Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

לדלג לתוכן
ויקיפדיההאנציקלופדיה החופשית
חיפוש

תחום שלמות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

באלגברה מופשטת,תחום שלמות הואחוגחילופי עםיחידה כפלית שאין בומחלקי אפס (כלומר: אםab=0{\displaystyle ab=0}, אז בהכרחa=0{\displaystyle a=0} אוb=0{\displaystyle b=0}). בין הדוגמאות החשובות ניתן למצוא כל תת-חוג של הממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.

תחומי שלמות ושדות

[עריכת קוד מקור |עריכה]

כלשדה הוא תחום שלמות, משום שהאברים השונים מאפס כולם הפיכים, ולכן לא ייתכן ש-ab=0 כאשר a,b אינם אפס. מכיוון שהאיסור על קיומם של מחלקי אפס עובר בתורשה לתת-חוגים, כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות. בין הדוגמאות הטבעיות לתחומי שלמות שאינם שדות אפשר למצוא אתחוג המספרים השלמים, ואתחוג הפולינומים עם מקדמים משדהF{\displaystyle F}, אותו מסמנים ב-F[x]{\displaystyle F[x]}.

בכיוון ההפוך, כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקראשדה השברים של התחום. שדה השברים כולל את כל המנותab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} של איברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס. למשל, שדה השברים שלZ{\displaystyle \mathbb {Z} } הואשדה המספרים הרציונלייםQ{\displaystyle \mathbb {Q} }, בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדההפונקציות הרציונליותF(x)={fg:f,g∈F[x],g≠0}{\displaystyle F(x)=\left\{{\frac {f}{g}}:f,g\in F[x],\,g\neq 0\right\}}. הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמהלמיקום (לוקליזציה).

בתחום שלמות, אוסף האיברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווהמונואיד עם צמצום: אםab=ac{\displaystyle ab=ac} אזb=c{\displaystyle b=c}. כל מונואידסופי עם צמצום הואחבורה, ולכן תחום שלמותסופי הוא שדה.

יחס החלוקה בתחומי שלמות

[עריכת קוד מקור |עריכה]

עבור תחום שלמות קבועD{\displaystyle D}, אומרים שאיברa{\displaystyle a} מחלק את האיברb{\displaystyle b} אם קיים איברc{\displaystyle c} כך ש-b=ac{\displaystyle b=ac} (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים). כל איבר מחלק את0{\displaystyle 0}, ו-1{\displaystyle 1} מחלק כל איבר. איבר המחלק את1{\displaystyle 1} נקראאיבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם1,−1{\displaystyle 1,-1}. בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס). איברים המחלקים זה את זה נקראיםידידים.

איבר של החוג נקראאי-פריק, אם לא ניתן לכתוב אותו בצורהab{\displaystyle ab} כאשרa{\displaystyle a} ו-b{\displaystyle b} אינם הפיכים. ישנו סוג מיוחד של איברים אי-פריקים, הנקראיםראשוניים. איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלהab{\displaystyle ab} בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה. ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוניp{\displaystyle p} בצורהp=ab{\displaystyle p=ab} אזp{\displaystyle p} מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל אתa{\displaystyle a}, ואז יוצא ש-b{\displaystyle b} הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך). שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילהלמספרים ראשוניים (לפיהלמה של אוקלידס, בחוג המספרים השלמים איבר הוא ראשוניאם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים).

דוגמה: בתחום-השלמותR=Z[−6]={a+b−6:a,b∈Z}{\displaystyle R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-6}}]=\{a+b{\sqrt {-6}}:a,b\in \mathbb {Z} \}}, האיבר2−−6{\displaystyle 2-{\sqrt {-6}}} אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).

מחלקות של תחומי שלמות

[עריכת קוד מקור |עריכה]
סריג מחלקות של תחומי שלמות:דדקינד,פרופר ובזו,תחומים ראשיים,תחומי פריקות יחידה,תחומים אטומיים,תחומים בעלי gcd, ועוד.

התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתוןa{\displaystyle a}. אםa{\displaystyle a} אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב אתa{\displaystyle a} כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם. בחוגים מסוימים (בעיקרחוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר.בסופו של פירוק כזה כתבנו אתa{\displaystyle a} כמכפלה של איברים אי-פריקים (חוג שבו תמיד קיים פירוק כזה נקראאטומי). לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד. (דוגמה: המספרים2,3,−6{\displaystyle 2,3,{\sqrt {-6}}} בחוגR{\displaystyle R} שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה6=2⋅3=−1⋅−6⋅−6{\displaystyle 6=2\cdot 3=-1\cdot {\sqrt {-6}}\cdot {\sqrt {-6}}}, שני פירוקים שונים לאותו מספר).

מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם). תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקראתחום פריקות יחידה. בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.

ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמותD{\displaystyle D} שבו כלאידיאל הוא אידיאל ראשי (כלומר מהצורהDa={xa:x∈D}{\displaystyle Da=\{xa:x\in D\}}), נקראתחום ראשי. כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי). לתחום ראשי ישממד קרול 1, כלומר, כלאידיאל ראשוני שונה מאפס הואמקסימלי.

כלחוג אוקלידי הואתחום ראשי, וכלתחום ראשי הואחוג דדקינד. כלחוג דדקינד הוא תחום שלמותנותרי וכל תחום שלמותנותרי הואאטומי. בדיאגרמה משמאל מוצג סריג של מחלקות חשובות של תחומי שלמות:תחומי דדקינד,תחומי פרופר,תחומים ראשיים,תחומי פריקות יחידה,תחומי בזו,תחומים אטומיים,תחומים בעלי gcd, ועוד. השילוב של שתי תכונות הוא התכונה החלשה ביותר שחזקה משתיהן; כך למשל תחום פרופר נתרי הוא תחום דדקינד, תחום בזו אטומי הוא ראשי, וכן הלאה.

תחום שלמות רגולרי נתרי הוא תחום פריקות יחידה (Auslander-Buchsbaum, 1959).

אידיאלים בתחומי שלמות

[עריכת קוד מקור |עריכה]

אידיאלים שבריים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

יהי R תחום שלמות, ו-F שדה השברים שלו.אידיאל שברי של R הוא תת-קבוצה של F מהצורהd−1A{\displaystyle d^{-1}A}, כאשרd∈R{\displaystyle d\in R} ו-A{\displaystyle A} אידיאל של R. ההגדרה הזו מניחה ש-d הוא מעין "מכנה משותף" של היוצרים, על אף ש-A אינו בהכרח נוצר סופית. אידיאלים שברייםדומים זה לזה אם אחד מהם מתקבל מהשני על ידי כפל בקבוע (של F).

כמו אוסף האידיאלים, אוסף האידיאלים השבריים סגור לכפל, אלא שבניגוד אליו הוא כולל גם אברים הפיכים: אומרים ש-A,B הופכים זה את זה אםAB=R{\displaystyle AB=R} (כלומר, קיימיםa1,…,an∈A{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A} ו-b1,…,bn∈B{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}\in B} כך ש-a1b1+⋯+anbn=1{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=1}). אידיאל שברי הפיך חייב להיות נוצר סופית. תחום שלמות הואתחום דדקינד אם ורק אם כל האידיאלים השבריים הפיכים, ותחום פרופר אם ורק אם כל האידיאלים השבריים הנוצרים סופית הם הפיכים.

אוסף האידיאלים השבריים ההפיכים מהווה חבורה, שמסמניםInv⁡(R){\displaystyle \operatorname {Inv} (R)}. כל אידיאל שברי ראשי הוא הפיך. זה מגדירסדרה קצרה מדויקת0→F×/R×→Inv⁡(R)→Pic⁡(R)→0{\displaystyle 0\rightarrow F^{\times }/R^{\times }\rightarrow \operatorname {Inv} (R)\rightarrow \operatorname {Pic} (R)\rightarrow 0}, המגדירה אתחבורת פיקארד של החוג. אם R תחום דדקינד, החבורה הזו היאחבורת המחלקות.

פעולת ההיפוך

[עריכת קוד מקור |עריכה]

עבור אידיאל שבריI{\displaystyle I}, מסמניםI′={x∈F:xI⊆R}{\displaystyle I'=\{x\in F:xI\subseteq R\}} (מקובלים גם הסימוניםR:I{\displaystyle R:I} ו-I−1{\displaystyle I^{-1}}). זו פעולה הופכת סדר המקיימתI⊆I″{\displaystyle I\subseteq I''} (ולכן זוהתאמת גלואה מופשטת). בפרט מתקיים תמידI‴=I′{\displaystyle I'''=I'}. הפעולה מכבדת דמיון ((αI)′=α−1I′{\displaystyle (\alpha I)'=\alpha ^{-1}I'} לכלα∈F{\displaystyle \alpha \in F}).

לפי ההגדרהII′⊆R{\displaystyle II'\subseteq R}, ו-I′{\displaystyle I'} הוא האידיאל השברי המקסימלי המקיים תנאי זה. אםI{\displaystyle I} הפיך, אז ההפכי שלו שווה ל-I′{\displaystyle I'}.

סגור-v

[עריכת קוד מקור |עריכה]

הפעולהI↦I″{\displaystyle I\mapsto I''} היא אידמפוטנטית, שומרת סדר, ומקיימתI⊆I″{\displaystyle I\subseteq I''}. הפעולה נקראת בדרך כללסגור-v, עם הסימוןIv=I″{\displaystyle I^{v}=I''}. אידיאל המקייםI=I″{\displaystyle I=I''} (כלומר אידיאל סגור-v) הואאידאל דיביזורי (divisorial). אידיאל הוא דיביזורי אם ורק אם הוא מהצורהI′{\displaystyle I'}. כל אידיאל הפיך הוא דיביזורי. תחום שלמות שבו כל האידיאלים דיביזוריים נקראתחום דיביזורי. בפרט כל תחום דדקינד הוא דיביזורי, ובפרט גם כלתחום הערכה דיסקרטי. זה אינו תנאי טריוויאלי: האידיאל המקסימלי בתחום הערכה שאינו דיסקרטי אינו דיביזורי.

המשפחה של תחומי ההערכה המכילים את R (בתוך F) היא עדינה מספיק בכדי להפריד אידיאלים: אםI⊈J{\displaystyle I\not \subseteq J} אז קיים תחום הערכהR⊆V⊆F{\displaystyle R\subseteq V\subseteq F} כך ש-VI⊈RJ{\displaystyle VI\not \subseteq RJ} (זו תוצאה של הלמה של צורן). מעובדה זו נובע התאור של סגור-v כחיתוךI″=⋂V(VI){\displaystyle I''=\bigcap _{V}(VI)} (החיתוך על תחומי ההערכה כדלעיל).

מן השוויון(I″J)″=(IJ)″{\displaystyle (I''J)''=(IJ)''} נובע שמכפלת-v המוגדרת לפיI∗J=(IJ)″{\displaystyle I*J=(IJ)''} היא אסוציאטיבית. מכפלת-v מתלכדת עם המכפלה הרגילה אםI{\displaystyle I} אוJ{\displaystyle J} הפיכים. בפרט, אוסף האידיאלים הדיביזוריים מהווה מונויד ביחס למכפלת-v. אםI{\displaystyle I} הפיך-v, אז ההפכי הדיביזורי (היחיד) שלו הואI′{\displaystyle I'}. לכןDiv⁡(R)={I:I″=I,I∗I′=R}{\displaystyle \operatorname {Div} (R)=\{I:\,I''=I,\,I*I'=R\}} היא חבורה, המכילה אתInv⁡(R){\displaystyle \operatorname {Inv} (R)} כתת-חבורה.

מספר היוצרים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

בתחום דדקינד כל אידיאל נוצר על ידי שני אברים. כהכללה של עובדה זו, הוכיח Heitmann (1976) שבכל תחום שלמות מממד קרול n, כל אידיאל הפיך נוצר על ידי n+1 אברים (שאת הראשון מביניהם אפשר לבחור כרצוננו).

מודולים מעל תחומי שלמות

[עריכת קוד מקור |עריכה]
קשרים בין אידיאלים, אידיאלים שבריים ומודולים מעל תחום שלמות

חוג חילופי הואראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות. תחום שלמותפשוט הוא שדה. תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיותחוג ארטיני.

מעל תחום ראשי, כלמודולנוצר סופית הואסכום ישר של מודולים ציקליים. זוהי הכללה שלמשפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושלהפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.

בדיאגרמה משמאל מוצגות כמה משפחות עיקריות של מודולים מעל תחום שלמותR{\displaystyle R}: אידיאלים שלR{\displaystyle R}, אידיאלים שבריים, ומודולים כלליים:חופשיים,פרויקטיביים,שטוחים וחסרי פיתול. החצים השחורים מסמנים גרירה לוגית של תכונה אחת לאחרת. החצים הצבעוניים מאפיינים מחלקה של תחומי שלמות: תחום שלמות מקיים את אחד החצים הכחולים אם ורק אם הוא דדקינד, ואז הוא מקיים את כולם; וכן לתחומי פרופר,בזו ולתחומי שלמותנתריים.

מודולים ופיתול

[עריכת קוד מקור |עריכה]

איבר (שונה מאפס)x{\displaystyle x} במודול מעל תחום שלמותR{\displaystyle R} הואמפותל אם קיים סקלר שונה מאפסa{\displaystyle a} כך ש-ax=0{\displaystyle ax=0}. המודול מפותל אם כל אבריו מפותלים, וחסר פיתול אם אף איבר שלו אינו מפותל. המודולA{\displaystyle A} מפותל אם ורק אםF⊗RA=0{\displaystyle F\otimes _{R}A=0} כאשרF{\displaystyle F} הוא שדה השברים שלR{\displaystyle R}. כל מודול מהצורהF⊗RA{\displaystyle F\otimes _{R}A} הוא חסר פיתול, משום שזהומרחב וקטורי.

מודול הוא חסר פיתול אם פעולת הכפל בכל סקלר שונה מאפס היא חד-חד-ערכית; וחליק אם פעולת הכפל בכל סקלר שונה מאפס היא על. מודול מעל תחום שלמות R נקראh-חליק אם הוא מנה שלמודול אינג'קטיבי. כל מודול h-חליק הוא חליק. מודול חליק וחסר פיתול הוא אינג'קטיבי, ולכן h-חליק.כל מודול מהצורהHomR⁡(F,A){\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(F,A)} הוא h-חליק. המודול R עצמו חסר פיתול, ואינו חליק (אנו מניחים ש-R≠F{\displaystyle R\neq F}). כמודול, F הוא חליק וחסר פיתול, וממילא גם אינג'קטיבי. מודול המנהF/R{\displaystyle F/R} הוא מפותל ו-h-חליק, אבל בדרך כלל אינו אינג'קטיבי (אםR{\displaystyle R}תחום דדקינד אז כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי).

מודול נקראמצומצם (reduced) אם אין לו תת-מודולים חליקים (פרט ל-0), ו-h-מצומצם אם אין לו תת-מודולים h-חליקים. כל מודול מצומצם הוא h-מצומצם. גם כאן, המושגים מתלכדים עבור מודולים חסרי פיתול.

עבור כל מודולA{\displaystyle A}, התמונה של ההומומורפיזם הטבעיHom⁡(F,A)→A{\displaystyle \operatorname {Hom} (F,A)\rightarrow A} (השולח אתf{\displaystyle f} ל-f(1){\displaystyle f(1)}) היא תת-המודול ה-h-חליק המקסימלי שלA{\displaystyle A}. בפרט,A{\displaystyle A} הוא h-מצומצם אם ורק אםHom⁡(F,A)=0{\displaystyle \operatorname {Hom} (F,A)=0}.

הפונקטור Ext ממיין הרחבות של מודולים. בפרט,ExtR1⁡(C,A)=0{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(C,A)=0} אם ורק אם כלסדרה מדויקת קצרה0→A→?→C→0{\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow ?\rightarrow C\rightarrow 0}, מתפצלת. המודול A אינג'קטיבי אם ורק אםExtR1⁡(−,A)=0{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(-,A)=0}. מודולA{\displaystyle A} הואקו-מפותל (cotorsion) אםHom⁡(F,A)=ExtR1⁡(F,A)=0{\displaystyle \operatorname {Hom} (F,A)=\operatorname {Ext} _{R}^{1}(F,A)=0}. במקרה כזהA=ExtR1⁡(F/R,A){\displaystyle A=\operatorname {Ext} _{R}^{1}(F/R,A)}. כל מודול קו-מפותל הוא h-מצומצם. לכל מודול h-מצומצםA{\displaystyle A},ExtR1⁡(F/R,A){\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(F/R,A)} הוא המודול הקו-מפותל הקטן ביותר המכיל אתA{\displaystyle A}.

הדואליות בין המושגים הללו באה לידי ביטוי במשפט הבא. עבור R-מודולA{\displaystyle A}, נסמןA∗=Hom⁡(F/R,A){\displaystyle A^{*}=\operatorname {Hom} (F/R,A)} (המודולA∗{\displaystyle A^{*}} תמיד קו-מפותל; אםA{\displaystyle A} חסר פיתול, או h-מצומצם, אזA∗=0{\displaystyle A^{*}=0}). נסמןA^=(F/R)⊗RA{\displaystyle {\widehat {A}}=(F/R)\otimes _{R}A} (המודולA^{\displaystyle {\widehat {A}}} תמיד מפותל; אםA{\displaystyle A} מפותל, או חליק, אזA^=0{\displaystyle {\widehat {A}}=0}). כעת:

יש מודולים מפותלים שהם קו-מפותלים. מודולA{\displaystyle A} הואקו-מפותל בחזקה אםExtRn⁡(F,A)=0{\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(F,A)=0} לכלn≥0{\displaystyle n\geq 0}. מודול קו-מפותל בחזקה הוא קו-מפותל. אם קיים סקלרa{\displaystyle a} שונה מאפס כך ש-aA=0{\displaystyle aA=0}, אזA{\displaystyle A} מפותל, וקו-מפותל בחזקה.

הכללות

[עריכת קוד מקור |עריכה]

חוג שאין בו מחלקי אפס, אבל הוא אינו בהכרח חילופי, נקראתחום. הדוגמה הטיפוסית כאן היא תת-חוגים שלחוגים עם חילוק, אבל יש דוגמאות לתחומים שאינם משוכנים באף חוג עם חילוק (הראשונה ניתנה על ידי Mal'cev(אנ')). בתחום אין אידיאלים שמאליים מינימליים, ולכן תחום ארטיני מוכרח להיות חוג עם חילוק. חוג בעל התכונה החלשה יותר "a2≠0{\displaystyle a^{2}\neq 0} לכלa≠0{\displaystyle a\neq 0}" נקראחוג מצומצם; כל חוג מצומצם הואמכפלה ישרה של תחומים, וכלחוג ראשוני מצומצם הוא תחום.

לקריאה נוספת

[עריכת קוד מקור |עריכה]
  • Eben Matlis, Torsion-free modules, Chicago Lectures in Math, 1972.

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור |עריכה]


אלגברה מופשטת
ענפיםאלגברה ליניארית •אלגברה בוליאנית •אלגברה דיפרנציאלית •אלגברה הומולוגית •גאומטריה אלגברית •טופולוגיה אלגברית •תורת גלואה •תורת החבורות •תורת החוגים •תורת המספרים האלגברית •תורת הקטגוריות •תורת השדות
מבנים אלגברייםמאגמה •חבורה למחצה •מונואיד •חבורה •חבורה אַבּלִית •חוג •תחום שלמות •שדה •מודול •מרחב וקטורי •אלגברה (מבנה אלגברי) •אלגברת לי •אלגברת הקווטרניונים של המילטון •אלגברה לא אסוציאטיבית
מושגי יסודהומומורפיזם •משפטי האיזומורפיזם •תת-חבורה נורמלית •אידיאל •לוקליזציה •מכפלה טנזורית •הצגה ליניארית
חוגים
חוג עם חילוק •תחום שלמות •תחום ראשי •חוג נתרי •חוג ארטיני •תחום הערכה דיסקרטית •חוג דדקינד •תחום פריקת חד ערכית •שדה שברים •אידיאל •אידיאל ראשי •אידיאל ראשוני •אידיאל מקסימלי •אידיאל מינימלי •ספקטרום של חוג
עץ מיון של חוגים קומוטטיביים
עץ מיון של חוגים
 
מקרא
 מחלקה של חוגים קמוטטיביים עם יחידה; המילים "קמוטטיבי עם יחידה" מושמטות בדרך כלל.
 המחלקות הנפוצות יותר בחקר האלגברה הקמוטטבית
∩{\displaystyle \cap }מחלקה המהווהחיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.
 מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
עץ מיון של שדות

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=תחום_שלמות&oldid=42373927"
קטגוריות:
קטגוריה מוסתרת:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp