Asecante , é a razóntrigonométrica recíproca docoseno :
sec α = 1 cos α = c b {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {c}{b}}} Temos que, calculando a partir da circunferencia de raio unidade:
sec α = A B ¯ A C ¯ = A E ¯ A D ¯ = A E ¯ 1 = A E ¯ {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}} Partindo da definición de secante como a recíproca do coseno:
Coñecendo a función do coseno, podemos ver que para os valores nos que o coseno vale cero, a secante faise infinito, se a función coseno tende a cero desde valores positivos a secante tende a:+ ∞ {\displaystyle +\infty }
lim α → π 2 − cos ( α ) = 0 + {\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\cos(\alpha )=0^{+}} lim α → π 2 − sec ( α ) = 1 lim α → π 2 − cos ( α ) = 1 0 + = + ∞ {\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{+}}}=+\infty } mentres que cando o coseno tende a cero desde valores negativos a secante tende a:− ∞ {\displaystyle -\infty }
lim α → π 2 + cos ( α ) = 0 − {\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\cos(\alpha )=0^{-}} lim α → π 2 + sec ( α ) = 1 lim α → π 2 + cos ( α ) = 1 0 − = − ∞ {\displaystyle \lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{-}}}=-\infty } Cando o coseno do ángulo vale un, a súa secante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.
Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando quesec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={1 \over \cos x}} [ 1]
Asderivadas obtéñense lembrando a súa definición e aplicando a regra do cociente[ 2]
d d x sec x = d d x 1 cos x = sin x cos 2 x = sec x ⋅ tan x . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.} d 2 d x 2 sec x = d d x tan x cos x = d d x sin x cos 2 x = 1 + sin 2 x cos 3 x = sec 3 x ( 1 + sin 2 x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).} Consecuencia da primeira relación fundamental da trigonometría( cos 2 x + sin 2 x = 1 ) {\displaystyle (\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)} cosecante :
c o s e c 2 x + sec 2 x = c o s e c 2 x ⋅ sec 2 x {\displaystyle \mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x} para todox ≠ k π 2 {\displaystyle x\neq k{\pi \over 2}} k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
A relación obtense facilmente dividindo a relación fundamental porsin 2 x ⋅ cos 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}
↑ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni (2012). Ghisetti e Corvi, ed.Lineamenti.Math Blu Volume 4 .ISBN 978-88-538-0432-7 . ↑ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi. Zanichelli, 2009, ed.Base azul curso de Matemáticas-Tomo 5 .ISBN 978-88-08-03933-0 . Cobo Mérida, Purificación (2008).Trigonometría, 4 ESO . Materiales Didacticos Bemal.ISBN 978-84-612-6049-2 .
