Enálxebra abstracta, ateoría de aneis é o estudo deaneis (estruturas alxébricas nas cales a adición e a multiplicación están definidas e teñen propiedades similares a aquelas operacións definidas para osenteiros). A teoría de aneis estuda a estrutura de aneis, as súasrepresentacións, ou, en linguaxe diferente,módulos, clases especiais de aneis (aneis de grupo,aneis de división,álxebras universais envolventes), así como unha variedade de propiedades que resultaron de interese tanto dentro da propia teoría e para as súas aplicacións, comopropiedades homolóxicas e identidades polinómicas.
Osaneis conmutativos enténdense moito mellor cós non conmutativos. Axeometría alxébrica e ateoría de números alxébricos, que proporcionan moitos exemplos naturais de aneis conmutativos, impulsaron moito o desenvolvemento da teoría de aneis conmutativos, que é, co nome deálxebra conmutativa, unha área importante da matemática moderna. Debido a que este tres campos (xeometría alxébrica, teoría de números alxébricos e álxebra conmutativa) están tan intimamente conectados, é normalmente difícil e sen sentido decidir a que campo pertence un resultado particular. Por exemplo, oteorema dos ceros de Hilbert é un teorema que é fundamental para a xeometría alxébrica, e está enunciado e probado en termos de álxebra conmutativa. Do mesmo xeito, oúltimo teorema de Fermat está enunciado en termos dearitmética elemental, que é unha parte de álxebra conmutativa, pero a súa proba implica resultados profundos tanto da teoría de números alxébricos como da xeometría alxébrica.
Osaneis non conmutativos son bastante diferentes, xa que pode xurdir un comportamento máis estraño. Mentres a teoría se desenvolveu por dereito propio, unha tendencia bastante recente buscou facer paralelismos co desenvolvemento conmutativo construíndo a teoría de certas clases de aneis non conmutativos dunha maneira xeométrica coma se fosen aneis defuncións sobre (non existentes) "espazos non conmutativos". Esta tendencia iniciouse na década de 1980 co desenvolvemento daxeometría non conmutativa e co descubrimento dosgrupos cuánticos. Isto levou a unha mellor comprensión dos aneis non conmutativos, especialmente osaneis noetherianos (Goodearl 1989).
Un anel é conmutativo se a súa multiplicación éconmutativa. Os aneis conmutativos parécense aos sistemas numéricos coñecidos, e varias definicións para os aneis conmutativos están deseñadas para formalizar as propiedades dosenteiros. Os aneis conmutativos tamén son importantes na xeometría alxébrica. Na teoría de aneis conmutativos, os números adoitan ser substituídos porideais, e a definición doideal primo tenta capturar a esencia dosnúmeros primos. Osdominios de integridade, aneis conmutativos non triviais onde non hai dous elementos distintos de cero que multiplicados dean cero, xeneralizan outra propiedade dos enteiros e serven como o dominio apropiado para estudar a divisibilidade. Osdominios de ideais principais son dominios integrais nos cales cada ideal pode ser xerado por un só elemento, outra propiedade compartida polos enteiros. Osdominios euclidianos son dominios integrais nos que se pode levar a cabo oalgoritmo de Euclides.
Axeometría alxébrica é de moitas maneiras a imaxe de espello da álxebra conmutativa. Esta correspondencia comezou co teorema dos ceros de Hilbert que establece unha correspondencia un a un entre os puntos dunhavariedade alxébrica, e osideais maximais do seu anel de coordenadas. Esta correspondencia foi ampliada e sistematizada para traducir (e probar) as propiedades máis xeométricas das variedades alxébricas en propiedades alxébricas dos aneis conmutativos asociados.Alexander Grothendieck completou isto introducindoesquemas, unha xeneralización de variedades alxébricas, que poden construírse a partir de calquera anel conmutativo. Máis especificamente, oespectro dun anel conmutativo é o espazo dos seus ideais principais equipados coatopoloxía de Zariski, e aumentado cunfeixe de aneis. Estes obxectos son os "esquemas afíns" (xeneralización dasvariedades afíns), e un esquema xeral obtense "pegando" (por métodos puramente alxébricos) varios destes esquemas afíns, en analoxía ao xeito de construír uncolector "pegando" os gráficos dunatlas.
Os aneis non conmutativos parécense aos aneis dematrices en moitos aspectos. Seguindo o modelo de xeometría alxébrica, tentáronse definir xeometrías non conmutativas baseadas en aneis non conmutativos. Os aneis non conmutativos e a álxebra asociativa (aneis que tamén sonespazos vectoriais) son a miúdo estudados a través das súascategorías de módulos. Unmódulo sobre un anel é ungrupo abeliano no que o anel actúa como un anel deendomorfismos, moi semellantes aoscampos (dominios integrais nos que cada elemento distinto de cero é invertible) de maneira que actúa sobre espazos vectorias. Exemplos de aneis non conmutativos son dados por aneis dematrices cadradas ou máis xeralmente por aneis de endomorfismos de grupos abelianos ou módulos, e por aneis monoides.
Ateoría da representación é unha rama dematemáticas que se basea en gran medida nos aneis non conmutativos. Estuda estruturas alxébricas abstractas que representando os seuselementos comotransformacións lineares deespazos vectoriales, emódulos sobre estasestruturas alxébricasabstractas. En esencia, unha representación fai un obxecto alxébrico abstracto máis concreto describindo os seus elementos mediantematrices e asoperacións alxébricas en termos de adición matricial emultiplicación matricial, que é non conmutativa. Os obxectosalxébricos susceptibles de tal descrición inclúengrupos,álxebras asociativas eálxebras de Lie. O máis prominente destes (e historicamente o primeiro) é ateoría de representación de grupos, na cal os elementos dun grupo se representan polas matrices invertibles de tal xeito que a operación do grupo é a multiplicación da matriz.
 | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Teoría de aneis |
