מאט באזבי נולד בעיירת הכורים אורביסטון (Orbiston) שבצפון לנקרשייר. הוא קיבל חינוך קתולי, למרות שמשפחתו הייתה ממוצא יהודי.[דרוש מקור] אביו וכל דודיו של באזבי נהרגו במלחמת העולם הראשונה.
באזבי קיבל כמעט מיידית את חולצת ההרכב הראשון בליברפול, וכמעט ולא החמיץ משחקים במהלך 3 העונות הבאות – מסירות והתמדה שזיכו אותו גם בתפקיד הקפטן. באזבי החל את קריירת המשחק שלו כקשר התקפי, אך הסב את תפקידו לקשר ימני, תפקיד שמיצה את יכולותיו וסגנון המשחק שלו על הצד הטוב ביותר.
כאשר ליברפול החתימה אתבוב פייזלי, היה זה באזבי שלקח אותו תחת חסותו והדריך אותו. ידידות זו הפכה לחברות רבת שנים בין שניים ממאמני הכדורגל המצליחים בהיסטורייתהכדורגל האנגלי.מלחמת העולם השנייה סימנה בפתחה את סיום קריירת המשחק של באזבי, שהתגייס לרגימנט העיר ליברפול.
באזבי המשיך לשחק כדורגל במסגרת בלתי-רשמית גם במהלך המלחמה, ורשם הופעות במדיצ'לסי,מידלסברו וקבוצות קטנות יותר. באזבי רשם הופעה אחת בלבד במדיהנבחרת הסקוטית ב-4 באוקטובר1933 בהפסד 2–3 לנבחרת ויילס במסגרתאליפות הבית הבריטית, בנוסף ל-7 הופעות לא רשמיות במהלך מלחמת העולם השנייה.
לאחר סיום המלחמה בשנת1945 הוצע לבאזבי בן ה-36 תפקיד בצוות האימון באנפילד, אך הוא סירב לאחר שכבר סיכם על תנאיו כמאמן במנצ'סטר יונייטד. באזבי לקח את המושכות ביונייטד בתחילת אוקטובר1946 וכבר בעונתו הראשונה הצעיד את המועדון למקום השני בליגה האנגלית הבכירה, אחרי ליברפול.
הצלחתו של באזבי נמשכה גם בשנים הבאות, כאשר מנצ'סטר זכתה בסגנות האליפות 4 פעמים נוספות ב-1947,1948,1949 ו-1951, ובסופו של דבר השיגה את תואר האליפות ב-1952. בשנים אלו זכתה הקבוצה לכינויתינוקות באזבי, בשל גילם הצעיר יחסית של השחקנים שבאזבי החתים. בין השחקנים הידועים בקבוצה זו נמניםבובי צ'רלטון ודאנקן אדוארדס, אשר זכו עם הקבוצה באליפויות ב-1956 ו-1957.
ב-1958 אירעהאסון האווירי במינכן, כאשר מטוסה של הקבוצה התרסק ו-8 משחקניה נהרגו בתאונה. באזבי עצמו נפצע באורח קשה, אך שרד את ההתרסקות. באזבי התמנה למאמן נבחרת סקוטלנד בינואר 1958 לקראת המונדיאל בשוודיה, אך מכורח הנסיבות הוחלף על ידי דוסון ווקר. באזבי אימן את הנבחרת בשלב מאוחר יותר באותה השנה, אך התפטר בדצמבר.
מאז האסון הביע באזבי את האשמה שחש על מות שחקניו, מאחר שהוא הרגיש שהוא שלח אותם למותם. עם שריקת הסיום שסימנה את זכייתה של יונייטד בגביע האלופות ב-1968, רצו כל שחקני הקבוצה לכיוונו של באזבי וחיבקו אותו.
בשנות ה-60 בנה באזבי מחדש את קבוצת מנצ'סטר יונייטד בעזרת שחקנים בולטים כמודניס לאו, בובי צ'רלטון וג'ורג' בסט. הצלחתה הגדולה ביותר של הקבוצה הייתה זכייתה בגביע האלופות ב-1968. באזבי פרש מתפקיד המאמן בשנת1969 והצטרף לצוות הניהולי עד שנת1982, אז מונה לנשיא המועדון. ישנה ביקורת במועדון על הישארותו של באזבי בצוות הניהולי, כיוון שהשפעתו על השחקנים ושאר הצוות הייתה עדיין רבה ולכן פגעה בעצמאותם של המאמנים שהגיעו אחריו. הביקורת הרבה ביותר נמתחה על פיטוריו של המאמן האהודטומי דוקרטי, שהוביל את יונייטד לגמרגביע ה-FA שנתיים ברציפות ב-1976 וב-1977, לאחר שנודע כי הוא ניהל רומן עם אשתו של מזכיר המועדון. באזבי, שהיה שמרן ביותר בכל הקשור לאורח חיים, היה האחראי העיקרי לפיטוריו של דוקרטי. מנגד, באזבי היה מאלה שתרמו להישארותו שלאלכס פרגוסון בתפקיד למרות שנכשל בשנותיו הראשונות, ופרגוסון הפך למנג'ר מצליח ביותר שאף עקף את באזבי במספר התארים ובאורך הקדנציה.
באזבי זכה לתואר מפקד במסדר האימפריה הבריטית (CBE) ב-1958, והוכתר לאביר לאחר זכייתה של מנצ'סטר יונייטד בגביע אירופה לאלופות ב-1968. באזבי נפטר בינואר1994 כתוצאה ממחלת הסרטן. מחוץ לאולד טראפורד, אצטדיונה של מנצ'סטר יונייטד, הוצב פסל של באזבי לכבודו. בשנת2002 נכנס באזבי להיכל התהילה שלהכדורגל הבריטי בשל תרומתו הרבה למשחק באנגליה.