Enmatemáticas,os octonións son unha extensión non asociativa doscuaternións. Forman unhaálxebra de oito dimensións sobre ocorpo ℝ dosnúmeros reais. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.
Ao perder a importante propiedade daasociatividade, os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia enálxebra exeometría, especialmente entre osgrupos de Lie.
O espazo 𝕆 de octonións é unespazo vectorial real de dimensión 8 relacionado cunhabase denotada como(1, i, j, k, l, il, jl, kl) (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).
Noutras palabras : cada octonionx escríbese de forma única comounha combinación linear con coeficientes reais destes oito elementos:
e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.
Amultiplicación de octonións defínese entón como a únicaaplicación bilinear, e verifica
e cuxos valores nos vectores da base veñen dados polatáboa de multiplicación que aparece a continuación:
| 1 | i | j | k | l | il | jl | kl | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | i | j | k | l | il | jl | kl |
| i | i | –1 | k | –j | il | –l | –kl | jl |
| j | j | –k | –1 | i | jl | kl | –l | –il |
| k | k | j | –i | –1 | kl | –jl | il | –l |
| l | l | –il | –jl | –kl | –1 | i | j | k |
| il | il | l | –kl | jl | –i | –1 | –k | j |
| jl | jl | kl | l | –il | –j | k | –1 | –i |
| kl | kl | –jl | il | l | –k | –j | i | –1 |
Inmediatamente notamos que:
A escolla inicial de(1, i, j, k, l, il, jl, kl) como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións parai ej tal que, configurandok = ij e escollendol adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo(1, i, j, k, l, li, lj, lk): a táboa modifícase logo por cambios de signos.
Unhaforma mnemotécnica de lembrar os produtos dosoctonións unitarios vén dada polo diagrama superior.
Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámaseplano de Fano (en realidade é oplano proxectivo construído sobre o corpo de dous elementosZ/2Z). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.
Sexa(a,b,c) unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:
con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:
As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :
Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆isomorfa aos cuaternións ℍ.
Oconxugado dun octonión
está dado por
Aconxugación é unhainvolución de 𝕆 e satisfai
Aparte real do octoniónx defínese do seguinte xeito
e a súaparte imaxinaria
Anorma dun octoniónx defínese como araíz cadrada dun número realpositivo :
Estanorma corresponde á normaeuclidiana en.
A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia duninverso para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquerax distinto de cero vén dado por:
Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base(1, i, j, k = ij) ) forman unha ℝ.álxebra xerada pori ej, os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base(1, i, j, ij, l, il, jl, (ij)l) ) forma unha ℝ-álxebra xerada pori,j el .
A multiplicación de octonións non é
Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: aalternatividade, é dicir que dous elementos calqueraa eb satisfán:
A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca.Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: anorma sobre 𝕆 satisfai
Isto implica que os octonións forman unhaálxebra de división normada. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo ossedenións) non cumpren esta propiedade: todos teñendivisores de cero e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.
Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.
Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman ungrupo senón só un cuasigrupo.
Unautomorfismo da álxebra dos octonións é unautomorfismo do espazo vectorialA de 𝕆 que satisfai
O grupo de automorfismos de 𝕆 é ogrupoG2. É ungrupo de Lie realsimplemente conexo ecompacto, dedimensión 14. Este grupo é o máis pequeno dos cincogrupos de Lie excepcionais.
 | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Octonión |
