Movatterモバイル変換

חבילת גלים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

חבילת גלים היא פתרון שלמשוואת גלים ליניארית הבנוי כאוסף שלגלים מונוכרומטיים. חבילות גלים נמצאות בשימוש כדי לתאר פתרונות פיזיקליים של משוואות גלים במרחב אינסופי, כלומר פתרונות התופסים תחום סופי במרחב. זאת בניגוד לגלים מונוכרומטיים, הנמצאים בכל המרחב. בפרט, במכניקת קוונטים, חבילות גלים משמשות לתיאור הדינמיקה שלחלקיקים. חבילות גלים הן כלי שימושי בהנדסת חשמל בתחוםעיבוד האותות.

הגדרה פורמלית

[עריכת קוד מקור |עריכה]

אם מניחים שיחס הנפיצה של משוואת הגלים שבה מדובר נתון על ידי הפונקציה: $\ \omega =\omega ({\vec {k}})$ כאשר $\ \omega$ היא תדירות הגל, ו- $\ {\vec {k}}$ הואוקטור הגל, אזי חבילת גלים מתוארת באופן כללי כסכום (אואינטגרל אוסופרפוזיציה) של גלים מישוריים מונוכרומטיים: $\ \psi ({\vec {r}},t)=\int d^{3}k~u({\vec {k}})e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-i\omega ({\vec {k}})t}$ כאשר $\ u({\vec {k}})$ הוא המשקל של הגל המישורי המונוכרומטי $\ e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-i\omega ({\vec {k}})t}$ . משקל זה ניתן לקבוע מצורת הגל בזמן $\ t=0$ באמצעותטרנספורם פורייה: $\ u({\vec {k}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}r\ \psi ({\vec {r}},0)e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$

במקרים רבים יחס הנפיצה של משוואת הגלים מתואר על ידי פונקציה $\ \omega ({\vec {k}})$ שאינהחד-ערכית. לדוגמה, יחס הנפיצה שלגלים אלקטרומגנטיים הוא $\ \omega ^{2}=c^{2}k^{2}$ (כאשר $\ c$ היאמהירות האור) ולכן $\omega =\pm ck$ . במקרה זה הענפים השונים של יחס הנפיצה מתארים גלים הנעים בכיוונים מנוגדים, וקל להכליל את ההגדרה שלמעלה לצורך תיאורם. ברם, בדרך כלל חבילות גלים משמשות לתיאור של גלים הנעים בכיוון אחד, כיוון שתיאור של מקרים מורכבים יותר מתקבל מסופרפוזיציה שלהם.

דוגמאות

[עריכת קוד מקור |עריכה]

חבילת הגלים בממד אחד עם יחס הנפיצה $\ \omega =ck$ כאשר $\ c$ מהירות הגל, ועם הבחירה $\ u(k)={\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}k^{2}}{2}}}$ , נתונה בביטוי:

$\ \psi (x,t)=e^{-{\frac {(x-ct)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

זהו גל בצורתגאוסיאן המתקדם במהירות קבועה במגמת הכיוון החיובי של ציר

\ x

חבילת הגלים בממד אחד עם אותו יחס הנפיצה $\ \omega =ck$ , כאשר הפעם הגלים המונוכרומטיים התורמים לחבילה מרוכזים סביב הערך $\ k=k_{0}$ : $\ u(k)={\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}(k-k_{0})^{2}}{2}}}$ . במקרה זה חבילת הגלים היא גל המונוכרומטי מאופנן על ידי מעטפת גאוסית (ראו איור):

$\ \psi (x,t)=e^{ik_{0}(x-ct)}e^{-{\frac {(x-ct)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

יחס הנפיצה של חלקיק קוונטי חופשי (כלומר ללא השפעה שלאנרגיה פוטנציאלית) הוא $\omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}$ . אם נבחר $\ u(k)={\sqrt {\frac {\sigma }{2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}(k-k_{0})^{2}}{4}}}$ , (בחירה המבטיחה שפונקציית הגל של החלקיק מנורמלת), נקבל שצפיפות ההסתברות למציאת החלקיק היא:

$|\psi (x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {e^{-{\frac {2}{\sigma ^{2}+\alpha ^{2}t^{2}}}\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}}{\sqrt {\sigma ^{2}+\alpha ^{2}t^{2}}}}$

כאשר

\ \alpha =2\hbar /m\sigma

. חבילת גלים זו מתארת חלקיק המתקדם במהירות

\ \hbar k_{0}/m

, בכיוון החיובי של ציר

\ x

, ובזמן התקדמות החלקיק חבילת הגל המגדירה את ההסתברות למצוא אותו בנקודה במרחב הולכת ומתרחבת. במילים אחרות, אי-הוודאות במיקום החלקיק הולכת וגדלה עם הזמן.

נתבונן ביחס נפיצה כללי $\ \omega =\omega (k)$ , ו- $\ u(k)={\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}(k-k_{0})^{2}}{2}}}$ , כאשר נניח ש $\ \sigma$ מספיק גדול כך שניתן להניח שחבילת הגלים מרוכזת סביב הערך $\ k=k_{0}$ . במקרה זה אפשר לקרב את יחס הנפיצה על ידי:

$\,\omega (k)\simeq \omega (k_{0})+{\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}(k-k_{0})$

וחבילת הגלים המתקבלת תחת קירוב זה היא:

$\ \psi (x,t)=e^{ik_{0}\left(x-{\frac {\omega (k_{0})}{k_{0}}}t\right)}e^{-{\frac {\left(x-{\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

חבילת גל זו, כמו בדוגמה 2, מתארת גל נושא מאופנן על ידי מעטפת גאוסית. אולם כאן, בשונה מדוגמה 2, מהירות ההתקדמות של הגל הנושא ושל המעטפת אינן בהכרח זהות.

מהירויות המאפיינות חבילות גלים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

כאשר תחום אורכי הגל ממנו מרכבת החבילה קטן ביחס לסקלה האופיינית של השינויים ביחס הנפיצה, אפשר לאפיין את חבילת הגלים בעזרת שתי מהירויות. מהירויות אלו נובעות מהפיתוח של יחס הנפיצה לטור מסביב לאורך הגל המרכזי, $\ k_{0}$ המרכיב את החבילה:

 $\ .\ \omega (k)\simeq \omega (k_{0})+{\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}(k-k_{0})$

פיתוח זה מגדיר שתי מהירויות:

מהירות פאזה

[עריכת קוד מקור |עריכה]

מהירות הפאזה מוגדרת בתור: $\ v_{ph}={\frac {\omega (k_{0})}{k_{0}}}$ זוהי מהירותו של גל מונוכרומטי בעל אורך גל $\ k_{0}$ ותדירות $\ \omega (k_{0})$ , וזוהי גם מהירותו של הגל הנושא של חבילת הגלים.

מהירות חבורה

[עריכת קוד מקור |עריכה]

מהירות החבורה מוגדרת בתור: $\ v_{g}={\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}$ והיא מהירות ההתקדמות של מעטפת הגל. ניתן לזהות מהירויות אלו בדוגמה (4) שלמעלה.מהירות החבורה היא המהירות שבה ניתן להעביר אותות (כלומרמידע) והיא קטנה ממהירות האור.

דוגמה

[עריכת קוד מקור |עריכה]

כדוגמה למהירות חבורה ומהירות פאזה נסתכל על יחס הנפיצה שלגלי רדיו ביונוספירה: $\ \omega ^{2}=\Omega ^{2}+c^{2}k^{2}$ כאשר $\ \Omega$ היא תדירות קבועה הנקראתתדירות הפלזמה ו- $\ c$ היא מהירות האור. מהירות הפאזה ומהירות החבורה במקרה זה הן: $\ v_{ph}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {\Omega ^{2}}{k^{2}}}+c^{2}}}>c$ $\ v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {c^{2}}{v_{ph}}}<c$ דוגמה זו מראה כי אף על פי שמהירות הפאזה יכולה להיות גדולה ממהירות האור, מהירות החבורה, שהיא המהירות בה ניתן להעביר מידע, קטנה ממהירות האור.

עקרון אי-הוודאות

[עריכת קוד מקור |עריכה]

הדוגמאות לעיל מראות שככל שחבילת הגלים מרוכזת במרחב מספרי הגל, כך היא רחבה יותר במרחב המקום. בפרט, אם התחום שחבילת הגלים תופסת במרחב המקום הוא מסדר גודל של $\ \sigma$ , אזי רוחב התחום של אורכי הגל שתורם לחבילה הוא מתכונתי הפוך לרוחבה והוא מסדר גודל של $\ 1/\sigma$ (למעשה, החסם התחתון למכפלה $\ \Delta x\cdot \Delta k$ מתקבל עבור חבילת גל גאוסיאנית).עקרון אי-הוודאות של הייזנברג נובע מתכונה זו.

ראו גם

[עריכת קוד מקור |עריכה]

נפיצה

קישורים חיצוניים

[עריכת קוד מקור |עריכה]

מדיה וקבצים בנושאחבילת גלים בוויקישיתוף

גלים
מאפיינים	משרעת •תדירות •מופע •אורך גל •וקטור גל •מספר גל •מהירות פאזה •מהירות חבורה •קיטוב
תופעות	החזרה •העברה •שבירה •התאבכות •עקיפה •נפיצה •בליעה
מושגים	גל עומד •אפנון •חבילת גלים •תווך •מתנד הרמוני •תהודה •אפקט דופלר
אנליזה	משוואת הגלים •משוואת הלמהולץ •עקרון הויגנס •עקרון פרמה •חוקי פרנל
סוגי גלים	גל מישורי •גל כדורי •גל רוחב •גל אורך •פולס •קרינה אלקטרומגנטית •גל קול •גל (מים) •פונקציית גל

אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=חבילת_גלים&oldid=38172876"

קטגוריה:

גלים

קטגוריה מוסתרת:

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה

[8]ページ先頭