בשנת 1997 הצטרף אודום לאוניברסיטת נבאדה, ונרשם למספר קורסי קיץ. בעקבות סקנדל אקדמי בו הייתה מעורבת האוניברסיטה. חקירת הנהלת ה-NCAA העלתה כי אודום קיבל סכום של 5,600דולר.[3] בעקבות המקרה פוטר מאמן המכללה, ביל ביינו, והמכללה הושעתה ממשחקים לארבע שנים. אודום עבר למכללת רוד איילנד, אך נאלץ לצפות בחבריו מהצד במשך עונת1997/1998. הוא שיחק במשך עונה אחת במדי המכללה, רשםממוצעים של 17.6נקודות, והוליך את קבוצתו לאליפות בית האטלנטיק-10.
לאחר ארבע עונות בהן שיחק במדי הקליפרס, עבר אודום לקבוצתמיאמי היט לקראת עונת2003/2004. בשיתוף הפעולה עם הרוקידוויין וייד, הפך אודום לאחד משחקניה הבולטים של הקבוצה ורשם ממוצעים של 17.1 נקודות, 4.1 אסיסטים ו-9.7 ריבאונדים למשחק. את העונה סיימה מיאמי במאזן של 42 ניצחונות מול 40 הפסדים ואודום העפיל למשחקי הפלייאוף לראשונה בקריירה. במשחקי הפלייאוף המשיך אודום את יכולתו הטובה ורשם 16.8 נקודות, 8.3 ריבאונדים ו-2.8 אסיסטים. מיאמי הודחה מהפלייאוף לאחר ניצחון בשבעה משחקים מולניו אורלינס הורנטס בסיבוב הראשון, והפסד בשישה משחקים מולאינדיאנה פייסרס שלרג'י מילר בסיבוב השני.
בסיום העונה זומן אודום לסגלנבחרת ארצות הברית והשתתף עימה בטורניר הכדורסל שלאולימפיאדת אתונה. בטורניר שותף אודום בשמונת משחקיה של נבחרתו, ורשם שורה סטטיסטית של 9.25 נקודות ו-5.75 ריבאונדים בדרך לזכייה במדליית הארד.[5]
במחצית הראשונה של עונת2005/2006 הפגין אודום חוסר יציבות, אך הלך והשתפר ככל שהעונה התקדמה. הוא רשם שניטריפל דאבל רצופים לראשונה בלייקרס נגדגולדן סטייט ווריורס ופורטלנד טרייל בלייזרס והעפיל עם הקבוצה לפלייאוף בו הודחה הקבוצה כבר בסיבוב הראשון מולפיניקס סאנס בשבעה משחקים, לאחר שכבר הובילו 1–3 בסדרה. בעונת2006/2007 נאבק אודום בפציעות, ושותף רק ב-56 משחקים במהלך העונה. במשחקים בהם שותף רשם אודום ממוצעים של 15.9 נקודות ו-9.8 ריבאונדים. הלייקרס העפילו לפלייאוף, אך הודחו בסיבוב הראשון מול פיניקס בשחזור של הסדרה מהעונה הקודמת.
עם פציעתו החמורה שלאנדרו ביינום בפיקת הברך בעונת2007/2008, והגעתו שלפאו גאסול לקבוצה באמצע העונה, שיחק אודום היטב ורשם ממוצעים של 14.2 נקודות, 10.6 ריבאונדים ו-3.5 אסיסטים למשחק. הלייקרס העפילו עד לסדרת הגמר של ה-NBA שם הפסידו לבוסטון סלטיקס בשישה משחקים, כשאודום קולע 13.5 נקודות ומוריד 9.0 ריבאונדים לערב.[6]
עם תחילת עונת2008/2009 איבד אודום את מקומו בחמישייה של הלייקרס, ותפקד כשחקן שישי כגיבוי לביינום וגאסול, אך חזר לחמישייה הפותחת עם פציעתו של ביינום במשחק מולממפיס גריזליס בינואר. אודום אף קלע 15 נקודות ברבע השלישי, ו-28 נקודות בסך הכל במשחק החוץ מולקליבלנד קאבלירס, תוך שהוא עוזר לקבוצתו להפוך פיגור של 12 נקודות לניצחון ב-10 נקודות ולשבור לקליבלנד רצף של 23 משחקי בית ללא הפסד.[7] כשחזר ביינום מהפציעה, שב אודום לספסל הקבוצה, וסיים את העונה עם ממוצעים של 11.3 נקודות, 8.2 ריבאונדים, 2.6 אסיסטים, 1.0 חטיפות ו-1.7 חסימות למשחק. הלייקרס סיימו את העונה עם המאזן הטוב ביותר במערב עם 65 ניצחונות ו-17 הפסדים. בפלייאוף של אותה העונה חלפו הלייקרס על פנייוטה ג'אז,יוסטון רוקטס ודנוור נאגטס בדרך לגמר ה-NBA בו פגשו אתאורלנדו מג'יק. את סדרת הגמר ניצחה הלייקרס בחמישה משחקים תוך שאודום רושם ממוצעים של 13.4 נקודות ו-7.8 ריבאונדים בדרך לזכייה ראשונה שלו בתואר האליפות.[8] בסיום העונה תם חוזהו של אודום בלוס אנג'לס, והוא הפך לשחקן חופשי. למרות חיזורים אינטנסיביים של קבוצתו לשעבר מיאמי היט וניסיונות שכנוע של חברו לשעבר לקבוצהדוויין וייד שיחזור לשתף עמו פעולה, חתם אודום על חוזה חדש בלייקרס לארבע שנים תמורת 33 מיליון דולר.[9] בעונה העוקבת, עונת2009/2010, זכה אודום עם הלייקרס באליפות שנייה ברציפות לאחר ניצחון בגמר ה-NBA על בוסטון סלטיקס בשבעה משחקים.[10]
בעונת2010/2011 הראה אודום שיפור ביכולתו, הוא סיים את העונה עם אחוזי הקליעה הגבוהים ביותר בקריירה, הן מהשדה והן מקו שלוש הנקודות, וזכה בתוארהשחקן השישי של העונה ב-NBA. הוא סייע לקבוצתו לסיים את העונה עם המאזן השני בטיבו במערב, ולנצח אתניו אורלינס הורנטס בסיבוב הראשון של משחקי הפלייאוף. בסיבוב השני של המשחקים, הודחה הקבוצה בסוויפ מולדאלאס מאבריקס שהמשיכה וזכתה באליפות.
לקראת עונת2011/2012 עבר אודום בטרייד לדאלאס תמורת בחירת דראפט העתידית. בראשית חודשמרץ הוא החמיץ שלושה משחקים בשל סיבות אישיות, ולאחריהם העבירה אותו הקבוצה לשורותיה של טקסס לג'נדס מליגת הפיתוח,[11] אך השיבה אותו למועדון כבר למחרת.[12] הוא שותף במהלך העונה ב-50 משחקים, מהם בארבעה בלבד עלה בחמישייה הפותחת, והציג יכולת חלשה ונתונים סטטיסטיים הגרועים ביותר בקריירה. באפריל הודיעה הקבוצה כי אודום לא ימשיך בשורותיה בעונה הבאה, אך סימנה אותו כשחקן בלתי פעיל, ולא שחררה אותו בפועל, צעד שנועד לאפשר לקבוצה להעבירו בטרייד בסיום העונה.[13]
בסיום העונה שב אודוםלוס אנג'לס קליפרס, הקבוצה שבחרה אותו בדראפט, בעסקת חליפין שכללה ארבע קבוצות ובה עבר גםמו ויליאמס ליוטה ג'אז.[14] לאחר עונה אחת בקליפרס תם חוזהו של אודום בקבוצה, והוא הפך לשחקן חופשי.
בפברואר2014 חתם אודום לחודשיים בקבוצתקאחה לבוראל ויטוריה מליגת העל הספרדית בכדורסל, עם אפשרות להארכת החוזה עד לסיום העונה. הוא שותף בשני משחקים בלבד בקבוצה - אחד בליגה הספרדית ואחד ביורוליג[15] בטרם עזב את הקבוצה. בחודש אפריל באותה השנה הוא חתם על חוזה בניו יורק ניקס עד לסיום העונה, אולם שוחרר מהקבוצה ללא ששיחק במדיה.