Ateoría de números alxébricos outeoría alxébrica de números é unha rama dateoría dos números na cal o concepto de número se expande aosnúmeros alxébricos, os cales son asraíces dospolinomios con coeficientes racionais.
Un corpo de números alxébricos é unha extensión finita (alxébricos) docorpo dosnúmeros racionais. Oanel dos enteiros dun corpo de números alxébricos é o conxunto dos enteiros en devandito corpo, é dicir, o subconxunto do corpo que consta dos elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteiros.
Pódese ver, e tratar, un corpo de números alxébrico como un análogo dos racionais, e o seu anel de enteiros como un análogo dos enteiros. Agora ben, a analoxía non é perfecta: algunhas das propiedades familiares dos racionais e os enteiros non se conservan, por exemplo, afactorización única. (Ateoría de ideais suple en parte a falta de factorización única.)
Os corpos de números alxébricos, así como os corpos de funcións, son chamados corpos globais. Gran parte da teoría pódese desenvolver de maneira paralela para ambos os tipos de obxectos. A localización consiste na pasaxe dun corpo global a un corpo local: no caso dos corpos de funcións, este procedemento consiste simplemente en dirixir a mirada a un punto en particular da superficie ou variedade estudada, e concentrarse en como as funcións se comportan na súaveciñanza inmediata.
Os inicios da teoría de números alxébricos pode estudarse ata asecuacións diofantianas,[1] chamadas así polo matemáticoDiofanto de Alexandría, que as estudou e desenvolveu métodos para resolver algunhas delas. Un problema típico de Diofanto é atopar dous enteirosx ey tales que a súa suma e a suma dos seus cadrados sexa igual a dous números dadosA eB, respectivamente:
As ecuacións diofantianas foron estudadas durante centos de anos. Por exemplo, as solucións á ecuaciónx2 +y2 =z2 están dadas polasternas pitagóricas, resoltas polos babilonios (c. 1800 a.C.).[2] Solucións a outras ecuacións lineares como 26x + 65y = 13, poden atoparse coalgoritmo de Euclides (arredor do século V a.C.).[3]
Oúltimo teorema de Fermat foi conxecturado porPierre de Fermat en 1637, mais non se demostrou até 1995 a pesar dos esforzos dos matemáticos durante 358 anos. O problema estimulou o desenvolvemento da teoría de números alxébricos no século XIX e a demostración dateorema de modularidade no século XX.
Unha das obras fundadoras da teoría de números alxébricos, asDisquisitiones Arithmeticae é un libro de texto de teoría de números ecrito enlatín[4] porCarl Friedrich Gauss en 1798 cando tiña 21 anos e publicada en 1801, aos 24 anos. No libro Gauss achega resultados na teoría de números obtidos por matemáticos como Fermat,Euler,Lagrange eLegendre e engade importantes novos resultados propios. Antes de que asDisquisitiones se publicasen, a teoría de números consistía nunha colección de teoremas illados e conxecturas. Gauss xuntou o traballo dos seus predecesores coa súa obra orixinal nun marco sistemático, completou os ocos, corrixiu demostracións e estendeu a materia de numerosas formas.
AsDisquisitiones foron o punto de partida para o traballo doutros matemáticos do século XIX comoErnst Kummer,Peter Gustav Lejeune Dirichlet eRichard Dedekind. Moitas das anotacións dadas por Gauss son anuncios de investigacións propias posteriores, algunhas delas inéditas. Pódense considerar como os xermes das teorías dasfuncións L e amultiplicación complexa.
Nun par de artigos en 1838 e 1839,Peter Gustav Lejeune Dirichlet probou a primeirafórmula de clase numérica, paraformas cuadráticas (posteriormente refinada polo seu estudanteLeopold Kronecker). A fórmula, que Jacobi chamou resultado "tocando o máximo da agudeza humana", abriu o camiño para resultados máis xerais dos corpos numéricos.[5] Baseada nas investigacións da estrutura dogrupo unidade decorpos cuadráticos, probou oteorema unidade de Dirichlet, resultado fundamental da teoría de números alxébricos.[6]
Usou por primeira vez oprincipio do pombal, argumento básico de reconto, na demostración dun teorema deaproximación diofantiana, posteriormente chamadoteorema de aproximación de Dirichlet. Publicou importantes contribucións ao último teorema de Fermat, para o que probou os casosn = 5 en = 14, e á lei de reciprocidade bicuadrática.[5] Oproblema do divisor de Dirichlet, para o que atopou os primeiros resultados, aínda é un problema sen resolver na teoría dos números, a pesar das contibucións posteriores doutros investigadores.
O estudo deRichard Dedekind sobre o traballo de Lejeune Dirichlet foi o que o levou ao estudo posterior dos corpos de números alxébricos e dos ideais. En 1863, publicou os traballos de Dirichlet sobre a teoría de números comoVorlesungen über Zahlentheorie ("Leccións sobre teoría de números") sobre o que escribiu:
"Aínda que o libro está baseado nas leccións de Dirichlet, e aínda que o propio Dedekind referiuse ao libro como de Dirichlet, a obra foi enteiramente escrita por Dedekind, a maior parte trala morte de Dirichlet." (Edwards 1983)
As edicións de 1879 e 1894 incluían suplementos que introduciron o concepto de ideal, fundamental para ateoría de aneis.[7] Dedekind definiu un ideal como o subconxunto dun conxunto de números, composto por enteiros alxébricos que satisfai ecuacións polinómicas con coeficientes enteiros. O cencepto evolucionou nas mans de Hilbert e especialmente nas deEmmy Noether. Os ideais xeneralizan os números ideais de Ernst Eduard Kummer, que formaban parte do intento deste de 1843 para probar o teorema de Fermat.
David Hilbert unificou o campo da teoría de números alxébricos co seu tratado de 1897Zahlbericht (literalmente, "informe sobre números"). Tamén resolveu un importante problema formulado por Waring en 1770. Empregou demostracións existentes para demostrar que debe haber solucións para o problema en lugar de ofrecer mecanismos para producir as respostas.[8] Fixo tamén conxecturas sobre teoría de corpos. Estes conceptos foron enormemente influentes e a súa propia contribución aparece en nomes como osímbolo de Hilbert. Os resultados foron provados en 1930 co traballo deTeiji Takagi.
Emil Artin estableceu alei de reciprocidade de Artin nunha serie de artigos (1924; 1927; 1930). Esta lei é un teorema xeral na teoría de números.[9] A expresión "lei de reciprocidade" refírese a unha longa serie de afirmacións da teoría de números que xeneraliza, dende alei de reciprocidade cuadrática e as leis de reciprocidade deEisenstein e Kummer á fórmula do produto de Hilbert para anorma símbolo. O resultado de Artin dá unha solución parcial aonoveno problema de Hilbert.
Arredor de 1955, os matemáticos xaponesesGoro Shimura eYutaka Taniyama observou a posible relación entre dúas ramas das matemáticas aparentemente distintas, ascurvas elípticas e asformas modulares. O resultanteteorema da modularidade, coñecido nese momento como conxectura de Taniyama–Shimura, afirma que toda curva elíptica émodular, o que quere dicir que pode asociarse cunha única forma modular.
Isto foi inicialmente desbotado como altamente especulativo, mais foi tomado máis en serio cando o teórico dos númerosAndré Weil atopou evidencias que o apoiaban, mais non unha demostración; con este sorprendente resultado[10] a conxectura era coñecida como conxectura de Taniyama–Shimura-Weil. Converteuse nunha parte doprograma Langlands, listaxe de importantes conxecturas que necesitan ser comprobadas.
Entre 1993 e 1994,Andrew Wiles deu unha demostración para oteorema da modularidade para curvas elípticas semiestables, que xunto coteorema de Ribet proporcionou unha proba para oúltimo teorema de Fermat. Wiles anunciou por primeira vez a súa demostración en xuño de 1993[11] nunha versión que axiña se comprobou que tiña un problema nun punto clave. A demostración foi corrixida por Wiles, en parte en colaboración conRichard Taylor, e a versión final amplamente aceptada foi presentada en setembro de 1994 e publicada formalmente en 1995. A proba usa moitas técnicas daxeometría alxébrica e ateoría de números e ten moitas ramificacións nestas ramas das matemáticas. Tamén emprega construcións típicas da xeometría alxébrica moderna como acategoría dosesquemas e ateoría de Iwasawa, así como outras técnicas do século XX non dispoñibles para Fermat.
Unha propiedade importante do anel de enteiros é que satisfai oteorema fundamental da aritmética, que todo número enteiro (positivo) ten unha factorización nun produto de números primos, e esta factorización é única ata a ordenación dos factores. Isto pode non ser certo no anel de números enteirosO dun corpo numérico alxébricoK.
Unelemento primo é un elementop deO tal que sep divide un produtoab, entón divide un dos factoresa oub. Esta propiedade está moi relacionada coa primalidade dos enteiros, porque calquera enteiro positivo que satisfaga esta propiedade é1 ou un número primo. Non obstante, é estritamente unha condición máis débil. Por exemplo,−2 non é un número primo porque é negativo, mais é un elemento primo. Se se permiten factorizacións en elementos primos, daquela, mesmo en números enteiros, hai factorizacións alternativas como
En xeral, seu é unhaunidade, é dicir un número cun inverso multiplicativo enO, e sep é un elemento primo, daquelaup tamén é un elemento primo. Números comop eup dise que sonasociados. Nos números enteiros, os primosp e−p están asociados, mais só un deles é positivo. Ao esixir que os números primos sexan positivos conseguimos un elemento único entre un conxunto de elementos primos asociados.CandoK non son os números racionais, porén, non hai análogo de positividade. Por exemplo, nos números enteiros gaussianosZ[i],[12] os números1 + 2i e −2 +i son asociados porque o segundo é o produto do primeiro pori, mais non hai forma de sinalar un deles como máis canónico que o outro. Isto leva a ecuacións como
que demostran que enZ[i], non é certo que as factorizacións sexan únicas ata a orde dos factores. Por este motivo, adoptamos a definición de factorización única usada nosdominios de factorización única (UFD). Nun UFD, só se espera que os elementos primos que se producen nunha factorización sexan únicos ata as unidades (elementos con multiplicativo inverso) e a súa ordenación.
No entanto, aínda con esta definición máis feble, moitos aneis de números enteiros en corpos numéricos alxébricos non admiten factorización única. Hai unha obstrución alxébrica chamadagrupo de clases de ideais. Cando o grupo de clases de ideais é trivial, o anel é un UFD. Cando non o é, hai unha distinción entre un elemento primo e unelemento irredutible. Unelemento irredutiblex é un elemento tal que sex =yz, entón ouy ouz é unha unidade. Son os elementos que non poden ser factorizados.
Cada elemento enO admite unha factorización en elementos irredutibles, mais pode admitir máis dunha. Isto débese a que, aínda que todos os elementos primos son irredutibles, algúns elementos irredutibles poden non ser primos.Por exemplo, considere o anelZ[√-5].[13] Neste anel, os números3,2 + √-5 e2 - √-5 son irredutibles. Isto significa que o número9 ten dúas factorizacións en elementos irredutibles,
Esta ecuación mostra que3 divide o produto(2 + √-5)(2 - √-5) = 9 . Se3 fose un elemento primo, entón dividiría2 + √-5 ou2 - √-5, mais non o fai, porque todos os elementos divisibles por3 teñen a forma3a + 3b√-5. Do mesmo xeito,2 + √-5 e2 - √-5 dividen o produto32, mais ningún destes elementos divide a3, polo que ningún deles é primo. Como de ningún modo poden ser equivalentes os elementos3,2 + √-5 e2 - √-5, a factorización única falla enZ[√-5]. A diferenza da situación coasunidades, onde a singularidade podería repararse debilitando a definición, superar este fallo require unha nova perspectiva.
SeI é un ideal enO, sempre hai unha factorización
onde cada é unideal primo, e cumpre que é única ata a orde dos factores. En particular, isto é certo seI é o ideal principal xerado por un só elemento. Este é o sentido máis forte no que o anel de números enteiros dun corpo numérico xeral admite a factorización única. Na linguaxe da teoría de aneis, os aneis de enteiros son dominios de Dedekind.
CandoO é un UFD, cada ideal primo é xerado por un elemento primo. De non ser un UFD hai ideais primos que non son xerados por elementos primos. EnZ[√-5], por exemplo, o ideal(2, 1 + √-5) é un ideal primo que non pode ser xerado por un só elemento.
Historicamente, a idea de factorizar ideais en ideais primos foi precedida pola introdución de números ideais de Ernst Kummer. Estes son números que se atopan nun corpo de extensiónE deK. Este extensión do corpo coñécese agora como corpo de clase Hilbert. Poloteorema do ideal principal, todo ideal primo deO xera un ideal principal do anel de enteiros deE. Un xerador deste ideal principal chámase número ideal. Kummer utilizou estes como substitutos no caso do fallo da factorización única nos corpos ciclotómicos. Finalmente levaron a Richard Dedekind a introducir un precursor dos ideais e a proporcionar unha factorización única dos ideais.
Un ideal que é primo no anel de números enteiros dun corpo numérico pode non ser primo cando se estende a un corpo numérico maior. Considere, por exemplo, os números primos. Os ideais correspondentespZ son ideais primos do anelZ. Porén, cando este ideal se estende aos enteiros gaussianos para obterpZ[i], pode ser primo ou non. Por exemplo, a factorización2 = (1 +i)(1 −i) implica que
teña en conta que como1 +i = (1 −i) \cdoti, entón os ideais xerados por1 +i' ' e1 −i son iguais.Unha resposta completa á pregunta de cal son os ideais que permanecen primos nos enteiros de Gauss é proporcionada poloteorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados. Implica que para un número primo imparp,pZ[i] é un ideal primo sep ≡ 3 (mod 4) e non é un ideal primo sep ≡ 1 (mod 4). Isto, xunta a observación de que o ideal(1 +i)Z[i] é primo, proporciona unha descrición completa dos ideais primos nos enteiros gaussianos. Xeneralizar este resultado sinxelo a aneis de números enteiros máis xerais é un problema básico na teoría alxébrica de números. A teoría de corpos de clases logra este obxectivo candoK é unhaextensión abeliana deQ (é dicir, unhaextensión de Galois con grupo de Galoisabeliano ).
A factorización única falla se e só se hai ideais primos que non poden ser principais. O obxecto que mide o fracaso dos ideais primos para ser principais chámase grupo de clase ideal. Definir o grupo de clase ideal require ampliar o conxunto de ideais nun anel de enteiros alxébricos para que admitan unha estrutura degrupo. Isto faise xeneralizando ideais aideais fraccionais.
Un ideal fraccional é un subgrupo aditivoJ deK pechado pola multiplicación por elementos deO, significando quexJ ⊆J sex ∈O. Todos os ideais deO tamén son ideais fraccionais. SeI eJ son ideais fraccionais, entón o conxuntoIJ de todos os produtos dun elemento enI e un elemento enJ tamén é un ideal fraccional.
Esta operación converte o conxunto de ideais fraccionais distintos de cero nun grupo.
A identidade do grupo é o ideal(1) =O, e a inversa deJ é un (xeneralizado)cociente ideal :
Os principais ideais fraccionais, é dicir, os da formaOx ondex ∈K×, forman un subgrupo do grupo de todos os ideais fraccionais distintos de cero. O cociente do grupo de ideais fraccionais distintos de cero deste subgrupo é o grupo de clase ideal. Dous ideais fraccionaisI eJ representan o mesmo elemento do grupo da clase ideal se e só se existe un elementox ∈K tal quexI =J. Polo tanto, o grupo de clase ideal fai que dous ideais fraccionais sexan equivalentes se un está tan preto de ser principal como o outro.Ogrupo da clases de ideais denótase xeralmente comoClK,ClO ouPicO (na último notación identifícase cogrupo de Picard en xeometría alxébrica).
O número de elementos do grupo de clases de ideais chámasenúmero de clase deK. O número de clase deQ(√-5) é 2. Isto significa que só hai dúas clases ideais, a clase dos ideais fraccionais principais e a clase dun ideal fraccional non principal como(2, 1 + √-5).
O grupo de clases de ideais ten outra descrición en termos dodivisors. Estes son obxectos formais que representan posibles factorizacións de números. O grupo divisorDivK defínese como ogrupo abeliano libre xerado polos ideais primos deO. Hai unhomomorfismo de grupos desdeK× aDivK, ondeK× son os elementos distintos de cero deK ata a multiplicación. Supoña quex ∈K satisfai
Daqueladivx defínese como o divisor
Okernel dediv é o grupo de unidades enO, mentres que ocokernel é o grupo de clases de ideais. Na linguaxe daálxebra homolóxica, isto di que hai unhasecuencia exacta de grupos abelianos (escritos multiplicativamente),
Algúns corpos numéricos, comoQ(√2), pódense especificar como subcorpos dos números reais. Outros, comoQ(√−1), non poden. En abstracto, tal especificación corresponde a un homomorfismo de corpoK →R ouK →C. Estes chámanseinsercións reais einsercións complexas, respectivamente.
Un corpo cuadrático realQ(√a), cona ∈Q ,a > 0, ea non é uncadrado perfecto, chámase así porque admite dúas insercións reais mais non insercións complexas. Estes son os homomorfismos de corpo que envían√a a√a e a −√a, respectivamente. Nun sentido similar, un corpo cuadrático imaxinarioQ(√−a) non admite insercións reais mais admite un par conxugado de insercións complexas. Unha destas insercións envía√−a a√−a, mentres que a outra envíao ao seuconxugado complexo,−√−a.
Convencionalmente, o número de insercións reais deK denomínaser1, mentres que o número de pares conxugados de insercións complexas denotaser2. Asinatura deK é o par(r1,r2). Existe un teorema onde vemos quer1 + 2r2 =d, sendod o grao.
As insercións reais e complexas poden equipararse cos ideais primos adoptando unha perspectiva baseada nasvaloracións. Consideremos, por exemplo, os números enteiros. Ademais da función habitualvalor absoluto |·| :Q →R, hai funcións convalor absoluto p-ádico |·|p :Q →R, definidas para cada número primop, que miden a divisibilidade porp.OTeorema de Ostrowski afirma que estas son todas as funcións de valor absoluto posibles enQ (ata equivalencia). Polo tanto, os valores absolutos son unha linguaxe común para describir tanto os mergullos reais deQ como os números primos.
Unlugar dun corpo de números alxébricos é unha clase de equivalencia de funciónsvalor absoluto enK. Hai dous tipos de lugares. Hai un valor absoluto-ádico para cada ideal primo deO e, igual que os valores absolutosp-ádicos, mide a divisibilidade. Estes chámanselugares finitos.O outro tipo de lugar especifícase mediante un mergullo real ou complexo deK e a función de valor absoluto estándar enR ouC. Estes sonlugares infinitos.
Como os valores absolutos son incapaces de distinguir entre un mergullo complexo e o seu conxugado, un mergullo complexo e o seu conxugado determinan o mesmo lugar. Polo tanto, hair1 lugares reais er2 lugares complexos. Debido a que os lugares engloban os primos, ás veces denomínanse "primos". Cando se fai isto, os lugares finitos chámanseprimos finitos e os lugares infinitos chámanseprimos infinitos. Sev é unha valoración correspondente a un valor absoluto, entón adoita escribirse para significar quev é un lugar infinito e para significar que é un lugar finito.
Considerando todos os lugares do corpo xuntos, prodúcese oanel de adeles (ou adélico) do corpo numérico. O anel de adeles permite rastrexar simultaneamente todos os datos dispoñibles utilizando valores absolutos. Isto produce vantaxes significativas en situacións nas que o comportamento nun lugar pode afectar o comportamento noutros lugares, como naLei de reciprocidade de Artin.
Os números enteiros só teñen dúas unidades,1 e−1, porque o resto de inversos pertencen aos racionais. Outros aneis de enteiros poden admitir máis unidades. Os enteiros gaussianos teñen catro unidades, as dúas anteriores así como±i. OsEnteiros de EisensteinZ[exp(2πi / 3)] teñen seis unidades.Os números enteiros dos corpos de números cuadráticos reais teñen infinitamente moitas unidades. Por exemplo, enZ[√3], cada potencia de2 + √3 é unha unidade , e todos estas potencia son distintas.
En xeral, o grupo de unidades deO, denotadoO×, é un grupo abeliano finitamente xerado. Oteorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados implica, polo tanto, que é unha suma directa de elementos de torsión e de elementos libres. Reinterpretando isto no contexto dun corpo numérico, a parte de torsión consiste nasraíces da unidade que se atopan enO. Este grupo é cíclico. A parte libre descríbese poloteorema das unidades de Dirichlet. Este teorema di que o rango da parte libre ér1 +r2 − 1. Así, por exemplo, os únicos corpos para os que o rango da parte libre é cero sonQ e os corpos cuadráticos imaxinarios. Tamén se pode dar outra definición para a estrutura deO× ⊗ZQ como un [[módulo de Galois] ] para o grupo de Galois deK/Q.[14]
A parte libre do grupo de unidades pódese estudar utilizando os infinitos lugares deK. Considere a función
ondev varía sobre os lugares infinitos deK onde |·|v é o valor absoluto asociado conv.
A funciónL é un homomorfismo deK× cara a un espazo vectorial real. Pódese demostrar que a imaxe deO× é unha rede (lattice) que se estende polo hiperplano definido por
O covolume desta rede é oregulador do corpo numérico. Unha das simplificacións que se fan posibles ao traballar co anel de adeles é que hai un único obxecto, ogrupo alxébrico de adeles, que describe tanto o cociente por esta rede como ogrupo de clase de ideais.
Afunción zeta de Dedekind dun corpo numérico, análoga áfunción zeta de Riemann, é un obxecto analítico que describe o comportamento dos ideais primos enK. CandoK é unha extensión abeliana deQ, as funcións zeta de Dedekind son produtos dafunción L de Dirichlet, existindo un factor por cadacarácter de Dirichlet. O carácter trivial corresponde á función zeta de Riemann. CandoK é unhaextensión de Galois, a función zeta de Dedekind é afunción L de Artin darepresentación regular do grupo de Galois deK, e ten unha factorización en termos dasrepresentacións de Artin irredutibles do grupo de Galois.
A función zeta está relacionada cos outros invariantes descritos anteriormente polafórmula do número de clase.
Completando un corpo numéricoK nun lugarw dá uncorpo completo. Se a valoración é Arquimedeana, obtenseR ouC, se non é Arquimedeana e se refire a un primop dos racionais, obtense unha extensión finita que resulta ser un corpo completo de valores discretos cun corpo finito de residuos. Este proceso simplifica a aritmética do corpo e permite o estudo local de problemas. Por exemplo, oteorema de Kronecker–Weber pódese deducir facilmente da declaración local análoga. A filosofía detrás do estudo dos corpos locais está motivada en gran medida polos métodos xeométricos. En xeometría alxébrica, é común estudar variedades localmente nun punto localizando nun ideal máximo. A información global pódese recuperar entón xuntando datos locais. Este espírito é o que adopta a teoría alxébrica de números. Dado un primo no anel de enteiros alxébricos nun corpo numérico, é desexable estudar o corpo localmente nese primo. Polo tanto, faise o estudo local do anel de enteiros alxébricos nese primo e, a continuación, complétase o corpo de fraccións, isto está no mesmo espírito da xeometría.
Un dos resultados clásicos da teoría alxébrica de números é que o grupo de clases de ideais dun corpo numérico alxébricoK é finito.Esta é unha consecuencia dacota superior de Minkowski xa que só hai un número finito deideais enteiros cunha norma menor que un enteiro positivo fixo[15]page 78. The order of the class group is called theclass number, and is often denoted by the letterhpáxina 78.
A orde do grupo de clases chámasenúmero de clase, e a miúdo denótase coa letrah.
Un dos resultados clásicos da teoría alxébrica de números é que o grupo de clases de ideais dun corpo numérico alxébricoK é finito.Esta é unha consecuencia dolímite de Minkowski xa que só hai un número finito deideais enteiros cunha norma menor que un enteiro positivo fixo[16]page 78. A orde do grupo de clases chámasenúmero de clase, e a miúdo denótase coa letrah.
O teorema da unidade de Dirichlet ofrece unha descrición da estrutura do grupo multiplicativo de unidadesO× do anel de enteirosO.
En termos dosímbolo de Legendre, a lei da reciprocidade cadrática para primos impares positivos estabelece
Unhalei de reciprocidade é unha xeneralización dalei da reciprocidade cadrática.
Hilbert reformula as leis de reciprocidade dicindo que un produto sobrep dos símbolos de Hilbert (a,b/p), que toman valores nasraíces da unidade, é igual a 1.
ALei de reciprocidade de Artin afirma que o símbolo de Artin desde ideais (ou ideles) até elementos dun grupo de Galois é trivial nun determinado subgrupo.
Afórmula do número de clase relaciona moitas invariantes importantes duncorpo numérico cun valor especial da súa función zeta de Dedekind.
