Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Saltar ao contido
Wikipediaa Wikipedia en galego
Procura

Resorte

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Mola de compresión.
Béstas na suspensión dun coche Skoda.

Unresorte é un obxecto elástico flexíbel usado para almacenar enerxía mecánica e desprenderse logo dela sen sufrir deformación permanente cando cesan as forzas ou a tensión que o someten. Os resortes son feitos de materiais moi diversos,aceiro aocarbono,aceiro inoxidable, aceiro aocromo-silicio, cromo-vanadio,bronces, plástico etc, que presentanpropiedades elásticas; e cunha gran diversidade de formas e dimensións.

Teñen moitas aplicacións, desde cables de conexión até disquetes, produtos de uso cotián, ferramentas especiais oususpensións de vehículos. O seu propósito, con frecuencia, adáptase a situacións nas que se require aplicar unha forza e que esta sexa retornada en forma de enerxía. Sempre están deseñados para ofrecer resistencia ouamortecer as solicitacións externas.

Na física clásica, un resorte pode ser visto como un dispositivo que almacene a enerxía potencial esticando as ligazóns entre os átomos dun material elástico.

Alei de Hooke daelasticidade indica que a extensión dunha haste elástica (o seu comprimento distendido menos o seu comprimento relaxado) é linear proporcional á súa tensión e á forza usada para esticala. Similarmente, a contracción (extensión negativa) é proporcional á compresión (tensión negativa).

Para deformacións alén do límite elástico, as ligazóns atómicas comezan a se quebrar, e un resorte pode formar ondas, ou deformarse permanentemente. Moitos materiais non teñen ningún límite elástico claramente definido, e a lei de Hooke non pode ser significativamente aplicada a estes materiais.

Mola utilizada como xoguete.

Tipos de resortes

[editar |editar a fonte]
Resorte de torsión.

Segundo as forzas ou tensións que poden soportar, distínguense tres tipos principais de resortes:

  • Resortes de tracción: Estes resortes soportan exclusivamente forzas de tracción e caracterízanse por ter un gancho en cada un dos seus extremos, de diferentes estilos: inglés, alemán, catalán, murciano, xiratorio, aberto, pechado ou de dobre espira. Estes ganchos permiten montar os resortes de tracción en todas as posicións imaxinábeis.
Resorte cónico de compresión.
  • Resortes de compresión: Estes resortes están especialmente deseñados para soportar forzas de compresión. Poden ser cilíndricos, cónicos, bicónicos, de paso fixo ou cambiante.
  • Resortes de torsión: Son os resortes sometidos a forzas de torsión (momentos).

Existen resortes que poden operar tanto a tracción como a compresión. Tamén existen unha gran cantidade de resortes que non teñen a forma de mola habitual; quizais a forma máis coñecida sexa aarandela grower.

Resorte especial.

Física do resorte

[editar |editar a fonte]

Enerxía de deformación

[editar |editar a fonte]

A maneira máis simple de analizar un resorte fisicamente é mediante o seu modelo ideal global e baixo a suposición de que este obedece aLei de Hooke. Establécese así a ecuación do resorte, onde se relaciona a forzaF exercida sobre o mesmo co alongamento/contracción ou elongación x producida:


F=−kx{\displaystyle F=-kx\,},     sendo   k=AEL{\displaystyle k={\frac {AE}{L}}}

A enerxía de deformación ouenerxía potencial elásticaUk{\displaystyle U_{k}} asociada ao estiramento ou acurtamento dun resorte linear vén dada pola integración dotraballo realizado en cada cambio infinitesimaldx{\displaystyle dx\,} da súa lonxitude. Isto é:


Uk=−∫0xF(x) dx=−∫0x−k(x)x dx =12kx2{\displaystyle U_{k}=-\int _{0}^{x}F(x)\ dx=-\int _{0}^{x}-k(x)x\ dx\ ={\frac {1}{2}}kx^{2}}

Se o resorte non é linear entón a rixidez do resorte é dependente da súa deformación e nese caso tense unha fórmula algo máis xeral:


Uk=∫0xk(x)⋅x dx{\displaystyle U_{k}=\int _{0}^{x}k(x)\cdot x\ dx}

Ecuación diferencial e ecuación de ondas

[editar |editar a fonte]

Definiremos agora unha constante intrínseca do resorte independente da lonxitude deste e estableceremos así a lei diferencial constitutiva dun resorte. Multiplicandok{\displaystyle k} pola lonxitude total, e chamando ao produtoki{\displaystyle k_{i}} ou k intrínseco, tense:

ki=AE{\displaystyle k_{i}=AE\,}    onde  k=kiL{\displaystyle k={\frac {k_{i}}{L}}}

ChamamosF(x){\displaystyle F(x)\,} á tensión nunha sección do resorte situada a unha distanciax{\displaystyle x\,} dun dos seus extremos, que consideraremos fixo e que tomaremos como orixe de coordenadas,kΔx{\displaystyle k_{\Delta x}} á constante dun pequeno anaco do resorte de lonxitude,Δx{\displaystyle \Delta x\,} á mesma distancia eδΔx{\displaystyle \delta _{\Delta x}\,} ao alongamento deste pequeno anaco en virtude da aplicación da forzaF(x){\displaystyle F(x)\,}. Pola lei do resorte completo:

F(x)=−kΔxδΔx=kiδΔxΔx{\displaystyle F(x)=-k_{\Delta x}\delta _{\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}}

Tomando o límite:

F(x)=−kiδdxdx{\displaystyle F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}}

que polo principio de superposición resulta:

F(x)=−kidδdx=−AEdδdx{\displaystyle F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-AE{\frac {d\delta }{dx}}}

Se ademais supoñemos que tanto a sección como omódulo de elasticidade poden variar coa distancia á orixe, a ecuación queda:

F(x)=−ki(x)dδdx=−A(x)E(x)dδdx{\displaystyle F\left(x\right)=-k_{i}\left(x\right){\frac {d{\delta }}{dx}}=-A\left(x\right)E\left(x\right){\frac {d\delta }{dx}}}

Que é a ecuación diferencial completa do resorte. Se se integra para todo x, obtense como resultado o valor do alongamento unitario total. Normalmente pode considerarse F (x) constante e igual á forza total aplicada. Cando F (x) non é constante e se inclúe no razoamento a inercia deste, chégase áecuación de onda unidimensional que describe os fenómenos ondulatorios.

Supoñemos, por simplicidade, que tanto a sección do resorte, como a súa densidade (entendendo densidade como a masa dun tramo de resorte dividida polo volume do cilindro imaxinario envolvente) e o seu módulo de elasticidade son constantes ao longo do mesmo e que o resorte é cilíndrico. Agora se tomamos un tramo diferencial do resorte de lonxitude (dx), a masa desa porción virá dada por:

dm=ρAdx{\displaystyle dm=\rho Adx}

Aplicando asegunda lei de Newton a ese tramo e chamándolleΨ(x){\displaystyle \Psi \left(x\right)} ao desprazamento dunha sección do resorte:

F(x)−F(x+dx)(x)=−dm∂2Ψ∂t2=−ρAdx∂2Ψ∂t2{\displaystyle F\left(x\right)-F(x+dx)\left(x\right)=-dm{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}}

É dicir:

∂F∂xdx=−ρAdx∂2Ψ∂t2→∂F∂x=−ρA∂2Ψ∂t2{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}\rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}}

Por outro lado é fácil deducir que

dδ=Ψ(x+dx)−Ψ(x)=∂Ψ∂xdx{\displaystyle d\delta =\Psi \left(x+dx\right)-\Psi \left(x\right)={\frac {\partial \Psi }{\partial x}}dx}

Ao introducir, polo tanto, esta expresión na ecuación diferencial do resorte antes deducida, chégase a:

F(x)=−AE∂Ψ∂d{\displaystyle F\left(x\right)=-AE{\frac {\partial \Psi }{\partial d}}}

Derivando esta expresión respecto a x obtense:

∂F∂x=−AE∂2Ψ∂x2{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=-AE{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}}

Xuntando a expresión temporal coa expresión espacial dedúcese finalmente a ecuación xeral dun resorte cilíndrico de sección, densidade e elasticidade constantes, que coincide exactamente coaecuación de onda lonxitudinal:

∂2Ψ(x,t)∂t2=Eρ×∂2Ψ(x,t)∂x2{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}\times {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}}

Da que se deduce a velocidade de propagación das perturbacións nun resorte ideal como:

c=Eρ{\displaystyle c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}}

Resorte cunha masa suspendida

[editar |editar a fonte]

Para o caso dun resorte cunha masa suspendida,


{F=−kx ⇒ md2xdt2=−kxdx(0)dt=v0{\displaystyle {\begin{cases}F=-kx\ \Rightarrow \ m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\\{\cfrac {dx(0)}{dt}}=v_{0}\end{cases}}}

Cuxa solución éx=(v0/ω)sin⁡ωt{\displaystyle x=(v_{0}/\omega )\sin {\omega t}}, é dicir, a masa realiza unmovemento harmónico simple deamplitudeA0=v0/ω{\displaystyle A_{0}=v_{0}/\omega } efrecuencia angularω{\displaystyle \omega }.Derivando e substituíndo:


 −ω2v0ωsin⁡ωt=−kmv0ωsin⁡ωt{\displaystyle \ \displaystyle -\omega ^{2}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t=-{\frac {k}{m}}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t}

Simplificando:


ω=km{\displaystyle \displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}

Esta ecuación relaciona afrecuencia natural coa rixidez do resorte e a masa suspendida.

Resorte de densidade variable

[editar |editar a fonte]

Para un resorte de densidade variable, módulo de elasticidade variable e sección da envolvente variable, a ecuación xeneralizada das perturbacións é a que segue:


∂2Ψ(x,t)∂t2=1ρ(x)[∂A(x)∂xE(x)A(x)+∂E(x)∂x]∂Ψ(x,t)∂x+E(x)ρ(x)∂2Ψ(x,t)∂x2{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\rho (x)}}\left[{\frac {\partial A(x)}{\partial x}}{\frac {E(x)}{A(x)}}+{\frac {\partial E(x)}{\partial x}}\right]{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial x}}+{\frac {E(x)}{\rho (x)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}}

Nun resorte destas características, a onda viaxeira cambiaría a súa velocidade e, polo tanto, a súa lonxitude de onda ao longo do percorrido. Ademais, nunhas zonas do resorte a súa amplitude sería maior que noutras, é dicir, a solución depende de tres funcións arbitrarias:


Ψ(x,t)=A0(x)f(x+c(x)t)+f(x−c(x)t)2{\displaystyle \Psi (x,t)=A_{0}(x){\frac {f(x+c(x)t)+f(x-c(x)t)}{2}}}

Na análise dun resorte real, aparecen tamén ondas lonxitudinais, transversais e de torsión ao largo e ancho das espiras que se propagan a unha velocidade que depende da raíz cadrada domódulo de elasticidadeE do material para as lonxitudinais, domódulo de elasticidade transversalG do material para as transversais e domódulo de torsión da espira para as de torsión, divididas todas pola densidade do material.

Solucións á ecuación de onda nun resorte

[editar |editar a fonte]

A solución xeral á ecuación en derivadas parciais do resorte simplificado de lonxitude infinita descríbese a continuación. Dadas as condicións iniciais:

Ψ(x,0)=f(x){\displaystyle \Psi (x,0)=f(x)\,}
Ψt(x,0)=g(x){\displaystyle {\Psi }_{t}(x,0)=g(x)\,}

ondeΨt=∂Ψ∂t{\displaystyle {\Psi }_{t}={\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\,}, a función deD'Alembert solución á ecuación de onda pode escribirse como:

Solución a condicións iniciais senoidais.

Ψ(x,t)=f(x−ct)+f(x+ct)2+12c∫x−ctx+ctg(s)ds{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}

Tal solución admite que F e G poidan ser calquera clase de funcións continuasf(x)∈Ck{\displaystyle \scriptstyle f(x)\in C^{k}} eg(x)∈Ck−1{\displaystyle \scriptstyle g(x)\in C^{k-1}} candou(t,x)∈Ck{\displaystyle \scriptstyle u(t,x)\in C^{k}}.

Para un resorte de lonxitude finita L cos seus extremos ancorados, o problema convértese nun de contorno que pode resolverse mediante separación de variables coateoría de Sturm-Liouville. Dadas unhas condicións iniciais como as anteriormente descritas e unhas condicións de contorno de extremos fixos, as condicións iniciais poden desenvolverse nunhaserie de Fourier da seguinte forma:

f(x)=∑n=1∞Ansin⁡(nπxL){\displaystyle f\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}}
g(x)=∑n=1∞BncnπLsin⁡(nπxL){\displaystyle g\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}{\frac {cn\pi }{L}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}}

Onde os coeficientes de Fourier se obteñen tras integrar as funcións f e g como segue:

An=2L∫0Lf(x)sin⁡(nπxL)dx{\displaystyle A_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx}
Bn=2nπc∫0Lg(x)sin⁡(nπxL)dx{\displaystyle B_{n}={\frac {2}{n\pi c}}\int _{0}^{L}g\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx}

paran=1,2,...{\displaystyle n=1,2,...}

A solución a este problema queda escrita como segue:

Ψ(x,t)=∑n=1∞Ansin⁡(nπxL)cos⁡(cnπtL)+∑n=1∞Bnsin⁡(nπxL)cos⁡(cnπtL){\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}}

Unha onda estacionaria. Os puntos vermellos representan os nodos.

Véxase tamén

[editar |editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar |editar a fonte]
Commons ten máis contidos multimedia sobre:  Resortes
Control de autoridades
Traído desde «https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Resorte&oldid=5753179»
Categoría:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp