוון וקטור המהירות הזוויתית, התנע הזוויתי הוא מכפלתטנזור ההתמד של הגוף בווקטור המהירות הזוויתית,

{\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }}\

טנזור ההתמד של הגוף מכליל את מומנט ההתמד עבור כל כיווני הסיבוב.

האנרגיה הקינטית הסיבובית של גוף קשיח נתונה על ידי:

\ E_{k}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}{\hat {I}}{\vec {\omega }}

כאשר הגוף מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע:

\ E_{k}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}

התנע הזוויתי כפסאודו-וקטור

[עריכת קוד מקור |עריכה]

ערך מורחב –פסאודו וקטור

פרק זה לוקה בחסר. אנאתרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

כפי שנאמר לעיל, התנע הזוויתי מוגדר באמצעות מכפלה וקטורית. לכן, הוא מתנהג כפסאודו-וקטור, כלומר: שיקוף במישור מקביל לו הופך את כיוונו.

כמו בהקשרים אחרים,^[3] כדי לשמור על אופיו של התנע הזוויתי כטנזור ניתן להמיר אותו בטנזור אנטיסימטרי מדרגה 2:

$L_{ij}=r_{i}p_{j}-p_{i}r_{j}={\begin{bmatrix}0&L_{z}&-L_{y}\\-L_{z}&0&L_{x}\\L_{y}&-L_{x}&0\end{bmatrix}}$

תנע זוויתי במכניקת הקוונטים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

ערך מורחב –אופרטור התנע הזוויתי

במכניקת הקוונטים, התנע הזוויתי הואאופרטור הרמיטי המשמש בפתרוןמשוואת שרדינגר של מערכות במרחב התלת־ממדי עםפוטנציאל בעלסימטריה כדורית (פוטנציאל מרכזי). אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי ${\vec {L}}$ הואאופרטור וקטורי, המוגדר כקוונטיזציה של התנע הזוויתי במכניקה הקלאסית ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ , כאשר ${\vec {r}}$ הואאופרטורהמיקום(ההעתק) ו־ $\ {\vec {p}}$ הואאופרטור התנע (הקווי) הווקטורי (המוגדר בהצגת המקום באמצעות הגרדיאנט: $\ {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}$ ). מתוך הגדרה זו, מתקבלים שלושה אופרטורים סקלריים: $L_{x},L_{y},L_{z}$ .

בנוסף, במערכות קוונטיות רבות ישנו שימוש בשני אופרטורים נוספים אשר מציגים מדידה של גודל בעל יחידות של תנע זוויתי: אופרטור הספין ${\vec {S}}$ ואופרטור התנע הכולל ${\vec {J}}$ .

בעזרת אפקט איינשטיין דה הס ראו ב 1908 כי התנע הזוויתי של הספין אכן נראה כתנע זוויתי מכני בתופעה מקרוסקופית.

ראו גם

[עריכת קוד מקור |עריכה]

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

מדיה וקבצים בנושאתנע זוויתי בוויקישיתוף

ארז גרטי,הקשר בין החלקה על הקרח לתנע זויתי, במדור "מאגר המדע" באתר שלמכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011
אופרטורים וקטוריים במרחב הילברט מתוך הבלוגרשימות בפיזיקה עיונית
תנע זוויתי, באתראנציקלופדיה בריטניקה(באנגלית)

הערות שוליים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

^ראו למשל בערךהתפתחות מערכת השמש#היווצרות כוכבי הלכת, וראו גם:
Woolfson, M.M. (1993). "Solar System – its origin and evolution".Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society.34: 1–20.Bibcode:1993QJRAS..34....1W.
^G. Gollin,The Physics of Dance: a 1997 presentation to dance classes at Hope College in Holland, Michigan.
^ראו למשל את הטיפול היחסותי בשדה המגנטי

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=תנע_זוויתי&oldid=41539202"

קטגוריות:

קטגוריות מוסתרות:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp